周测4:选修2-2全部


2013-2014 学年(下)郑州七中分校高二数学周测试卷【4】
命题人:刘中阳 使用时间:2014 年 4 月 9 号(周四) 一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 3+ i 1. i 是虚数单位,复数 等于( ) 1- i A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i ).

2.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,…,则 52 011 的末四位数字为( A.3 125 B.5 625 C.0 625 ). D.8 125

1 1 1 3.设 a、b、c 均为正实数,则三个数 a+ 、b+ 、c+ ( b c a A.都大于 2


B.都小于 2 ) B.1

C.至少有一个不大于 2

D.至少有一个不小于 2

4.?0 |sin x|dx 等于( A.0

C.2

D.4

5,用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,利用归纳假设证 n=k+1 时 的情况,只需展开( A.(k+3)3 ). B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 ).

6,已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)=( A.-e B.-1 C.1 D.e

7,等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则 f′(0)=( A.2
6 2

).

B.2

9

C.2

12

D.2

15

8.设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下列图象 不可能为 y=f(x)的图象是( ).

9, 若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于( A.2 B.3 C.6 D.9 )

).

x+1 10.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于( x-1 A.2 1 B. 2 1 C.- 2 D.-2

11.已知函数 f(x)=mx3+nx2 在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行,若 f(x)在区间 [t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取值范围是( A. [-2,-1] B.[-2,0] ) D. (-3,-1)

C. (-3,-1]

12.设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值 为( A. 0 ) . B. 2 C. 4 D.1

二、填空题(本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 4x 13.若函数 f(x)= 2 在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数 m 的取值范围是__________. x +1 14.点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是________. 4 15.若 a≥b>0,则 a+ 的最小值为________. ?2a-b?b 16.复数 z=x-2i (x∈R)与其共轭复数 z 对应的向量相互垂直,则 x=________. 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知 x,y∈(0,+∞),且 x+y>2,求证: 1+y 1+x 和 中至少有一个小于 2. x y

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 18.(12 分)由下列各式:1> ,1+ + >1,1+ + + + + + > ,1+ + +?+ >2,?, 2 2 3 2 3 4 5 6 7 2 2 3 15 你能得到怎样的一般不等式,并加以证明.

19. (12 分)已知 a>0,求证:

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

20.(12 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米 1 3 /时)的函数解析式可以表示为:y= x3- x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千 128 000 80 米. (1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

b 21.(12 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 并求此定值.

1-a 22.(12 分)已知函数 f(x)=ln x-ax+ -1(a∈R). x 1 (1)当 a≤ 时,讨论 f(x)的单调性; 2 1 (2)设 g(x)=x2-2bx+4,当 a= 时,若对任意 x1∈(0,2),存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),求实数 4 b 的取值范围.

2013-2014 学年(下)郑州七中分校高二数学周测试卷【4】
一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D D D A B C 8 D 9 D 10 D 11 A 12 C

二、填空题(本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.(-1,0]; 13.(-1,0] 解析 4-4x2 f′(x)= 2 ,令 f′(x)>0,得-1<x<1,即函数 f(x)的增区间为(-1,1). ?x +1?2 解得-1<m≤0. 14. 2 ; 15.3; 16.± 2

m≥-1, ? ? 又 f(x)在(m,2m+1)上单调递增,所以?m<2m+1, ? ?2m+1≤1. 14. 2

1 解析 设曲线上一点的横坐标为 x0 (x0>0), 则经过该点的切线的斜率为 k=2x0- , 根据题意得, x0 1 1 2x0- =1,∴x0=1 或 x0=- ,又∵x0>0, x0 2 |1-1-2| ∴x0=1,此时 y0=1,∴切点的坐标为(1,1),最小距离为 = 2. 2 15.3 b b 4 1 a- ? + + 解析 a+ =? ≥3,当且仅当 a=b=2 时取等号. 2 ? ? 2 b ?2a-b?b ?a-b?· ? 2? 2 16.± 2 解析 ∵z=x-2i,∴ z =x+2i, 又两对应向量垂直,∴x2-4=0,∴x=± 2. 三、解答题(本题共 5 小题,共 70 分) 17.证明: 反证法 1+y 1+x 假设 ≥2, ≥2, x y 即 1+y≥2x,1+x≥2y. ∴2+x+y≥2x+2y.即 x+y≤2. 这与 x+y>2 矛盾. 1+y 1+x ∴ 和 中至少有一个小于 2. x y 18.解:观察发现,每一个不等式左边的第一项都是 1,各项的分子都是 1,分母按自然数顺序 1 1 1 排列,所以它的规律将由最后一项的分母确定.由 1, , , ,?,猜想第 n 个不等式左边 3 7 15 1 1 2 3 4 的最后一项为 n ,又由各不等式的右边可分别写成 ,1= , ,2= ,所以第 n 个不等式应 2 2 2 2 2 -1

n 为 . 2 1 1 1 n 猜想:第 n 个不等式为 1+ + +?+ n > (n∈N*). 2 3 2 -1 2 用数学归纳法证明如下 1 (1)当 n=1 时,1> ,猜想正确. 2 1 1 1 k (2)假设当 n=k 时猜想正确,即 1+ + +?+ k > (k∈N*), 2 3 2 -1 2 那么,当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1+ + +?+ k + k+ k +?+ k+1 2 3 2 2 -1 2 +1 2 -1 k 1 1 1 > + k+ k +?+ k+1 2 2 2 +1 2 -1 k 1 1 1 > + k+1+ k+1+?+ k+1 2 2 2 2 k 2k = + k+1 2 2 k 1 k+1 = + = . 2 2 2 ∴当 n=k+1 时,猜想也正确. 综上可知,对于任意 n∈N*,不等式成立. 1 1 19.证明:要证 a2+ 2- 2≥a+ -2 a a 1 1 只须证 a2+ 2+2≥a+ + 2,∵a>0, a a 1 1 ?2 故只要证( a2+ 2+2)2≥? ?a+a+ 2? . a 1 1 即 a2+ 2+4 a2+ 2+4 a a 1 1 a+ ?+2. ≥a2+2+ 2+2 2? ? a? a 1? 1 从而只要证 2 a2+ 2≥ 2? ?a+a?. a 1 1 a2+ 2?≥2?a2+ 2+2? 只要证 4? a? ? a ? ? 1 2 即 a + 2≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立. a 20, 解 (1) 当 x = 40( 千 米 / 时 ) 时 , 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了 100 = 2.5( 小 时 ) . 要 耗 油 40

? 1 ×403- 3 ×40+8?×2.5=17.5(升).所以当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲 80 ?128 000 ?
地到乙地耗油 17.5 升. 100 (2)当速度为 x 千米/时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 h(x)升,依题意得 h(x) x

1 3 100 1 2 800 15 x3- x+8?· = =? 80 ?128 000 ? x 1 280x + x - 4 (0<x≤120).
3 3 x 800 x -80 h′(x)= - 2 = 2 (0<x≤120), 640 x 640x

令 h′(x)=0,得 x=80,当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;当 x∈(80,120]时,h′(x) >0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取得极小值 h(80)=11.25. 因此 h(x)在(0,120]上只有一个极值,也是它的最小值. 所以,当汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升.

(2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 3? 3 2 (x-x0), 由 f′(x)=1+ 2知,曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=? ?1+x0 ? x 3? ? 3? 即 y-? ?x0-x ?=?1+x2?(x-x0).
0 0

6 6 0,- ?. 令 x=0 得,y=- ,从而得切线与直线 x=0 交点坐标为? x ? x0 0? 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 6 1 - ?|2x0|=6.故曲线 y= 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 ? 2? x0? f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,此定值为 6.

1 1 (ⅱ)当 0<a< 时, -1>1>0, 2 a x∈(0,1)时,h(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 1 x∈(1, -1)时,h(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; a 1 x∈( -1,+∞)时,h(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. a 1 (ⅲ)当 a<0 时,由于 -1<0, a x∈(0,1)时,h(x)>0,此时 f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时,h(x)<0,此时 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 综上所述:当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增;当 1 a= 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 1 当 0<a< 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,函数 f(x)在(1, -1)上单调递增,函数 f(x)在( - 2 a a 1,+∞)上单调递减. 1 1 (2)因为 a= ∈(0, ),由(1)知 x1=1,x2=3?(0,2). 4 2 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;当 x∈(1,2)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 1 所以 f(x)在(0,2)上的最小值为 f(1)=- . 2 由于“对任意 x1∈(0,2),存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不 1 大于 f(x)在(0,2)上的最小值- ”. (*) 2 又 g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],所以 ①当 b<1 时,因为 g(x)min=g(1)=5-2b>0,此时与(*)矛盾; ②当 b∈[1,2]时,因为 g(x)min=4-b2≥0,同样与(*)矛盾; 1 17 ③当 b∈(2,+∞)时,因为 g(x)min=g(2)=8-4b,解不等式 8-4b≤- ,可得 b≥ . 2 8 17 综上,b 的取值范围是[ ,+∞) 8


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