高一数学答案(修正后)2


圆测试题 1.直线 x+ 2y-3=0 截圆 x +y =4 所得的劣弧所对的圆心角为 π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 3 θ 3 θ π π 解析:选 C.设所求圆心角为 θ,圆心到直线的距离为 d= = 3,故 cos = ,于是 = ,故 θ= . 2 2 2 6 3 3 2.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0 |3×a+4×0+4| 解析:选 D.设圆心为(a,0),且 a>0,则(a,0)到直线 3x+4y+4=0 的距离为 2,即 =2 32+42 14 ?3a+4=± 10?a=2 或 a=- (舍去),则圆的方程为:(x-2)2+(y-0)2=22,即 x2+y2-4x=0. 3 2 2 2 3.点 M(a,b)是圆 x +y =r 内一点,则直线 ax+by=r2 与圆的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.与 a,b,r 的值有关 r2 r2 解析:选 A.由点 M 在圆内得 a2+b2<r2,圆心(0,0)到直线的距离 2 > =r,故直线与圆相离,交 a +b2 r 点个数为 0,选 A.
2 2

4.若直线 ? A.a +b ≤1
2 2

x a

y 2 2 =1 与圆 x +y =1 有公共点,则 b

B.a +b ≥1

2

2

C.

1 1 ? 2 ≤1 2 a b

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

答案 D 2 2 5.过点 A(11,2)作圆 x +y +2x-4y-164=0 A.16 条 B.17 C.32 条 D.34 答案 C 6.直线 l:y=k(x-2)+2 与圆 C:x2+y2-2x-2y=0 有两个不同的公共点,则 k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,+∞) | k - 1 + 2 - 2 k | 解析: 选 D.圆方程为(x-1)2+(y-1)2=2.由 = 2, 得 k=-1, 而点(2,2)在圆上, 故当 k≠ k2+1 -1 时,直线与圆有两个不同的公共点.故选 D. 7. 已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD, 则四边形 ABCD 的面积为( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6 2 2 2 解析:选 B.圆的标准方程为(x-3) +(y-4) =5 ,由题意得|AC|=2×5=10,|BD|=2 52-12=4 6, 1 1 且 AC⊥BD,四边形 ABCD 的面积 S= |AC|· |BD|= ×10×4 6=20 6.故选 B. 2 2 2 2 2 8.若圆(x-3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围 是( ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 解析:选 A.∵圆心 P(3,-5)到直线 4x-3y=2 的距离等于 5,由|5-r|<1 得 4<r<6. 9.设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a= 答案 0 10.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=________.
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2 2

1 解析:x2+y2+2ay=6,x2+y2=4 两式相减得 y= . a 1 ? ?y=a, 4a2-1 4a2-1 联立? 消去 y 得 x2= 2 (a>0).∴2 =2 3,解得 a=1.答案:1 a a ?x2+y2=4, ? 11.若两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,且两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m,-1),则 m=________,c =________. 3+1 解析:依题意,直线 AB 与已知直线垂直,故 =-1,解得 m=5,又 AB 的中点(3,1)在已知直线 1-m 上,故 c=-2.答案:5 -2 12. 过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线, 设切点分别为 P、 Q, 则线段 PQ 的长为________. 5 解析:圆 x2+y2-6x-8y+20=0 可化为(x-3)2+(y-4)2=5.圆心(3,4)到原点的距离为 5.故 cosα= , 5 3 ∴cos∠PO1Q=2cos2α-1=- , 5 3 ∴|PQ|2=( 5)2+( 5)2+2×( 5)2× =16.∴|PQ|=4. 5 13.已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径 为 2. |4+2a| 3 (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 2 =2.解得 a=- . 4 a +1 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

? a +1, 得?CD +DA =AC =2 , AB= 2. ?DA=1 2
CD=
2

|4+2a|
2 2

2

2

解得 a=-7,或 a=-1.

故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 14.已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3,半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A、B,∠AOB=90° ,求直线 l 的方程. 3+2 解:(1)直线 PQ 的方程为 y-3= ×(x+1)即 x+y-2=0, -1-4 3-2 4-1 C 在 PQ 的中垂线 y- =1×(x- )即 y=x-1 上, 2 2 2 2 2 设 C(n,n-1),则 r =|CQ| =(n+1) +(n-4)2,由题意,有 r2=(2 3)2+|n|2, ∴n2+12=2n2-6n+17,∴n=1 或 5,r2=13 或 37(舍去),∴圆 C 为(x-1)2+y2=13. ?x+y+m=0 ? (2)设直线 l 的方程为 x+y+m=0,由? ,得 2x2+(2m-2)x+m2-12=0, 2 2 ? ( x - 1) + y = 13 ? m2-12 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=1-m,x1x2= , 2
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∵∠AOB=90° ,∴x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,∴m2+m-12=0, ∴m=3 或-4(均满足 Δ>0),∴l 为 x+y+3=0 或 x+y-4=0. 2 2 15.已知曲线 C:x +y -4ax+2ay-20+20a=0. 1)证明:不论 a 取何实数,曲线 C (2)当 a≠2 时,证明曲线 C 3)若曲线 C 与 x 轴相切,求 a 的值. 2 2 (1)证明 曲线 C (x +y -20)+(-4x+2y+20)a=0 由?
? x 2 ? y 2 ? 20 ? 0 ?x ? 4 , 解得 ? , ?? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 ? y ? ?2
2

4,-2)满足 C 的方程,故曲线 C 过定点(4,-2).
2 2

(2)证明 原方程配方得(x-2a) +(y+a) =5(a-2) , ∵a≠2 时,5(a-2) >0,
2

C 的方程表示圆心是(2a,-a),半径是 5 |a-2|的圆.
? x ? 2a 1 1 , 消去 a 得 y=- x,故圆心必在直线 y=- x 上. 2 2 ? y ? ?a
5? 5 2

设圆心坐标为(x,y) ,则有 ?

(3)解 由题意得 5 |a-2|=|a|,解得 a=
2 2

16.设 O 为坐标原点,曲线 x +y +2x-6y+1=0 上有两点 P、Q,满足关于直线 x+my+4=0 对称,又满足

OP ? OQ .
(1)求 m 2)求直线 PQ 的方程. 2 2 解 (1)曲线方程为(x+1) +(y-3) =9 -1,3) ,半径为 3 的圆. ∵点 P、Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 -1,3)在直线上,代入得 m=-1. (2)∵直线 PQ 与直线 y=x+4 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),PQ 方程为 y=-x+b. 2 2 2 2 将直线 y=-x+b 2x +2(4-b)x+b -6b+1=0. Δ =4(4-b) -4×2×(b -6b+1)>0, 得 2-3 2 <b<2+3 2 . x1+x2=-(4-b),x1·x2=
2

b 2 ? 6b ? 1 . 2

y1·y2=b -b(x1+x2)+x1·x2= b=1 ? (2-3 2 ,2+3 2 ),

2

b 2 ? 6b ? 1 +4b. 2

∵ OP ? OQ , ∴x1x2+y1y2=0,即 b -6b+1+4b=0, ∴所求的直线方程为 y=-x+1.

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