解三角形教案水平测试


解三角形(两课时)
一、教学目标 运用正余弦定理解三角形及相关问题。 二、教学重、难点 正余弦定理的熟练运用。 三角形中的诱导公式和恒等变换。 三、 教学过程 (一)基础知识归纳总结 1、三角形中的边角关系 (1)三角形的内角和定理

A? B ? C ? ?
(2)三角形中的诱导公式

sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, tan(A+B)=-tanC A? B A? B C A? B C ? sin , tan ? cot sin =cosC, cos 2 2 2 2 2
(3)三角形中的边角关系

a ? b ? A ? B ?; a ? b ? A ? B a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b
2、解三角形的常见类型和解法 在三角形的六个元素中,若知道三个,其中至少一个元素为边,即可求解该三角形,按 已知条件可分为以下几种情况: 已知条件 一边和两角 (a,B,C) 所用定理 正弦定理 一般步骤
(1)由内角和定理求出角 A; (2)由正弦定理求出 b 和 c。 (有解时只有一解) (1)由余弦定理求出第三边 c

两边和夹角 (a,b,C)

余弦定理 正弦定理

(2)由正弦定理求出小边所对角 (3)由内角和定理求出另一角 (有解时只有一解) (1)由余弦定理求出角 A,B

三边 (a,b,c) 两边和其中一 边的对角 (a,b,A)

余弦定理

(2)由内角和定理求出 C (有解时只有一解) (1)由正弦定理求出 B

正弦定理 余弦定理

(2)由内角和定理求出 C (3)再利用正弦定理或余弦定理求 c (可有两解、一解或无解)

3、三角形中恒等变形常用如下的边角转化

(1)a=b ? sinA=sinB ? A=B (2)a:b:c=sinA:sinB:sinC (3)2b=a+c ? 2sinB=sinA+sinC (4)sin 2 B=sinAsinC ? b2 ? ac

4、三角形的面积公式

1 1 1 S? ? aha ? bhb ? chh 2 2 2 1 1 1 S? ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 a?b?c S? ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c)其中( p ? ) 2
(二)典型例题 1、用正余弦定理解三角形

例1、ABC中,若b=2a,B=A+60? , 求A。(30?) ?
分析:正弦定理化边为角。

例2、已知? ABC中,a 2 ? a ? 2(b ? c), a ? 2b ? 2c ? 3, 若 sin C : sin A ? 4 : 13, 求a, b, c。(a= 13, b ?
分析:正弦定理化角为边。

5 ? 13 , c ? 4) 2

例3、在? ABC中,B=45? , AC ? 10, cos C ? (1)求BC边的长;(3 2 )

2 5 5

(2)记AB边的中点为D,求中线CD的长。( 13 )

例4、在? ABC中,a, b, c是角A, B, C 所对的边, B?C 且8 sin 2 ? 2 cos 2 A ? 7 2 (1)求A。(60? ) (2)若a= 3 , b ? c ? 3, 求b,c。(c=1,b=2或c=2,b=1)

2、三角形面积公式及应用

3 例5、ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,cosB= , ? 5 ??? ??? ? ? 且AB?BC ? ?21, ()求? ABC的面积;(14) 1 (2)若a=7,求角C。(45?)

例6、已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2,BC=6, CD=DA=4,求四边形ABCD的面积;

在圆内接四边形ABCD中,连接BD。 A+C=? ? sinA=sinC ? 1 于是,四边形ABCD的面积为S=S? ABD ? S? CBD ? ( AB?AD ? 2 BC ? ) sin A ? 16sin A.在? ABD和? CBD中,由余弦定理得, CD 1 20-16cosA=52-48cosC又 ? cosC=-cosA, cos A ? ? , ? 2 ? A ? 120 ,将A代入S=16sinA,得S=8 3

例7、已知? ABC的周长为 2 +1,且sinA+sinB= 2 sin C (1)求边AB的长;(1) 1 (2)若? ABC的面积为 sinC,求角C的度数。(60? ) 6

3、判断三角形的形状

例8、根据下列条件,判断三角形形状。 sin A (1)在? ABC中, =2sinC; (等腰) cos B (2)在? ABC中,A+C=2B,b 2 =ac。(等边)

例9、在? ABC中,若tanA:tanB=a2:b2 ,判断? ABC的形状。
sin A cos B sin 2 A ? 解一:由已知条件及正弦定理可得 ,? A, B 为三角形的内角, cos A sin B sin 2 B
?sin A ? 0,sin B ? 0 ,?sin 2 A ? sin 2B,? 2 A ? 2B 或 2 A ? ? ? 2 B ,? A ? B 或

A? B ?

?
2

,所以 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形。

sin A 2 cos A ? sin A ,即 cos B ? sin A ,由正弦定理和余弦定理可得 解二:由已知条件及正弦定理可得 sin B sin 2 B cos A sin B cos B 2 2 2 a ?c ?b a 4 2 2 2 2 4 2 2 2ac = ,整理,得 a ? a c ? b c ? b ? 0 ,即 (a ? b ) ? 2 2 2 b ?c ?a b 2bc

(a2 ? b2 ? c2 ) ? 0 ,? a 2 ? b2或a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 ,? a ? b或a 2 ? b2 ? c 2
? ?ABC 为等腰三角形或直角三角形。
4、利用正余弦定理求三角形中的取值范围问题

例10、在? ABC中,a=x,b= 2,B=45? ,若三角形有两个解, 求x的取值范围。( 2 , 2)

例11、已知钝角三角形的三边a=k,b=k+2,c=k+4, 求k的取值范围。
? c ? b ? a且? ABC为钝角三角形, C为钝角。 ? 由余弦定理得,cosC=
2 a 2 ? b 2 ? c 2 k 2 ? (k ? 2) 2 ? (k ? 4) ? ?0 2ab 2k (k ? 2)

? k 2 ? 4k ? 12 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 6.由两边之和大于第三边得 k+(k+2)>k+4 ? k>2.综上可知,2<k<6.
5、三角形中的恒等证明问题 例 12、教材 P18 例 9 例 13、教材 P18 第 3 题(射影定理) 。

例14、在? ABC中,求证:c(acosB-bcosA)=a2 ? b2 .


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