中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院期末考试线性代数―答题要点


中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院期末考试 考试科目名称:线性代数――答题要点 层次:专升本考试方式:考查 要求:1、独立完成; 2、答题要求正确运用所学本课程知识,同时联系实际进行分析; 3、逻辑清晰,内容完整,文字流畅;4、抄袭、雷同、非手写稿均记 0 分。 一、论行列式与线性方程组求解 1. 行列式是在解线性方程组时引入的一种记号, 如何计算行列式是线性代数中的一个基本 问题。请问对角线法则适用于所有阶的行列式计算吗? 2. 利用克莱姆法则求解线性方程组,有条件限制吗? 解答要点: 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式的计算,四阶以上行列式失效; 2. 有条件:首先要求方程组中方程的个数等于变量的个数,其次要求系数行 列式 不等于零。 二、论向量组的线性相关性 对于维向量组, 1. 线性相关的定义是什么?有哪些判别相关不相关的方法?(举出两种方法即可) 2. 有关向量组的极大线性无关组是如何定义的?它有什么意义? 3. 具体判别下列向量组是否线性相关? , , 。 解答要点: 1. 线性相关的定义是:存在个不全为零的常数,使线性组合 成立;可用矩阵的秩判别,可用行列式判别; 2. 极大线性无关组的定义是:向量组中存在着个向量线性无关,任意个 向量线性相关,则任意个线性无关的向量组成向量组的极大线性无关组; 3. 用行列式判别:因为 , 所以向量组线性相关,实际上有: 。 三、论矩阵及其运算 1. 矩阵也是在解线性方程组时引入的一种记号,请问矩阵有加、减、乘、除运算吗? 2. 一个阶方阵可逆的定义是什么?通常有哪几种方法求矩阵的逆矩阵? 3. 设阶方阵有个特征值,则与矩阵是否可逆有怎样的 关系? 解答要点: 1. 矩阵有加法、减法,有数乘,有矩阵的乘法,但是没有除法,与除法类似 的 运算是矩阵的求逆; 2. 矩阵可逆的定义是: 对方阵, 若存在方阵, 使 (单位矩阵) 则称矩阵可逆, 且; 3. 由特征值的性质可知,特征值的乘积等于矩阵行列式的值,所以当特征值 全不为零时,乘积不等于零,从而矩阵行列式不等于零,可逆。


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