2013-2014学年苏教版必修四2.1向量的概念与表示同步练习及答案解析


2.1
建议用时 45 分钟

向量的概念及表示(数学苏教版 必修 4)
实际用时 满分 100 分 实际得分

一、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

1.下 列 物 理 量 : ① 质 量 ; ② 速 度 ; ③ 位 移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度; ⑧ 功 .其 中 不 是 向 量 的 有 个. 2.下 列 说 法 : ① 单 位 向 量 都 平 行 ; ② 零 向量与任意向量都平行; 0 是唯一没有方 ③ 向 的 向 量 ;④ | AB |=| BA |.其中正确的是 . 3. 给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相 同; ②若|a|=|b|,则 a=b; ③若 AB = DC ,则 ABCD 是平行四边形; ④平行四边形 ABCD 中,一定有 AB = DC ; ⑤若 m=n,n=k,则 m=k; ⑥若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中不正确的命题的个数为 . 4. 已知下列命题: ①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; ②若向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相 同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必 相同; ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量; ⑤向量 AB 与向量 CD 是共线向量, 则点 A、 B、 C、D 必在同一条直线上; ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题为 . 5.如图,B、C 是线段 AD 的三等分点,分别以 图中各点为起点和终点最多可以写出 个 互不相等的非零向量. A B C D

??? ?

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? ???? ???? DC ,N,M 分别是 AD,BC 上的点,且 CN = MA . ???? ???? C M B 求证: DN = MB .
8.(15 分) 如图,在四边形 ABCD 中, AB =

??? ?

??? ?

D

N

A

6.下列四个命题:①若|a|=0,则 a=0;②若 |a|=|b|,则 a =b 或 a=-b;③若 a∥b,则|a|=|b|;④ 若 a=0,则-a=0,其中正确命题有 .
二、解答题(共70分) 7.(20 分)如图,四边形 ABCD 与 ABDE 都是平行

四边形.

??? ? (1)用有向线段表示与向量 AB 相 等的向量; ??? ? (2)用有向线段表示与向量 AB 共线的向量. A B

9.(15 分)如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB, AC 的中点,F,G 分别是 AB,AC 上的点,且 AF∶AB =1∶4,AG∶GC=1∶3,求证:向量 DE 和 FG 共 线. A F D G E

????

????

E

D

C

10.(20 分)如图, 线段 AE 的四等分点分别是 B、

C、D,写出以 A、B、C、D、E 中的两点为起点和终 点,且分别满足下列条件的向量:

???? ???? ???? (2)与 AC 相等的所有向量.
A B C D

(1)与 AC 共线且长度为| AC |的所有向量;

E

2.1

向量的概念及表示(数学苏教版必修 4) 答题纸
得分:

一、填空题 1. 二、解答题 7.

2.

3.

4.

5.

6.

8.

9.

10.

2.1
一、填空题

向量的概念及表示(数学苏教版必修 4) 答案

1. 4 解析:日常生活中,常用到两类量,一类量是只有大小而没 有方向,如质量、路程、密度、 温度、功等,这类量叫作数量,它是一个代数量,可以进行代数运算;另一类量是既有大小又有方向,如 速度、位移、力、加速度等,这类量叫作向量. 2. ②④ 解析:①错误,长度等于 1 个单位长度的向量叫作单位向量,单位向量有无数多个且每个 都有确定的方向,故单位向量不一定平行;②正确,零向量的方向是任意的,故零向量与任意向量都平行; ③错误,0 有方向,只不过它的方向是任意的.④正确. 故只有②④正确. 3. 4 解析:两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个向量相等,却不一定起点 相同,终点相同,故①不正确.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模相等,而且方向相同,而 ②中方向不一定相同,故不正确.③也不正确,因为 A,B,C,D 可能落在同一条直线上.零向量方向不确定, 它与任一向量都平行,故⑥中若 b=0,则 a 与 c 就不一定平行了,因此⑥也不正确. 4. ②④⑤⑥ 解析:①真命题. ②假命题.若 a 与 b 中有一个为零向量,则其方向是不确定的. ③真命题. ④假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反. ⑤假命题.共线向量所在的直线可以重合,也可以平行. ⑥假命题.向量是用有向线段来表示的,但向量并不是有向线段.

??? ??? ??? ??? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ? ???? ??? ??? ??? ? 长度为 2 的向量有 4 个,其中 AC = BD , CA = DB ;长度为 3 的向量有 2 个,分别是 AD 和 DA ,所以
5. 6

解析: 可设 AD 的长度为 3, 那么长度为 1 的向量有 6 个, 其中 AB = BC = CD ,BA = CB = DC ;

最多可以写出 6 个互不相等的向量. 6. ④ 解析:①中忽略了 0 和 0 的区别,由|a|=0 知 a=0, 但 a≠0.②中是把两个向量的模相等和两 个实数相等混淆了,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,并不意味着它们的方向是相同或相反. ③中是对两个平行向量的意义理解不透,两个向量平行,只是说明这两个向量的方向相同或相反,而它们 的模却不一定相等.④中零向量的相反向量仍为零向量.
二、解答 题

??? ???? ? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? (2) ED 、 DE 、 DC 、 CD 、 EC 、 CE 、 BA . ??? ???? ? ??? ? ???? 8.证明:∵ AB = DC ,∴ | AB |=| DC |且 AB∥CD,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形. ??? ? ??? ? ∴ | DA |=| CB |且 DA∥CB. ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? 又∵ DA 与 CB 的方向相同,∴ CB = DA . ???? ???? ???? ???? ∵ CN = MA ,∴ | CN |=| MA |且 CN∥MA,∴ 四边形 CNAM 是平行四边形. ???? ? ??? ? ∴ | CM |=| NA |且 CM∥NA. ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? ???? ???? 又∵ CM 与 NA 的方向相同,∴ CM = NA .∴ DN = MB .
7. 解:(1) ED 、 DC ; 9. 证明:∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位线,从而 D E∥BC.① 又∵ AF∶AB=1∶4,∴ AF∶FB=1∶3. 又 AG∶GC=1∶3,∴ AF∶FB=AG∶GC,∴ FG∥BC.② 由①②可知,DE∥FG,∴ 向量 DE 与 FG 共线.

???? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 10.解:(1) CA 、 BD 、 DB 、 CE 、 EC ;(2) BD 、 CE .


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