2016


2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函 数的导数公式及导数的运算法则(二)高效测评 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.下列运算中正确的是(
2 2

)

A.(ax +bx+c)′=a(x )′+b(x)′ B.(sin x-2x )′=(sin x)′-2′(x )′
2 sin x? ?sin x?′-?x ?′ ? C.? 2 ?′= x2 ? x ? 2 2

D.(cos x·sin x)′=(sin x)′cos x+(cos x)′cos x 解析: A 项中(ax +bx+c)′=a(x )′+b(x)′,故正确. 答案: A 2.已知 f(x)=x +2xf′(1),则 f′(0)=( A.0 C.-2 解析: 因为 f′(x)=2x+2f′(1), 所以 f′(1)=2+2f′(1). 解得 f′(1)=-2,所以 f′(x)=2x-4, 所以 f′(0)=-4.故选 B. 答案: B 3.曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程为( 2x-1 A.x-y-2=0 C.x+4y-5=0 -1 解析: y′= 2, ?2x-1? ∵点(1,1)在曲线上, -1 ∴切线的斜率 k=y′|x=1= 2|x=1=-1,由直线的点斜式方程得切线方程是 x ?2x-1? +y-2=0. 答案: B 4.若函数 f(x)=e sin x,则此函数图象在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为(
x
2 2 2

)

B.-4 D. 2

x

)

B.x+y-2=0 D.x-4y-5=0

)

1

π A. 2 C.钝角

B. 0 D.锐角

? π? x x x x 解析: f′(x)=e sin x+e cos x=e (sin x+cos x)= 2e sin?x+ ?,f′(3)= 2 4? ? ? π? 3 e sin?3+ ?<0,则此函数图象在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为钝角. 4? ?
答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.函数 y=

x2

x+3

的导数是________.
2

? x ?′ 解析: y′=? ? ?x+3?
= = ?x ?′?x+3?-x ·?x+3?′ 2 ?x+3? 2x?x+3?-x x +6x = 2 2. ?x+3? ?x+3?
2 2 2 2

x2+6x 答案: 2 ?x+3?
6.(全国大纲卷改编)已知曲线 y=x +ax +1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a =________. 解析: y′=4x +2ax,因为曲线在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8, 所以 y′|x=-1=-4-2a=8,解得 a=-6. 答案: -6 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求下列函数的导数: (1)y=x -3x -5x +6;(2)y=(2x +3)(3x-2); (3)y=
5 3 2 2 3 4 2

x-1 x? 2x? ;(4)y=-sin ?1-2cos ?. 4? x+1 2?
5 3 2

解析: (1)y′=(x -3x -5x +6)′ =(x )′-(3x )′-(5x )′+6′ =5x -9x -10x. (2)方法一:y′=(2x +3)′(3x-2)+(2x +3)(3x-2)′ =4x(3x-2)+3(2x +3)=18x -8x+9. 方法二∵y=(2x +3)(3x-2)=6x -4x +9x-6, ∴y′=18x -8x+9.
2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 5 3 2

2

(3)方法一:y′=? = = =

?x-1?′ ? ?x+1?

?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ 2 ?x+1? ?x+1?-?x-1? 2 ?x+1? 2 2. ?x+1?

方法二:∵y= ∴y′=?1-

x-1 x+1-2 2 = =1- , x+1 x+1 x+1

? ?

x+1? ?

2 ? 2 ? ? ′=?- ?′ x + 1? ?

2′?x+1?-2?x+1?′ =- 2 ?x+1? = 2 2. ?x+1?

(4)∵y=-sin ?1-2cos ? 4? 2?
2

x?

x?

x? 1 x? =-sin ?-cos ?= sin x, 2? 2 2?
1 1 ?1 ? ∴y′=? sin x?′= (sin x)′= cos x. 2 2 2 ? ? 8.求下列函数的导数: (1)y= π? 1 2? ?; 4;(2)y=sin ?2x+ 3? ?1-3x? ?
2

(3)y=ln(2x +x);(4)y=x· 2x-1. 解析: (1)设 u=1-3x,则 y=u , ∴yx′=yu′·ux′=(u )′·(1-3x)′ =-4u ·(-3)=12u
-5 -5 -4 -4

12 -5 =12(1-3x) = 5. ?1-3x? π 2 (2)设 y=u ,u=sin v,v=2x+ , 3 则 yx′=yu′·uv′·vx′=2u·cos v·2 =4sin v·cos v 2π ? ? =2sin 2v=2sin?4x+ ?. 3 ? ? (3)设 u=2x +x,则 yx′=yu′·ux′
3
2

=(ln u)′·(2x +x)′ 1 4x+1 = ·(4x+1)= 2 . u 2x +x (4)y′=x′· 2x-1+x·( 2x-1)′. 先求 t= 2x-1的导数. 1 设 u=2x-1,则 t=u , 2

2

tx′=tu′·ux′= ·u- ·(2x-1)′
1 1 1 = × ×2= . 2 2x-1 2x-1 ∴y′= 2x-1+

1 2

1 2

x 3x-1 = . 2x-1 2x-1
☆☆☆
2x

? 尖子生题库 ??

9.(10 分)已知曲线 y=e ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线 l 的距离为 5,求直线

l 的方程.
解析: ∵y′=(e )′·cos 3x+e ·(cos 3x)′ =2e ·cos 3x-3e ·sin 3x, ∴y′|x=0=2,∴经过点(0,1)的切线方程为 y-1=2(x-0), 即 y=2x+1. 设适合题意的直线方程为 y=2x+b, 根据题意,得 5= |b-1| ,解得 b=6 或-4. 5
2x 2x 2x 2x

∴适合题意的直线方程为 y=2x+6 或 y=2x-4.

4


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