专题:与圆有关的最值问题


与圆有关的最值(取值范围)问题
引例 1: 在坐标系中, 点 A 的坐标为(3, 0), 点 B 为 y 轴正半轴上的一点, 点 C 是第一象限内一点, 且 AC=2. 设 tan∠BOC=m,则 m 的取值范围是_________. 引例 2:如图,在边长为 1 的等边△OAB 中,以边 AB 为直径作⊙D,以 O 为圆心 OA 长为半径作⊙O,C 为半圆 AB 上的一个动点(不与 A、B 两点重合) 弧? ,射线 AC 交⊙O 于点 E,BC= a ,AC= b ,求 a ? b 的最大值. 引例 3:如图,∠BAC=60°,半径长为 1 的圆 O 与∠BAC 的两边相切,P 为圆 O 上一动点,以 P 为圆心,PA 长 为半径的圆 P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点,连接 DE,则线段 DE 长度的最大值为( A.3 y B.6 C. ).

3 3 2

D. 3 3

B

C
O

O

A

x

C

A B D 一、题目分析: 此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方 法,注重了初、高中知识的衔接 1.引例 1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义) ,寻找动点 C 与两个定点 O、A 构成夹角的变化规律,转化为 特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化(增减性)进行了延伸考查,其实质是 高中“直线斜率”的直接运用; 2.引例 2:通过圆的基本性质,寻找动点 C 与两个定点 A、B 构成三角形的不变条件,结合不等式的性质 进行转化,其实质是高中“柯西不等式”的直接运用; 3.引例 3:本例动点的个数由引例 1、引例 2 中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、 动点关联上增加了题目的难度, 解答中还是注意动点 D、 E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件 (∠DAE=60°) , 构造弦 DE、直径所在的直角三角形,从而转化为弦 DE 与半径 AP 之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理” 的直接运用; 综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观 感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.

二、解题策略 1.直观感觉,画出图形; 2.特殊位置,比较结果; 3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立 等式,进行转化. 三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用 如图,A 点的坐标为(-2,1) ,以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B,P (a,b) 为⊙A 上的一个动点,请分别探索: ① b ? a 的最大值;② b ? a 的最小值;③ b ? a 的最大值;④ b ? a 的最大值;

y P A B O x A B P

y P A O x B

y

O

x

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【拓展延伸】 :① b ? 2a 的范围;② b ? 2a 的范围; 例二、圆外一点与圆的最近点、最远点 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点 D 是平面内的一个动点,且 AD=2,M 为 BD 的中点,在 D 点运动过程中,线段 CM 长度的取值范围是 .

A D M C B

AB 向 B 点运动(点 2.如图,⊙O 的直径为 4,C 为⊙O 上一个定点,∠ABC=30°,动点 P 从 A 点出发沿半圆弧 ?
P 与点 C 在直径 AB 的异侧),当 P 点到达 B 点时运动停止,在运动过程中,过点 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延 长线于 D 点. (1)在点 P 的运动过程中,线段 CD 长度的取值范围为 ; D (2)在点 P 的运动过程中,线段 AD 长度的最大值为 . C

A
例三、正弦定理

O P

B

1.如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB= 2 2 ,D 是线段 BC 上的一个动点,以 AD 为直径作⊙O 分 别交 AB,AC 于 E,F 两点,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为 .

2. 如图,定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙O 上滑动(点 C、D 与点 A、B 不重合) ,M 是 CD 的中点,过点 C 作 CP ⊥AB 于点 P,若 CD=3,AB=8,则 PM 长度的最大值是 .

例四、柯西不等式、配方法 1.如图,已知半径为 2 的⊙O 与直线 l 相切于点 A,点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点,过点 P 作直线 l 的垂 线,垂足为 C,PC 与⊙O 交于点 D,连接 PA、PB,设 PC 的长为 x(2<x<4) ,则当 x= 时,PD?CD 的值最 大,且最大值是为 .

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2.如图,线段 AB=4,C 为线段 AB 上的一个动点,以 AC、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE,⊙O 外接于△CDE, 则⊙O 半径的最小值为( ). A.4 B.

2 3 3

C.

3 2 2

D. 2
D O

E

A

C

B

3.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为圆心,2 为半径画⊙O,P 是⊙O 上一动点,且 P 在第一象限内,过 点 P 作⊙O 的切线与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,线段 AB 长度的最小值是 .

例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角) 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D 为 AB 边上一点,过点 D 作 CD 的垂线交直线 BC 于点 E, A 则线段 CE 长度的最小值是 .

D

C

O

E B

2.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以 AC 上的一点 O 为圆心 OA 为半径作⊙O,若⊙O 与边 BC 始终有交点(包括 B、C 两点) ,则线段 AO 的取值范围是 . A

O C B

3.如图,射线 PQ∥射线 MN,PM⊥MN,A 为 PM 的中点,O 为射线 PQ 上的一个动点,AC⊥AB 交 MN 于点 C,当以 O 为圆心,以 OB 为半径的圆与线段 PM 有公共点时 (包括 P、M 两点) ,则线段 OP 长度的最小值为 .

P A M B
第 3 页 共 3 页

O

Q

N

例五、其他几何知识的运用 如图所示, AC⊥AB, AB=6, AC=4, 点 D 是以 AB 为直径的半圆 O 上一动点, DE⊥CD 交直线 AB 于点 E, 设∠DAB= ? , ( 0 ° < ? < 90 ° ) . 若 要 使 点 E 在 线 段 OA 上 ( 包 括 O 、 A 两 点 ) , 则 tan? 的 取 值 范 围 为 .

【题型训练】 1.如图,已知直线 l 与⊙O 相离,OA⊥l 于点 A,OA=5,OA 与⊙O 相交于点 P,AB 与⊙O 相切于点 B,BP 的延 长线交直线 l 于点 C,若在⊙O 上存在点 Q,使△QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形,则⊙O 的半径 r 的取值范 围为 .

C G B E O D F A

C

B

A

2.已知:如图,RtΔ ABC 中,∠B=90?,∠A=30?,BC=6cm,点 O 从 A 点出发,沿 AB 以每秒 3 cm 的速度向 B 点方向运动,当点 O 运动了 t 秒(t>0)时,以 O 点为圆心的圆与边 AC 相切于点 D,与边 AB 相交于 E、F 两点, 过 E 作 EG⊥DE 交射线 BC 于 G. (1)若点 G 在线段 BC 上,则 t 的取值范围是 ; (2)若点 G 在线段 BC 的延长线上,则 t 的取值范围是 . 3.如图,⊙M,⊙N 的半径分别为 2cm,4cm,圆心距 MN=10cm.P 为⊙M 上的任意一点,Q 为⊙N 上的任意一点, 直线 PQ 与连心线 l 所夹的锐角度数为 ? ,当 P、Q 在两圆上任意运动时, tan ?? 的最大值为( ). (A)

6 12
P M

(B)

4 3
Q

(C)

3 3

(D)

3 4

A

P

D

N

l

O

B C 4.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,O 为矩形 ABCD 的中心,以 D 为圆心 1 为半径作⊙D,P 为⊙D 上的一 个动点,连接 AP、OP,则△AOP 面积的最大值为( ).

(A)4

(B)

21 5

(C)

35 8

(D)

17 4

第 4 页 共 4 页

5.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=8,BC=6,经过点 C 且与边 AB 相切 的动圆与 CA 、CB 分别相交于点 P、 Q,则线段 PQ 长度的最小值是( ). A.

19 4

B.

24 5

C.5

D. 4 2

6.如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=4,D 是 AB 的中点,点 E 在 AB 边上运动(点 E 不与点 A 重合) , 过 A、D、E 三点作⊙O,⊙O 交 AC 于另一点 F,在此运动变化的过程中,线段 EF 长度的最小值为 .

C P Q
E O

A F

A

D

B

B

D

C

7.如图,A、B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C 的圆心的坐标为(-1,0),半径为 1,若 D 是⊙C 上的 一个动点,线段 DA 与 y 轴交于点 E,则△ABE 面积的最小值是( ). A.2 B.1 C. 2 ?

2 2

D. 2 ? 2

8.如图,已知 A、B 两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C 的圆心坐标为(0,-1),半径为 1,D 是⊙C 上的 一个动点,射线 AD 与 y 轴交于点 E,则△ABE 面积的最大值是( ). A.3 B.

11 3

C.

10 3

D.4

9.如图,等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C 的半径为 1,点 P 在斜边 AB 上,PQ 切⊙O 于点 Q,则 切线长 PQ 长度的最小值为( ). A. 7 B. 2 2 C. 3 D.4

10.如图∠BAC=60°,半径长 1 的⊙O 与∠BAC 的两边相切,P 为⊙O 上一动点,以 P 为圆心,PA 长为半径的 ⊙P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点,连接 DE,则线段 DE 长度的范围为 .

A P

y P

Q C B

O

A

x

11.在直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,0) ,点 P( m,n )是第一象限内一点,且 AB=2,则 m ? n 的范围 为 .

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12.在坐标系中,点 A 的坐标为(3,0) ,点 B 是 y 轴右侧一点,且 AB=2,点 C 上直线 y=x+1 上一动点,且 CB ⊥AB 于点 B,则 tan ?ACB ? m ,则 m 的取值范围是 .
y B P

O

A

x

13.在平面直角坐标系中,M(3,4) ,P 是以 M 为圆心,2 为半径的⊙M 上一动点,A(-1,0) 、B(1,0) ,连 2 2 接 PA、PB,则 PA +PB 最大值是 .

综合点评: 与圆有关的最值问题,看着无从下手,但只要仔细观察,分析图形,寻找动点与定点之间不变的维系条件, 构建关系,将研究的问题转化为变量与常量之间的关系,就能找到解决问题的突破口!

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