第2讲 三角变换与解三角形(A卷)理(含解析)


专题 3

三角函数、解三角形、平面向量
第 2 讲 三角变换与解三角形(A 卷)

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试· 2)若 sin 20 ? a ,则 sin 230 的值为 ( ) A. 2a ? 1
2

B. 1 ? a

2

C. a ? 1
2

D. 1 ? 2a

2

2.(2015·山西省太原市高三模拟试题二·4)

3.(2015·山西省太原市高三模拟试题二·7)

4.

( 2015 · 山 东 省 实 验 中 学 第 二 次 考 试 · 9 ) 在 ?ABC 中 , 若 )

sin ? A ? B? ? 1 ? 2cos ? B ? C ? sin ? A ? C ?,则?ABC 的形状一定是(
A.等边三角形 C.钝角三角形 B.不含 60 的等腰三角形 D.直角三角形
o

5. (2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·7)已知函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ( a , b 为常数, a ? 0 )在 x ?

?
4

处取得最小值,则函数 g ? x ? ? f ?

? 3? ? ? x ? 是( ? 4 ?



A.偶函数且它的图象关于点 ?? ,0? 对称 B.偶函数且它的图象关于点 ?

? 3? ? , 0 ? 对称 ? 2 ?

1

C.奇函数且它的图象关于点 ?

? 3? ? , 0 ? 对称 ? 2 ?

D. 奇函数且它的图象关于点 ?? ,0? 6. ( 2015 · 山 东 省 潍 坊 市 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 · 5 )

7、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·6)为了得到函数 y ? 3cos 2 x 的图象,只 需把函数 y ? 3sin(2 x ?

?
6

) 的图象上所有的点(



? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 3
A.向右平移

B.向右平移 D.向左平移

? ?
6 6

个单位 个单位

8. (2015·山东省实验中学第二次考试·5)设函数 f ? x ? ? sin x cos 2x 图象的一条对称轴 方程是( A. x ? ? )

?
4

B. x ? 0

C. x ?

?
4

D. x ?

?
2

9. ( 2015·山东省实验中学第二次考试· 3)已知 ? ? ? 0, ? ?,且 sin ? ? cos? ?

1 ,则 2

cos 2? 的值为(
A. ?

) B.

7 4

7 4

C. ?

7 4

D. ?

3 4

10. (2015·漳州市普通高中毕业班适应性考试·5)将函数 y ? sin( x ? 图象沿 x 轴向右平移 A. ?

?

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的取值不可能 是( ... 8
B. ?

) cos( x ? ) 的 2 2


?

5? 4

?
4

C.

? 4

D.

3? 4

二、非选择题(50 分)

2

11 . ( 2015 · 山 东 省 淄 博 市 高 三 阶 段 性 诊 断 考 试 试 题 · 11 ) 若 x,y 都 是 锐 角 , 且

sin x ?

5 1 , tan y ? , 则x ? y ? _________. 5 3
5 4 , cos B ? , 则 13 5

12 . (2015 · 聊 城 市 高 考 模 拟 试 题 · 11) 在 ?ABC 中 , 若 sin A ?

c o sC ? _________.
13. ( 2015 · 山 东 省 枣 庄 市 高 三 下 学 期 模 拟 考 试 · 15 )

14.(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·16)如图,在△ABC 中,AB= 2 ,点 D 在边 BC 上,BD=2DC, cos ?DAC ?

3 10 2 5 , cos ?C ? ,则 AC = 10 5



15. (江西省新八校 2014-2015 学年度第二次联考· 13)已知 ? ? (

?
2

, ? ) , sin ? ?

tan(? ?

?
4

3 ,则 5

)?

.
2

16.如果 f ? tan x ? ? sin x ? 5sin x ?cos x ,那么 f ? 2? ? _________. 17 .设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间 [0,2? ] 上恰有三个解 x1 , x 2 , x3 ,则

x1 ? x2 ? x3 ?





18. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·14)如图为了测量 A,C 两点间的距离, 选取同一平面上 B, D 两点, 测出四边形 ABCD 的各边的长度 (单 位:km) : AB ? 5, BC ? 8, CD ? 3, DA ? 5 ,如图所示,且 A、 B、C、D 四点共圆,则 AC 的长为___________km. 19. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·15) ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 △ ABC , 角 A, B , C 的 对 边 分 别 为 a , b, c, 已 知

3

cos C ?

1 , sin A ? 2 cos B. 3

(1)求 tan B 的值; (2)若 c ? 5 , 求△ ABC 的面积.

4

专题 3 三角函数、解三角形、平面向量 第 2 讲 三角变换与解三角形(A 卷)答案与解析 1.【答案】A 【命题立意】本题旨在考查三角恒等变换公式,诱导公式. 【解析】sin230?=sin(270?-40?)=-cos40?=2sin 20?-1=2a -1. 2.【答案】D 【命题立意】本题重点考查辅助角公式,属于基础题. 【解析】 因为 sin ? ? cos ? ? 所以 ? ?
2 2

?
4

?

?
2

2 sin(? ? ) ? 2 , 所以 sin(? ? ) ? 1 , 又 ? ? (? , ) , 4 4 2 2

?

?

? ?



??

?
4

, tan ? ? 1 .

3.【答案】A 【命题立意】本题重点考查正弦定理和余弦定理以及两角和的正弦公式,难度中等. 【 解 析 】 因 为

3 4 4 3 cos A ? , cos B ? , 所 以 sin A ? ,sin B ? 5 5 5 5 4 3 3 4 ? sin C ? sin( A ? B) ? ? ? ? ? 1, C ? , 又 BC ? 4 , 得 AC ? 3 5 5 5 5 2 1 S ?ABC ? ? 4 ? 3 ? 6 . 2

, ,

4.【答案】D 【命题立意】本题旨在考查解三角形。 【解析】∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,∴sin(A-B)=1-2cosAsinB, ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1, ∴sin(A+B)=1,∴A+B=90°,∴△ABC 是直角三角形. 5.【答案】D 【命题立意】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质

5

【解析】 因为函数 f (x) =asinx-bcosx (a、 b 为常数, a≠0, x∈R) , ∴f(x)= a 2 ? b2 sin(x-φ ) 的周期为 2π ,若函数在 x ?

?
4

处取得最小值,不妨设 f(x)=sin(x-

3? ),则函数 4

3? ? 3? ? -x)是奇函数且它的图象关于点(π ,0)对称,故选 D. f? ? x ? =-sinx,所以 y=f( 4 ? 4 ?
6.【答案】B 【命题立意】本题旨在考查正弦定理与余弦定理. 【解析】由正弦定理
2 2 2

a b 1 3 3 = ,可得 = ,则有 cosA= ,又由余弦 sin A sin B sin A 2 sin A cos A 2
2

定理 a =b +c -2bccosA,可得 c -3c+2=0,解得 c=2 或 c=1(此时 a=c=1,则有 C=A=30?, 而 B=2A=60?,不满足三角形的内角和定理,舍去) . 7.【答案】D 【命题立意】本题主要考查三角函数恒等变换

? ? ),把函数 y=3sin(2x+ )的图象上所有的点向左 2 6 ? ? ? ? 平行移动 个单位长度,可得函数 y=3sin[2(x+ )+ ]=3sin(2x+ ) 的图象,故选 2 6 6 6
【解析】函数 y=3cos2x=3sin(2x+ D. 8.【答案】D 【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质。

? ? ? )=sin(- )cos2×(- )=1≠f(0)=0, 2 2 2 ? ∴函数 f(x)=sinxcos2x 图象不关于 x=- 对称,排除 A; 4
【解析】∵f(x)=sinxcos2x,∴f(∵f(-x)=sin(-x)cos2(-x)=-sinxcos2x=-f(x), ∴f(x)=sinxcos2x 为奇函数,不是偶函数,故不关于直线 x=0 对称,排除 B; 又 f(

? ? ? ? )=sin cos(2× )=-1≠f(0)=0,故函数 f(x)=sinxcos2x 图象不关于 x= 2 2 2 4

对称,排除 C;又 f(π -x)=sin(π -x)cos2(π -x)=sinxcos2x=f(x)∴f(x)关于直 线 x=

? 对称,故 D 正确. 2

9.【答案】B

6

得到:0<α +

? ? 5? ? 7? 3? 7? < (舍去)或 <α + <π , 解得 <α < ,所以 2α ∈ ( , 6 12 4 6 4 6 4

3? 3 2 7 ),则 cos2α =- 1 ? (? ) =. 2 4 4
10.【答案】C 【命题立意】本题主要考查三角函数的图象变换和三角函数的奇偶性,难度中等. 【解析】 y ?

1 ? 1 ? sin(2 x ? ? ) 向右平移 个单位后得 y ? sin(2 x ? ? ? ) 为偶函数,所以 2 2 4 8

?

?
4

?? =

k? ? k? ? , k 为奇数,所以 ? ? ? , k 为奇数, ? 不可能为 . 2 4 2 4

11.【答案】

? 4

【命题立意】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式 【解析】因为 x 是锐角, sin x ?

5 2 5 1 ,所以 cos x ? , tan x ? , 5 5 2

1 1 ? tan x ? tan y 3 2 ? 1 ,有 x ? y ? (0, ? ),? x ? y ? ? . 所以 tan( x ? y ) ? ? 1 4 1 ? tan x tan y 1 ? ? 1 3 2 33 12.【答案】 ? 65
【命题立意】本题主要考查三角函数及三角形有关知识. 【解析】由cos B ?

4 3 得 sin B ? . 在 ?ABC 中,? sin B ? sin A. 5 5 5 12 ? ?B ? ?A. ?A为锐角 . 由sin A ? 得 cos A ? . 13 13

? cosC ? cos (? ? A ? B) ? ? cos (A ? B) ? sin A sin B ? cos A cos B ?
13.【答案】 3 【命题立意】本题一是考查了三角恒等变换的知识,能正确利用公式将等式化简,二是考查 了利用余弦定理解三角形问题。

5 3 12 4 33 ? ? ? ?? . 13 5 13 5 65

7

2 【解析】因为是三角形,则 A ? B ? C ? ? ,所以 4sin

? ?c
2

? cos 2c ?

7 , 2

4

1 1 ? cos c 7 3 ? (2 cos 2 c ? 1) ? , 4cos2 c ? 4cos c ? 1 ? 0 , cos c ? ,所以 sin c ? , 2 2 2 2
2 2 2

2 2 2 2 2 由 余 弦 定 理 c ? a +b ? 2ab cos c , 得 2 ? a +b ? 2a b? , a +b ? ab ? 4 , 则

1 2

a 2 +b2 ? 4 ? ab ? 2ab





ab ? 4





















S?

1 2

3 a s b i n? c 4

3 。 ? 3 ?a b ?4 4

【易错警示】本题应用的公式较多,包括半角公式、倍角董事、余弦定理和三角形的面积公 式,特别是半角公式的识记是很多学生的一个难点,需要加强训练与识记。 14.【答案】 5 【命题立意】本题重点考查了三角函数、余弦定理、正弦定理、三角恒等变换公式等知识. 【解析】设 DC ? x ,则 BD ? 2 x ,因为在 △ ADC 中,根据 cos ?DAC ?

3 10 ,得到 10

sin ?DAC ?

10 2 5 5 ,根据 cos ?C ? ,得到 sin ?C ? ,故 10 5 5

sin ?ADC ? sin[? ? (?DAC ? ?C )] ? sin(?DAC ? ?C )
? sin ?DAC cos ?C ? cos ?DAC sin ?C ?

2 ,在 △ ADC 中由正弦定理,得 2
x 2 2 ? 5x , 10 10

x sin ?ADC AC x ? ? ,所以 AC ? sin ?DAC sin ?ADC sin ?DAC

15.【答案】

1 7

【命题立意】考查三角恒等变换,考查转化能力,容易题. 【解析】? ? ? (

?
2

, ? ) , sin ? ?

3 4 3 ,? cos ? ? ? ,? tan ? ? ? , 5 5 4

8

3 ? ?1 tan? ? 1 1 ?? )? ? 4 ? . ? tan( 3 4 1 ? tan? 7 1? 4

?

16.【答案】-

6 5

【命题立意】本题旨在考查同角三角函数的基本关系式与诱导公式。 【解析】∵f(tanx)=sin x-5sinx?cosx=
2

sin 2 x ? 5sin x cos x tan 2 x ? 5 tan x = , tan 2 x ? 1 sin 2 x ? cos 2 x

∴f(x)=

6 x2 ? 5x ,则 f(2)=- . 2 5 x ?1

17.【答案】

7? ; 3

【命题立意】 本题考查方程的解与函数图象之间的关系解决此类题目的关键是将方程的解转 化到函数图象的交点,利用树形结合解决问题. 【解析】 sin x ? 3 cos x ? 2( sin x ?

1 2

3 ? cos x) ? 2 sin( x ? ) ? a ,直线与三角 2 3

函数图象的交点,在 [0,2? ] 上,当 a ? 3 时,直线与三角函数图象恰有三个交点, 令 sin( x ?

?
3
?
3

)?

3 ? ? ? 2? ? x ? ? 2k? ? 或 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,即 x ? 2k? 或 2 3 3 3 3

x ? 2k? ?

(k ? Z ) ,? 此时 x1 ? 0, x2 ?

?
3

, x3 ? 2? ,? x1 ? x2 ? x3 ?

7? . 3

18.【答案】7 【命题立意】本题重点考查利用余弦定理解三角形,难度中等. 【 解 析 】 因 为 A, B, C , D 四 点 共 圆 , 所 以 ?B ? ?D ? ? , 由 余 弦 定 理 得

AC 2 ? 52 ? 32 ? 2 ? 5 ? 3cos D ? 34 ? 30 D , AC 2 ? 52 ? 82 ? 2 ? 5 ? 8cos B ? 89 ? 80cos B ,
由 cos B ? ? cos D ,得 ?

34 ? AC 2 89 ? AC 2 ? ,解得 AC ? 7 . 30 80

9

19.【答案】 (1)tanB= 2 ; (2)

5 2 . 4

【命题立意】本题旨在考查三角恒等变换,同角三角函数基本关系式,诱导公式,正弦定理 与三角形的面积公式. 【解析】 (1)因为 cos C ?

因为 A ? B ? C ? π ,

2 2 1 , C ? ? 0, ? ? ,所以 sin C ? . 3 3

1 2 2 cos B ,…………2 分 所以 sin A ? sin ? B ? C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin B ? 3 3

1 2 2 1 2 cos B ? 2 cos B ,所以 sin B ? cos B , 由题意 sin B ? 3 3 3 3
所以 tan B ? 2 .……………………………………………………………………3 分 (2)由(1)知 tan B ? 2 ,所以 sin B ?

3 6 , cos B ? .…………………………4 分 3 3

由正弦定理得

6 5 15 b c ? ? ,所以 b ? …………………………6 分 ? 3 2 2 2 sin B sin C 3

又 sin A ? 2 cos B ?

6 , ……………………………………………………………8 分 3

1 1 15 6 5 2 ? 5? ? 所以 S ? bc sin A ? ? .………………………………………10 分 2 2 2 3 4

10


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