题能力突破5 考查函数零点区间的判断及方程根的问题(数形结合法)


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数形结合法:根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性 作出正确的判断,习惯上也叫数形结合法.有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何 意义,作出函数的图象或几何图形,借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等,综合 图象的特征得出结论.图形化策略就是以数形结合为指导的一种解题策略. 图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的,用这种策略解题比直接计算求解更能抓住 问题的实质、简捷迅速地得到结果.不过,运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方 程曲线、几何图形较熟悉,否则,错误的图象会导致错误的选择. 【例 17】? (2012·天津)函数 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析 法一 因为 f(0)=1+0-2=-1,
x
3

).

f(1)=2+1-2=1,即 f(0)·f(1)<0,

且函数 f(x)在(0,1)内连续不断,故 f(x)在(0,1)内的零点个数是 1. 法二 设 y1=2 ,y2=2-x ,在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示,可知 B 正确. 答案 B |x -1| 【例 18】? (2012·天津)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个 x-1 交点,则实数 k 的取值范围是________. 解析
2 2

x

3

去掉绝对值转化为分段函数后,作出图象利用数形结合的方法求解.因为函数 y 根据图象易知, 函数 y=kx-2 的图象恒过点(0, -2),

? |x -1| ?x+1,x≤-1或x>1, = =? x-1 ?-x-1,-1<x<1, ?

所以两个函数图象有两个交点时,0<k<1 或 1<k<4. 答案 (0,1)∪(1,4)

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【例 19】? (2012·福建)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=?

? ?a -ab,a≤b, ?b -ab,a>b. ?
2

2



f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2, x3,则 x1x2x3 的取值范围是________.
解析 f(x)=(2x-1)*(x-1)
? ?? =? ? ??

2x-1?

2 2

-? 2x-1? ? x-1? ,x≤0, 2x-1? ? x-1? ,x>0,

x-1?

-?

?2x -x,x≤0, ? 即 f(x)=? 2 ? ?-x +x,x>0.

2

如图所示,关于 x 的方程 f(x)=m 恰有三个互不相等的实根 x1,x2,x3,即函数 f(x)的图 1 象与直线 y=m 有三个不同的交点, 0<m< .不妨设从左到右的交点的横坐标分别为 x1, 2, 则 x 4

x3.
当 x>0 时,-x +x=m,即 x -x+m=0,∴x2+x3=1, ∴0<x2x3<?
2 2

?x2+x3?2,即 0<x x <1; ? 2 3 4 ? 2 ?
1- 3 得 x= , 4

?2x2-x=1, ? 4 当 x<0 时,由? ?x<0, ?


1- 3 3-1 <x1<0,∴0<-x1< . 4 4 3-1 1- 3 ,∴ <x1x2x3<0. 16 16

∴0<-x1x2x3< 答案 ?

?1- 3 ? ,0? ? 16 ?

命题研究:1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间. 2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系. 1 x 【押题 13】 已知函数 f(x)=2 +x,g(x)=x-log x,h(x)=log2x- x的零点分别为 2

x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是(

).

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A.x1>x2>x3 C.x1>x3>x2

B.x2>x1>x3 D.x3>x2>x1

1 x x 答案: D [由 f(x)=x+2 =0,得-x=2 ,则其零点 x1<0;由 g(x)=x-log x=0, 2 1 得 x=log x,则其零点 0<x2<1;由 h(x)=log2x- x=0,得 x=log2x,则其零点 x3>1. 2 因此 x1<x2<x3.]
? ?log2? x+1? ,x>0, [押题 14] 已知函数 f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0,

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,

则实数 m 的取值范围是________.

答案: 解析 函数 f(x)的图象如图所示,函数 f(x)=-x -2x(x≤0)的最大值是 1,故 只要 0<m<1 即可使方程 f(x)=m 有三个相异的实数根,即函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点. 答案 (0,1)

2

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