中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院


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工程力学 课程综合测试 2 时间:90 分钟

学习层次:专升本

1. 两跨梁的支承及荷载情况如图所示。已知 P 1 = 10 kN,P 2 = 20 kN,试求支座 A、B、D 及铰 C 处 的约束反力。 (20 分)

2.一构架如图所示。已知:力 P=10kN,AD=CD=BD=DE=l=2m。求 A 处的反力和 BC 杆的内力。

3、图示拐轴由位于水平面内的 AB 和 BC 两段组成,已知 BC 段长 140mm,AB 段为等直实心圆轴, 圆周直径为 50mm,长为 150mm。在 C 处受铅垂力 P 作用,已知 P ? 3.2kN ,轴的材料为 45 号钢,许用 应力 ?? ? ? 160 MPa 。试校核 AB 轴的强度。 应力 ?? ? ? 160 MPa 。试校核 AB 轴的强度。

题2图

4、图示结构,受载荷 P 作用,横梁 AB 为正方形截面梁,已知正方形边长 a ? 100 mm ,许用应力

?? ? ? 160 MPa ,支承杆

CD 的直径 d ? 20mm ,C、D 处为铰支,已知弹性模量 E ? 206GPa ,柔度

? p ? 100 ,规定稳定安全系数 ?n?st ? 2.0 ,试确定结构的许可载荷 ?P ? 。 分) (10

题四.3 图

5、请画出低碳钢在轴向拉伸时的应力-应变曲线,试件在拉伸过程中经历的四个阶段,标出比例极 限、屈服极限和强度极限。 6、图示一外伸梁自重 ,已知梁长为 3a,横向荷载 P ? qa , M ? qa ,均布荷载集度为 q ,
2

FA ? 2qa??? FB ? qa??? ,请画出图示梁的剪力图和弯矩图(方法不限) , ,并标明极值和端值。

题二、2 图
7、支架由直杆 AD 与直角曲杆 BCE 及定滑轮 D 组成,已知: AC ? CD ? AB ? 1m ,轮 R=0.3m, Q=100N,A、B、C 处均用铰连接。绳、杆、滑轮自重均不计。试求支座 A,B 的反力。
E A C D R

Q B

题二、1 图 8、图示等截面圆杆,直径 d=80mm,许用切应力[τ]=70MPa,切变模量 G=80GPa。已知外力偶 MA= 3kN﹒m, 并测得 C 截面相对于 A 截面的相对扭转角为 0.2° (方向与外力偶 MC 相反) 试校核该轴的强度。 ,

9、一横截面直径为 d 的圆杆两端受扭矩 m 和偏心距为 e 与轴线平行的集中力 P 的共同作用,如图所 示,试求: (1)危险点的单元体应力状态; (2)用 m,P,e,d 表示的第三强度理论表示的相当应力。

10、请画出图示物体系的受力图和杆件 AC、BC 的受力图。 题二.4 图

11、图示一外伸梁自重及摩擦不计,已知梁长为 4a,横向荷载 P ? qa , M ? qa ,均布荷载集度为
2

q , FA ?

1 7 ,并标明端值。 qa??? FB ? qa???,请画出该梁的剪力图和弯矩图(方法不限) , 4 4

12、作用于杆上的载荷如图所示,E=200Gpa,a=1m,截面 1-1 的面积为 A1=200mm2,截面 2-2 的面积为 A2=300mm2,截面 3-3 的面积为 A3=400mm2,求截面 3-3 的应力和杆的总变形。

题二、2 图 13、应力状态如下图,图中应力单位为 MPa。弹性模量 E=200MPa,泊松比 μ=0.3,试用解析法或图解 法求:(1)主应力;(2)在单元体上绘出主平面位置;(3)第一主应变。

题二、2 D 两处均为球铰, 14、 图示结构中, 杆、 杆的材料为 Q235 钢, 、图 AC CD C 已知 CD 杆为圆截面 d=20mm,

AC 梁为矩形截面 b=45mm,h=90mm,材料的 E=200Gpa, ? p ? 200MPa, ? s ? 235MPa ,材料的安全系数

n ? 1.4 ,稳定安全系数 nst=3.0。试确定该结构的许可荷载。

15、图示结构由杆 AB、BC 在 B 处铰链连接组成,A 处为固定端约束,C 处为辊轴支座。DE 段结构 上承受均布载荷作用,荷载集度为 q,E 处作用有外加力偶,力偶矩为 M ? ql 。试求 A 处的约束力。
2

16、已知简支梁 A、B 处约束反力分别为: R A ? 0.5qa ? , RB ? 0.5qa ? ,请作出该梁的 Q 图和 M 图,并注明极值。

??

??

17、一横截面直径为 d 的圆杆两端受扭矩 m 和偏心距为 e 与轴线平行的集中力 P 的共同作用,如下图 所示,试求: (1)危险点的单元体应力状态; (2)用 m,P,e,d 表示的第三强度理论和第四强度理论表 示的相当应力。

18、AB、AC、DE 三杆用铰链连接如图所示,DE 杆的 E 端作用一力偶,其力偶矩 M 的大小为 2 kN ﹒m;又 AD = BD = 1m,若不计杆重,求铰链 C、F 的约束反力。

19、图示一外伸梁自重及摩擦不计,已知梁长为 3a,横向荷载 P ? qa , M ? qa ,均布荷载集度为
2

,并标明端值。 , q , FA ? 2qa??? FB ? qa??? ,请画出右图所示梁的剪力图和弯矩图(方法不限)

题二、2 图 20、一直角拐如图所示,已知 AB 和 BC 均为圆杆,直径 d=60mm,AB 长 l=600mm,BC 长 a=120mm, P=3kN,F=1kN,许用应力[σ]=140MPa。试按第三强度理论校核 AB 杆的强度。

21、 图示结构中 ABC 梁为 No.14 普通热轧工字钢, A ? 21.5cm ,Wz ? 102cm ;BD 为圆截面直杆,
2 3

其直径为 d=20mm, ABC、BD 两者均为 Q235 钢,E=206GPa,? s ? 235 MPa ,? p ? 200 MPa 。A、C、 D 三处均为球铰链约束。若已知 Fp=25kN,AB=BC=1.25m,BD=0.55m。强度安全因素 ns ? 1.45 ,稳 定安全因素 ?n?st ? 1.8 。试校核此结构是否安全?

22、已知 AB=BC=1m,DK=KE,F=1732kN,W=1000kN,各杆重量略去不计,试求 A,E 处的约束力。

23、一悬臂梁自重不计,受力如下图所示,请画出该梁的剪力图和弯矩图(方法不限) ,并标明端值。

24、图示的空心圆轴外径为 D=100mm,内径 d=80mm,l=500mm,M1=6kN﹒m,M2=4 kN﹒m,材 料的剪切弹性模量 80Gpa。试求; (1)求轴的最大剪应力,并指出其位置; (2)求 C 截面对 A 截面的相对 扭转角φ C-A。

答案
1. 两跨梁的支承及荷载情况如图所示。已知 P 1 = 10 kN,P 2 = 20 kN,试求支座 A、B、D 及铰 C 处的约 束反力。 (20 分)

1.解: (1)取 CD 梁为研究对象。 Σm C = 0,-P2sin60° 2 + RD× = 0 × 4 RD = = 8.66 kN (↑) ΣX = 0,HC -P2cos60° 0 = HC = 10 kN (→) ΣY = 0,VC + RD -P2sin60°= 0

VC = 8.66 kN (↑) (2) 取 AC 梁为研究对象。 Σm A = 0,-P1× -VC′×6 + RB× = 0 2 4 RB = 17.99 kN (↑) ΣX = 0,HA -HC′= 0 HA = HC′= 10 kN (→) ΣY = 0,VA-P1 + RB -VC′= 0 VA= 0.67 kN (↑) 校核:取整体梁为研究对象,列平衡方程 ΣX = HA -P2cos60° 10 -20 × 0.5 = 0 = ΣY =VA+ RB + RD -P1-P2sin60° 0.67 + 17.99 + 8.66 = 校核结果说明计算正确。

-20 × 0.866 = 0

2.一构架如图所示。已知:力 P=10kN,AD=CD=BD=DE=l=2m。求 A 处的反力和 BC 杆的内力。

解: (1)研究对象:整体。 受力如图所示,取坐标系 0xy。

?? X ? 0, FAx ? 0; ? ? ?? Y ? 0, FAy ? P ? 0; ? ? ?? M A ( F ) ? 0, M A ? Pl ? 0; ?
可解得:FAx=0,FAy =P =10kN,MA =Pl =20 kN.m (2)研究对象:DE 杆,受力如图所示由: 可解得:FBC=- 2 P =-10 2 kN 3、图示拐轴由位于水平面内的 AB 和 BC 两段组成,已知 BC 段长 140mm,AB 段为等直实心圆轴, 圆周直径为 50mm,长为 150mm。在 C 处受铅垂力 P 作用,已知 P ? 3.2kN ,轴的材料为 45 号钢,许用 应力 ?? ? ? 160 MPa 。试校核 AB 轴的强度。

? mD (F ) ? 0,?FBC sin 45? ? l ? P ? l ? 0 ,

?

题2图

解 : 将 力 P 平 行 移 到 B 点 , 得 到 一 个 力 和 一 个 力 偶 , AB 杆 件 发 生 弯 扭 组 合 变 形 , 扭 矩 为 :

Mx ? P ?140 ? 3.2 ?140 ? 448N ? m Mx 448 产生的剪应力为: ? max ? ? ? 18.26MPa 1 Wp ?3 3 ? ? ? 50 ?10 ? 16 弯矩为: M ? P ?150 ? 3.2 ?150 ? 480N ? m M 480 产生的正应力为: ? max ? ? ? 39.13MPa 3 1 Wz ? ? ? 50 ?10?3 ? 32
2 2 2 2 第三强度理论计算: ? r 3 ? ? ? 4? ? 18.26 ? 4 ? 39.13 ? 80.36 MPa ? [? ]

第三强度理论计算: ? r 4 ? ? ? 3? ? 18.26 ? 3 ? 39.13 ? 70.19 MPa ? ?? ?
2 2 2 2

满足强度条件,AB 构件安全。 或? r3 ?

Mx 2 ? M 2 4482 ? 4802 ? ? 80.36 MPa ? [? ] 1 Wz ?3 3 ? ? ? 50 ?10 ? 32 0.75Mx 2 ? M 2 0.75 ? 4482 ? 4802 ? ? 70.19MPa ? [? ] 1 Wz ?3 3 ? ? ? 50 ?10 ? 32
CD 的直径 d ? 20mm ,C、D 处为铰支,已知弹性模量 E ? 206GPa ,柔度

? r4 ?

4、图示结构,受载荷 P 作用,横梁 AB 为正方形截面梁,已知正方形边长 a ? 100 mm ,许用应力

?? ? ? 160 MPa ,支承杆

? p ? 100 ,规定稳定安全系数 ?n?st ? 2.0 ,试确定结构的许可载荷 ?P ? 。 分) (10

题四.3 图 解:内力分析

?M ?F ? ? 0
A 求得 N DC ? 2000 ?10?3 ? 2 P ?1000 ?10?3 ??? N DC ? 2P ?

M 图(略) : 危险截面 C:MC=1000P 强度稳定性计算

MC ? ?? ? Wz

P P 求得 即: ? ? 160 ?106 ??? P ? 26.7kN ? 1 3 1 ?3 3 a ? 20 ?10 ? 6 6
1 ? 550 ? 10 ?3 压杆: ? ? ? ? 110 ? ? p ,属于大柔度杆。 1 i ?3 ? 20 ? 10 4

?l

? 3 ? 206 ? 109 ? ? 20 ? 10?3 ? ? 2E 2 Pcr ? 2 ? ? ? d ? ? 52.70kN ? 1102
2

由稳定条件: nw ?

Pcr 52.70 求得 ? ? nst ??? P ' ? 13.18kN ? NCD 2P

综合考虑取[P]=P= 13.18kN。 5、请画出低碳钢在轴向拉伸时的应力-应变曲线,试件在拉伸过程中经历的四个阶段,标出比例极 限、屈服极限和强度极限。 解:1、低碳钢在拉伸验中其应力—应变曲线如下图所示:

D

E B

p

e

O

对应的四个阶段是: (1) 弹性变形阶段即 OB 段; (2)屈服流动阶段即 BC 段; (3)强化阶段即 BD 段; (4)局部变形阶段 即 DE 段。 (2) ? p -比例极限,线弹性阶段的应力最高限,线弹性阶段应力与应变成正比关系。

? e -弹性极限,弹性阶段的应力最高限。 ? s -屈服极限,应力波动不大、应变明显增加的最低应力值。

6、图示一外伸梁自重 ,已知梁长为 3a,横向荷载 P ? qa , M ? qa ,均布荷载集度为 q ,
2

s

b

A

C

,并标明极值和端值。 FA ? 2qa??? FB ? qa??? ,请画出图示梁的剪力图和弯矩图(方法不限) ,

题二、2 图
解: (一 )求反力求反力 ∑mB(F)=0 ∑mA(F)=0 YB= qa(↑) ∑X=0 XB= 0 (二)画 Q 图,M 图方法不限 NA=2qa(↑)

Q qa M

qa
+

B qa

A

qa2

A

+

B

1 qa2 2

7、支架由直杆 AD 与直角曲杆 BCE 及定滑轮 D 组成,已知: AC ? CD ? AB ? 1m ,轮 R=0.3m, Q=100N,A、B、C 处均用铰连接。绳、杆、滑轮自重均不计。试求支座 A,B 的反力。
E A C D R

Q B

解:
YA E A XA C D YB XB B Q R YA

题二、1 图

YC T A XA C XC D R

Q

对 ACD(包括轮)

?M

C

?? ( F ) ? 0,

T ? R ? T ( R ? CD) ? YA ? AC ? 0

? AC ? CD, T ? Q YA ? ?Q ? ?100N
对整体
B

? M ( F ) ? 0, ? X ? 0, X
? X B ? 230N

??

X A ? AB ? Q( AC ? CD ? R) ? 0 X A ? 230N
A

? XB ? 0

? Y ? 0,

YA ? YB ? Q ? 0

?YB ? 2 0 0 N

8、图示等截面圆杆,直径 d=80mm,许用切应力[τ]=70MPa,切变模量 G=80GPa。已知外力偶 MA= 3kN﹒m, 并测得 C 截面相对于 A 截面的相对扭转角为 0.2° (方向与外力偶 MC 相反) 试校核该轴的强度。 ,

解: TAB ? ? M A ? ?3kN ? m,TBC ? Mc

IP ?

?d 4
32

?

? ? 80 4
32

? AC ? ? AB ? ?BC

16 16 ? -M A ?1.0 M C ? 0.5 ? 0.2 ? ? ? ?? GI P GI P 180 ?

? 4.02 ?10 m ,WP ?
4

?6

?d 3

?

? ? 80 3

? 1.005 ? 10 ? 4 m 4

得 M C ? 3.754 kN ? m ? Tmax 故 ? max ?

MC 3.754 ? 10 3 ? ? 37 .34 MPa ? [? ] ? 70 MPa 强度足够。 WP 1.005 ? 10 ? 4

9、一横截面直径为 d 的圆杆两端受扭矩 m 和偏心距为 e 与轴线平行的集中力 P 的共同作用,如图所 示,试求: (1)危险点的单元体应力状态; (2)用 m,P,e,d 表示的第三强度理论表示的相当应力。

解: (1)将外力 P 向杆件截面形心平移,得到附加的力偶 M=Pe, 题二.4 图 杆件,受拉、弯、扭组合变形。 由叠加原理,考虑杆件分别拉伸变形、弯曲变形、扭转变形。

4P ?d 2 16 m 杆件承受扭转变形,横截面上最大应力为: ? ? ?d 3
杆件承受拉伸变形,横截面上应力均匀分布: ? ? 杆件承受弯曲变形,横截面上

最大应力为: ? ' ?

32 Pe ?d 3

危险点处的应力状态为: (2)由于
2 2 2 ? max ? ? ? ' 2 Pd ? 16 Pe ?? ?? '? ? 2 Pd ? 16 Pe ? ? 16 m ? 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 3 ? ? min 2 ?d 3 ?d 3 ? 2 ? ? ? ? ?d ?

2 Pd ? 16 Pe ? 2 Pd ? 16 Pe ? ? 16 m ? ? ? 则危险点的主应力为: ? 1 ? ? ?? 3 ? 3 ?d ?d 3 ? ? ? ?d ?

2

2

?2 ?0
?3 ?
由第三强度理论相当应力: ? 3r

2 Pd ? 16 Pe ? 2 Pd ? 16 Pe ? ? 16 m ? ? ? ? ?? 3 ? 3 ?d ?d 3 ? ? ? ?d ?
2 2

2

2

? 2 Pd ? 16 Pe ? ? 16 m ? ? ?1 ? ? 3 ? 2 ? ? ?? 3 ? ?d 3 ? ? ? ?d ?

10、请画出图示物体系的受力图和杆件 AC、BC 的受力图。

解:

11、图示一外伸梁自重及摩擦不计,已知梁长为 4a,横向荷载 P ? qa , M ? qa ,均布荷载集度为
2

q , FA ?

1 7 ,并标明端值。 qa??? FB ? qa???,请画出该梁的剪力图和弯矩图(方法不限) , 4 4

解:

12、作用于杆上的载荷如图所示,E=200Gpa,a=1m,截面 1-1 的面积为 A1=200mm2,截面 2-2 的面积为 A2=300mm2,截面 3-3 的面积为 A3=400mm2,求截面 3-3 的应力和杆的总变形。

解:由平衡关系截面 A-A 上的内力为: 题二、2 图

? F ? 0,-200+100+200-F

N3

? 0 ?解得 ? FN 3 ? 100 kN ? ?

100 同理求得: FN 1 ? ?200kN,FN2 ? - kN 。
由杆受轴向拉伸(压缩)作用时横截面上应力的计算公式: ? 3 ? 由杆受轴向拉伸(压缩)作用时,杆的总伸长(缩短)量:

FN 3 ? 250MPa A3

?l ? ? ??

FNi li FN 1l1 FN 2l2 FN 3l3 ? ? ? Ei Ai EA1 EA2 EA3

200 ? 103 ? 1 100 ? 103 ? 1 100 ? 103 ? 1 ? ? 200 ? 109 ? 200 ? 10?6 200 ? 109 ? 300 ? 10?6 200 ? 109 ? 400 ? 10?6 ? ?5.4 ? 10?5 m
杆的总压缩量为-5.4×10-3m。 13、应力状态如下图,图中应力单位为 MPa。弹性模量 E=200MPa,泊松比 μ=0.3,试用解析法或图解法 求:(1)主应力;(2)在单元体上绘出主平面位置;(3)第一主应变。

解:解:(1) ? x ? ?30 MPa,? y ? 50 MPa,? xy ? 20 MPa
max ? min ?

题二、2 图

? x ?? y
2

? (

? x ?? y
2

)2 ?? 2 ?

? 30 ? 50 ? 30 ? 50 2 ? ( ) ? 20 2 2 2

? 10 ? 20 5 ?

? 54.72 MPa ? 34.72

由于平面问题有一主应力为零,所以:

? 1 ? 54.72 MPa,? 2 ? 0MPa,? 3 ? ?34.72 MPa
(2) ?= arctan?

1 2

? ? 2? xy ?? ?? y ? x

? ? ? ?

得: ?= .3 , 76.7 ; 13 ?
? ?

(3)第一主应变为: ? 1=

1 ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? ? 0.325 E

14、 图示结构中, 杆、 杆的材料为 Q235 钢, 、 两处均为球铰, AC CD C D 已知 CD 杆为圆截面 d=20mm, AC 梁为矩形截面 b=45mm,h=90mm,材料的 E=200Gpa, ? p ? 200MPa, ? s ? 235MPa ,材料的安全系数

n ? 1.4 ,稳定安全系数 nst=3.0。试确定该结构的许可荷载。

解:压杆临界力的计算:

? ?1

l=1m

i?

d ? 5mm 4

?p ? ?

E

?p

? 99 .3

??
由稳定性条件:

?l 1?1000 ? ? 200 , ? ? ? p 为大柔度杆 i 5
FP ? 4 ? Fcr 15 ? 5 ? 4? ? 20.67 k N nst 3.0
3.14 ? 20 4 ? 10 ?12 64 ? 15.5k N 12

FP Fcr ? 4 n st

Fcr ?

? EI ? ( ?l ) 2
2

3.14 2 ? 200 ? 10 9 ?

对于 ABC 杆:

? max ?

M max WZ

FP FP ? 1.5 ? 1.5 235 4 4 ? [? ] ,即: ? ? [? ] ? 1 2 1 1.4 bh ? 45 ? 90 2 ? 10 ?9 6 6

求得: FP ? 27.19 kN 故: Fp ? ?20.67 kN, 27.191kN?min =20.67 kN

15、图示结构由杆 AB、BC 在 B 处铰链连接组成,A 处为固 定端约束,C 处为辊轴支座。DE 段结构上承受均布载荷作 用, 荷载集度为 q, 处作用有外加力偶, E 力偶矩为 M ? ql 。
2

试求 A 处的约束力。

解:先取 BC 杆分析: 以整体为研究对象:

? M ?F ? ? 0,F
B

?

C

? 2l ? M ? ql ?

l ? 0 ? FC ? 0.75ql 2

?? Fx ? 0,FAx ? 0 ? ? ?? Fy ? 0,FAy ? 2ql ? FC ? 0 ? ? ?? M A ?F ? ? 0,M A ? 2ql ? 2l ? M ? FC ? 4l ? 0 ? ? FAx ? 0 ? ? ? FAy ? 1.25 ql ? 2 ?M A ? 2ql
16、已知简支梁 A、B 处约束反力分别为: R A ? 0.5qa ? , RB ? 0.5qa ? ,请作出该梁的 Q 图和 M 图,并注明极值。

??

??

解:

A a Q

B

C

D

P=qa 0.5qa

a

a

0.5qa 0.5qa 2 0.375qa 2 M

0.5qa 0.5qa2

0.5qa 2

17、一横截面直径为 d 的圆杆两端受扭矩 m 和偏心距为 e 与轴线平行的集中力 P 的共同作用,如下图 所示,试求: (1)危险点的单元体应力状态; (2)用 m,P,e,d 表示的第三强度理论和第四强度理论表 示的相当应力。

解: (1)将外力 P 向杆件截面形心平移,得到附加的力偶 M=Pe,杆 件,受拉、弯、扭组合变形。 由叠加原理,考虑杆件分别拉伸变形、弯曲变形、扭转变形。

16 M 4P ;杆件承受拉伸变形: ? ? 3 ?d ?d 2 32 Pe 杆件承受弯曲变形,横截面上最大应力为: ? ' ? ?d 3 4 Pd ? 32 Pe 16 M 危险点处的应力状态为: ? ? ? ? ? ' ? ,? ? 3 ?d ?d 3
杆件承受扭转变形: ? ?

? max ? ? ? ' ? ? ? ? ' ? 2 2 2 Pd ? 16 Pe ? 2 Pd ? 16 Pe ? 2 ? 16 M ? 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 3 ? (2)由于 ? min 2 2 ? ?d 3 ?d 3 ? ? ? ? ?d ?
则危险点的主应力为: ? 1 ?

2 Pd ? 16 Pe ? 2 Pd ? 16 Pe ? ? 16 M ? ? ? ,? 2 ? 0 ? ?? 3 3 ? ?d ?d 3 ? ? ? ?d ? 2 Pd ? 16 Pe ? 2 Pd ? 16 Pe ? ? 16 M ? ? ? ? ?? 3 3 ? ?d ?d 3 ? ? ? ?d ?
2 2 2 2

2

2

?3 ?

由第三强度理论相当应力: ? 3r ? ? 1 ? ? 3 ? ? ? 4?

? 4 Pd ? 32 Pe ? ? 32 M ? ? ? ? ?? 3 ? ?d 3 ? ? ? ?d ?

2

2

? 4r ?
由第四强度理论相当应力:
2

1 ?? 1 ? ? 2 ?2 ? ?? 1 ? ? 3 ?2 ? ?? 3 ? ? 2 ?2 2
2 2 2

?

?

? 4 Pd ? 32 Pe ? ? 16 M ? ? ? ? 3? ? ? ? ? 3? 3 3 ? ?d ? ? ? ?d ?

18、AB、AC、DE 三杆用铰链连接如图所示,DE 杆的 E 端作用一力偶,其力偶矩 M 的大小为 2 kN ﹒m;又 AD = BD = 1m,若不计杆重,求铰链 C、F 的约束反力。

解:
A FA x F D B F Bx FB y
45 o

A F Ay D FD x B FB x FBy F Dy FD x FD y D F Fx FF y

M E C FC

F

M E

?? M B ? 0,FC ? 2 ? 2 ? 0 ? FC ? 1k N ? ? ? 以整体为研究对象,由平衡方程: ?? Fx ? 0,FBx ? 0 ?解得 ?? FBx ? 0 ? ? ? ? F ? ?1k N ?? Fy ? 0,FBy ? FC ? 0 ? By ?
以 AB 杆研究对象,由平衡方程:

?M
'

A

? 0,FDx ? 0
'

由作用力与反作用力之间的关系有: FDx ? FDx,FDy ? FDy
' ' ?? M F ? 0,FDy ? 1 ? 2 ? 0 ? FDy ? 2k N ? ? ? 解得 ' 以 DE 杆研究对象,由平衡方程: ?? Fx ? 0,FDx ? FFx ? 0 ?? ?? FFx ? 0 ? ? ? F ? ?2k N ' ?? Fy ? 0,FDy ? FFy ? 0 ? Fy ?

求得结果为: FDx ? 0,FDy ? 2kN,FFx ? 0,FFy ? ?2kN 。

19、图示一外伸梁自重及摩擦不计,已知梁长为 3a,横向荷载 P ? qa , M ? qa ,均布荷载集度为
2

, ,并标明端值。 q , FA ? 2qa??? FB ? qa??? ,请画出右图所示梁的剪力图和弯矩图(方法不限)

题二、2 图
20、一直角拐如图所示,已知 AB 和 BC 均为圆杆,直径 d=60mm,AB 长 l=600mm,BC 长 a=120mm, P=3kN,F=1kN,许用应力[σ]=140MPa。试按第三强度理论校核 AB 杆的强度。

解:将力 F 平移至 B 点,得到力 F’和 Mz=-120Nm。将力 P 平移至 B 点,得到力 P’和 Mx=-360Nm 可知:AB 杆为拉、弯、扭组合变形,危险截面在 A 处,
2 FN ? 1000 N,M ? M z2 ? M y ? 12 0 2 ? 18 00 2 ? 1804 N ? m,M x ? 360 N ? m。

危险点在截面 A 的外围,围绕危险点截取原始单元体,其应力状态为:

??

? r3 ? r4

F M 1000 1804 Mx 36 0 ? ? +. =85 .46 MPa,? ? ? =8.49 MPa 2 3 A W ? ? 0.06 Wp ? ? 0.06 3 ? ? 0.06 4 32 16 ? ??3 ? 1 ? ? 2 ? 4? 2 ? 87 .13 MPa ? ?? ? ? 140 MPa 2 1 ?? 1 ? ? 2 ?2 ? ?? 1 ? ? 3 ?2 ? ?? 3 ? ? 2 ?2 ? ? 2 ? 3? 2 ? 86.72 MPa ? ?? ? ? 140 MPa ? 2

?

?

所以安全。

21、 图示结构中 ABC 梁为 No.14 普通热轧工字钢, A ? 21.5cm ,Wz ? 102cm ;BD 为圆截面直杆,
2 3

其直径为 d=20mm, ABC、BD 两者均为 Q235 钢,E=206GPa,? s ? 235 MPa ,? p ? 200 MPa 。A、C、 D 三处均为球铰链约束。若已知 Fp=25kN,AB=BC=1.25m,BD=0.55m。强度安全因素 ns ? 1.45 ,稳 定安全因素 ?n?st ? 1.8 。试校核此结构是否安全?

解:ABC 构件承受拉伸和弯曲的组合作用,属于强度问题;其最大弯矩在截面 C 处,该截面也是危险

截面:

M max ? P sin 30 ? ? BC ? 25 ? 10 3 ? 0.5 ? 1.25 ? 1.563 ? 10 4 N FN ? P cos 30 ? ? 21 .65 k N

? max ?

M max FN 1.563 ? 10 4 21 .65 ? 10 3 ? ? ? ? 163 .2MPa Wz A 102 ? 10 3 ? 10 ?9 21 .5 ? 10 2 ? 10 ? 4

ABC 梁的许用应力为: ?? ? ?

?s
ns

?

235 ? 162 MPa , 1.45

? max ? ?? ? ? 100 % ? 0.7% ? 5%, 工程上仍然认为是安全的。 ?? ?
杆 BD 承受压缩载荷作用: 由平衡方程:

? M A ?F ? ? P sin 30 ? ? AC ? FBC ? AB ? 0 ? FBC ? 25kN ?

? 2E ? 2 ? 206 ? 10 9 ?p ? ? ? 101 ?p 200 ? 10 6
因为两端为球铰链约束, ? ? 1.0 , ? ?

?l
i

?

1.0 ? 0.55 I A

? 110 ? ? p ? 101

压杆的临界压力为: Fcr ?

? 2 EI ? 3 ? 206 ? 10 9 ? 20 4 ? 10 ?12 ? ? 52.8k N 0.55 2 ? 64 ??l ?2
Fcr 52.8 ? ? 2.11 ? ?n?st ? 1.8 ,压杆的稳定性是安全的。 FBD 25

压杆的工作安全因数: n w ?

所以,整个结构的强度和稳定性都是安全的。 22、已知 AB=BC=1m,DK=KE,F=1732kN,W=1000kN,各杆重量略去不计,试求 A,E 处的约束力。

E F K D
30 °

E FEx FEx K D MA W B C
30 °

F

W A B C FAx FAx E FEx FEx K D
30 °

解: (1)取 EKD 杆为研究对象,作受力图:

A

? M E ( F ) ?0, FD ? ED cos30 ? ? F ? EK ? 0, ? FD ? 1000 kN ?

? Fx ? 0,FEx ? F sin 30? ? 0, ? FEx ? 866 kN ?F
y

F MA FAx F A B C W FC

? 0,FEy ? FD ? F cos30 ? ? 0, ? FEy ? 500 kN

DC 杆为二力构件, (1)取 ABC 杆为研究对象,作受力图: FC ? FD

? M ( F ) ?0, M ? F ? F ? 0,F ? 0, ? F ? 0,F ? W ? F
A A x Ax y Ay

?

C

? 2 ? W ? 1 ? 0, ? M A ? 3000 k N ? m ? 0, ? FAy ? 2000 k N

C

23、一悬臂梁自重不计,受力如下图所示,请画出该梁的剪力图和弯矩图(方法不限) ,并标明端值。

解:

24、图示的空心圆轴外径为 D=100mm,内径 d=80mm,l=500mm,M1=6kN﹒m,M2=4 kN﹒m,材 料的剪切弹性模量 80Gpa。试求; (1)求轴的最大剪应力,并指出其位置; (2)求 C 截面对 A 截面的相对 扭转角φ C-A。

解: (1)扭矩图如下图所示:BC 段截面每一都是危险面,最大剪应力在危险截面的最外围:

? max ?

?M x ?max
WP

?

?
16

4000 ? 0.13 ? 1 ? 0.84

?

?

? 34.5MPa

(2) )因为扭矩沿轴线不是一连续函数,所以必须分段积分

负号表示面向 C 截面观察,该截面相对于 A 截面顺时针旋转。

?

2l

0

d? ? ?

2l

0

l M x ( A? B ) 2l M x ( B ?C ) Mx l ?M x( A? B ) ? M x( B?C ) ? dx ? ? dx ? ? dx ? 0 l GI P GI P GI P GI P

? 80 ? 10 9 ?

0.5

?
32

? 0.14 ? 1 ? 0.8 4

?

?

? ?0.216 ? 10 ? 2 ? ?0.124 ?

M1

M2

A

l
M x (kNm)

B

l

C

2 4


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