2013届高三理科数学专题复习--立几专题3


2013 届高三理科数学专题复习——立体几何
班别:_______学号:______姓名:_____________
1.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , PA ? 平 面 ABCD , PA ? AD ? 4 , AB ? 2 ,点 O 为 BD 的中点, M 为 PD 中点. P (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角的正弦值; M (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.

A

D

O B C

1

2.(2012 济南 3 月模拟)如图,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP⊥AB,AB=BC=

1 AP=2, 2

D 是 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,使得 PD ⊥平面 ABCD.

(1) 求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (2) 求二面角 G-EF-D 的大小; (3) 求三棱椎 D-PAB 的体积.

2

3.本题满分 14 分) 如图, 在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 面 ABCD ,BD 交 AC 于点 E ,F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点. ⑴求证: BD ? FG ; ⑵确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由. 2π ⑶当二面角 B ? PC ? D 的大小为 时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值. 3
P

F

A E G B C

D

4、(2012 威海二模)如图所示多面体中,AD⊥平面 PDC,ABCD 为平行四边形,E 为 AD 的中点,F 为线段 BP 上一点,∠CDP= 120 ,AD= 3 ,AP= 5 ,PC= 2 7 . (Ⅰ)若 F 为 BP 的中点,求证:EF∥平面 PDC; (Ⅱ)若 BF ?
?

1 BP ,求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值. 3
A

E B D 3 C F P

。 5、 (2012 日照 5 月模拟) 如图, 四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, DAB ? ?DBF ? 60 , ?
且 FA ? FC . (Ⅰ)求证: AC ? 平面BDEF ; (Ⅱ)求证: FC // 平面EAD ; (Ⅲ)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值。

4

??? ? ? PC ? n 2 2 1.(1)证明:见解析; (2) sin ? ? ??? ? ? ? 3 PC n

???? ? AO ? n ; (3) h ? ? ? 2 n

2。【答案】解 (1) 证明:方法一: ∵PD⊥平面 ABCD ∴PD⊥CD………………………………………………………………1 分 ∵CD⊥AD ∴CD⊥平面 PAD………………………………………………………2 分 ∵CD ? 平面 PCD ∴平面 PCD⊥平面 PAD………………………………………………3 分 方法二:略(向量法) (2) 如图以 D 为原点,以 DA, DC , DP 为方向向量建立空间直角坐标系 D-xyz. 则有关点及向量的坐标为: ………………………………4 分 G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)

??? ???? ??? ? ?

???? ??? ? EF =(0,-1,0), EG =(1,1,-1)……5 分
设平面 EFG 的法向量为 n =(x,y,z)

?

? ??? ? ?n?EF ? 0 ?? y ? 0 ?x ? z ? ∴ ? ? ??? 第 19 题图 ?? ?? . ? ?n?EG ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ? y ? 0 ? ? 取 n =(1,0,1) ………………………………………………………………6 分
平面 PCD 的一个法向量, DA =(1,0,0)…………………………………7 分

??? ?

??? ? ? ??? ? ? DA?n 2 2 ? ∴cos DA, n ? ??? ? ? ………………………………8 分 ? 2 | DA |? n | 2 2 |
结合图知二面角 G-EF-D 的平面角为 45°……………………………9 分

1 1 1 4 VD ? PAB ? VP ? DAB ? S? ABD PD= ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ………………12 分 3 3 2 3
3.【答案】⑴见解析;⑵当 G 为 EC 中点,即 AG ? (3) tan ?PCA ?
PA 1 2 ? ? . AC 2 2

3 AC 时, FG ∥ 平面 PBD ; 4

4.解(Ⅰ)取 PC 的中点为 O,连 FO,DO, ∵ F,O 分别为 BP,PC 的中点, ∴ FO ∥BC,且 FO ? A Z

1 BC , 2 1 BC , 2
E B F D P O C

又 ABCD 为平行四边形, ED ∥BC,且 ED ?

5

y

x

∴ FO ∥ED,且 FO ? ED ∴四边形 EFOD 是平行四边形 即 EF∥DO 又 EF ? 平面 PDC --------------------------------------------- 4 分 ---------------------------------------------2 分

∴EF∥平面 PDC.

(Ⅱ)以 DC 为 x 轴,过 D 点做 DC 的垂线为 y 轴,DA 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则有 D (0 ,0 , 0),C(2,0,0),B(2,0,3),P( ?2, 2 3,0) ,A(0,0,3)

??? ? ? 1 ??? 4 2 3, ?1) 设 F ( x, y, z ) , BF ? ( x ? 2, y, z ? 3) ? BP ? (? , 3 3 3 ??? ? 2 2 2 2 3, 2), 则 AF ? ( , 3, ?1) ∴ F( , -----------------------------8 分 3 3 3 3 ?? 设平面 PBC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z)

------------------------------6 分

?? ??? ? ?n1 ? CB ? 0 ? 则 ? ?? ??? ? ?n1 ? PC ? 0 ?

即?

?3 z ? 0 ? ?4 x ? 2 3 y ? 0 ?

取 y ? 1 得 n1 ? (

??

3 ,1, 0) -----------------10 分 2

2 3 2 ??? ? ? ? ? 3 ??? ? ? AF ? n 3 6 21 cos ? AF , n ?? ??? ? ? 3 2 3 ? ? ? 35 4 4 3 5 7 AF ? n ? ?1 ?1 ? 9 3 4 3 2
∴ AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 21 . 35

-------------------------12 分

5.解:(Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O,连结 FO. 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD ,且 O 为 AC 中点. 又 FA=FC,所以 AC ? FO . ………………………………………2 分 因为 FO ? BD ? O, FO ? 平面BDEF,BD ? 平面BDEF , 所以 AC ? 平面BDEF . ………………………………………………3 分

(Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD / / BC , DE / / BF , 因为 AD ? 平面FBC, DE ? 平面FBC 所以 AD//平面FBC,DE//平面FBC 又 AD ? DE ? D,AD ? 平面EAD,DE ? 平面EAD , 所以平面 FBC / /平面EAD

6

又 FC ? 平面FBC 所以 FC //平面EAD . ……………………………………6 分

(Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60 ,所以 ?DBF 为等边三角形。因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD. 由(Ⅰ)知 FO ? AC , AC ? BD ? O ,故



FO ? 平面ABCD .
由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz .

? 设 AB=2。 因为四边形 ABCD 为菱形, DAB ? 60 , BD=2, 则 所以 OB=1, ? OF ? 3 . OA
所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3) .………………8 分 所以 CF ? ( 3,0, 3),CB ? ( 3,1,0) .
??? ? ?n ? CF ? 0, ? 设平面 BFC 的法向量为 n ? (x, y, z), 则有 ? ??? ? ?n ? CB ? 0. ? ? 3x ? 3z ? 0, ? 所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1, ? 3, ?1) . ? 3x ? y ? 0. ?
??? ? ??? ?



…………………………10 分

易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1, 0) . 由二面角 A-FC-B 是锐角,得 | cos ? n, v ?|? 所以二面角 A-FC-B 的余弦值为
| n?v| 15 ? . | n |?| v | 5

15 .…………………………………………12 分 5

7


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