3.2.2微积分基本公式


§3.2 定积分

曲边梯形的面积 变速直线运动的路程

lim ? f (? i )?xi ? ? f ( x )dx
b

n

? ?0

i ?1

a

内 容 回 顾

步骤:分割、近似、求和、取极限; 数学思想:以直代曲,以不变代变; 举例:

?

1

0

1 ? 1 ?? 1? 1 ?i? 1 x dx ? lim ? ? ? ? lim ? 1 ? ?? 2 ? ? ? n ?? n ?? 6 n? 3 ? n ?? i ?1 ? n ? n
n 2

2

二 、 定积分的性质
性质1

?a [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ?a
b b

b

b

f ( x )dx ? ?a g ( x )dx .

b

性质2

?a kf ( x )dx ? k ?a f ( x )dx

k 为常数). (

性质3
b

设a ? c ? b
c b

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c
例 若 a ? b ? c,
c b

f ( x )dx .

补充:不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?b f ( x )dx
c



?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?b f ( x )dx
b

c

c

? ?a f ( x )dx ? ?c f ( x )dx.
c b

(定积分对于积分区间具有可加性)

性质4

?a 1 ? dx ? ?a
b a

b

b

dx ? b ? a .

性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) ? 0 ,
则? f ( x )dx ? 0 . (a ? b)



b ?a

f ( x )dx ? lim ? f (? i )?xi ? 0
? ? 0 i ?1

n

性质5的推论:

(1)如果在区间[a , b]上 f ( x ) ? g( x ) ,
则 ?a f ( x )dx ?
b

?a g( x )dx .

b

(a ? b)



? f ( x ) ? g( x ),

? g( x ) ? f ( x ) ? 0,

?

?a [ g( x ) ? f ( x )]dx ? 0, b b ?a g( x )dx ? ?a f ( x )dx ? 0,
b

于是

?a f ( x )dx ? ?a g( x )dx .

b

b

性质6

设 M 及m 分别是函数

f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值,
则 m(b ? a ) ? ?a f ( x )dx ? M (b ? a ) .
b



? m ? f ( x) ? M ,

?

?a mdx ? ?a f ( x )dx ? ?a Mdx,
b b b b

m(b ? a ) ? ?a f ( x )dx ? M (b ? a ).
(此性质可用于估计积分值的大致范围)

性质7(定积分中值定理)
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续,

? 则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 ?a f ( x )dx ? f (? )(b ? a ) .
b



(a ? ? ? b)



? m(b ? a ) ? ?a f ( x )dx ? M (b ? a )

b

积分中值公式

由闭区间上连续函数的介值定理知 ? 在区间[a , b] 上至少存在一个点 , 1 b 使 f (? ) ? ?a f ( x )dx, b?a

1 b ? m? ?a f ( x )dx ? M b?a

积分中值公式的几何解释:

y
f (? )

在区间[a , b] 上至少存在一 使得以区间[a , b] 为 个点? ,
底边, 以曲线 y ? f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f (? )

o

a ?

b x 的一个矩形的面积。

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 在t 设一物体沿直线作变速直线运动, 时刻物体 的路程为s(t), 速度为v(t)(为了方便,设v(t) ? 0). 由定积分定义, 物体在时间间隔 [t1 , t2 ] 所走过

的路程为

s ? ? v ( t )dt .
t2 t1

另一方面,s ? s( t 2 ) ? s( t1 ). 所以

?

t2

t1

v ( t )dt ? s( t 2 ) ? s( t1 ).

?

t2

t1

v ( t )dt ? s( t 2 ) ? s( t1 ).

其中 s?( t ) ? v( t ).

? v(t )dt ? ? s (t )dt ? s(t ) ? s(t )
t2 t2 ' t1 t1 2 1

上式表明:

v(t)在区间 [t1 , t 2 ] 上的定积分值

?

t2

t1

v ( t )dt 可以表示为它的一个原函数在积分区间的

两个端点处的函数值之差 s( t 2 ) ? s( t1 ).

在区间上的定积分,可以用它的一个原函数在
积分区间上的两个端点处的函数值之差来表示。
提出问题: 该结论是不是偶然的?具有普遍性吗?

能不能推广到数学中的一般函数 猜想:

?

b

a

f ( x )dx ? F (b) ? F (a ).

进一步讨论
二、积分上限函数
  设函数f ( x )在区间[a , b]上连续, 并且设x为[a , b]上 的一点. 考察定积分 x f ( x )dx ? ?
a

?a

x

f ( t )dt .

  如果上限 x 在区间[a , b]上任意变动 , 则对于每一 个取定的 x 值, 定积分有一个对应值 , 所以它在[a , b]上 定义了一个函数 .
y

?

x

y ? f (t )

a

f ( t )dt 是定义在[a, b]
O a

? ( x)
xx x b
t

上的函数, 记作 ? ( x ),



? ( x ) ? ? f ( t )dt , x ? [a , b], a
同理, 可以定义区间[a, b]上的函数

x

称为积分上限函数.

? ( x ) ? ? f ( t )dt , x ? [a , b],
x

b

积 分 变 限 函 数

称为积分下限函数.

定理2 设函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 ? ( x )
在区间[a, b]上可导, 且 ? ?( x ) ? f ( x ). 证明 取定 x ? [a , b], 任取Δx ? 0 ( x ? Δx ? [a , b]), 由于 x ? Δx Δ? ? ? f ( t )dt ?
a

? ( x ) ? ? f ( t )dt ,
a

x

?

x

a

f ( t )dt ? ?

x ? Δx x

f ( t )dt ,

由积分中值定理得 Δ? 1 x ?Δx ? ?x f (t )dt Δx Δx

? f (? ),

0 ? ? ? 1.

由于函数 f (x)在区间[a, b]上连续, 有

Δ? lim f (? ) ? f ( x ). ? ?( x ) ? lim ? Δx ?0 Δx Δx ? 0 故函数? ( x )点x可导, 从而? ( x ) 在区间[a, b]上可导. 该定理表明:
(1)当函数 f (x) 在区间[a, b]上连续时,

?

x

a

f ( t )dt

就是 f (x) 在区间[a, b]上的一个原函数.
(2)肯定了连续函数的原函数是存在的. (3)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间 的联系.

进一步讨论 x 因F (x)与? f ( t )dt 都是 f (x)在区间[a, b]上的
a

原函数, 所以

x ? [a , b].
x a

F ( x ) ? ? f ( t )dt ? C ,
令x = a, 得 C ? ? F (a ), 于是

?
?
b a

x

a

f (t )dt ? F ( x ) ? F (a ), x ? [a , b],
b

特别取x = b, 得
f ( x )dx? F ((x ) a . F (a ). ?F b ?

Newton-Leibniz 公式

三. 微积分基本公式
定理2 设函数 f (x)在区间[a, b]上连续, F (x)是 f (x)
在区间[a, b]上的一个原函数, 则

?
表明:

b

a

f ( x )dx ? F (b) ? F (a ).

  一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的 任意一个原函数在区间 [a, b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.

例1
1 2

计算定积分 ? x 2dx .
0

1

1 ? 1 ?? 1? 1 ?i? 1 ?0 x dx ? lim ? ? n ? n ? lim 6 ?1 ? n ?? 2 ? n ? ? 3 n ?? n ?? ? ? ?? ? i ?1 ?
n

2



x3 由于 是 x 2 的一个原函数 , 所以 3
?x ? 1 1 13 0 3 2 ?0 x dx ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 0 ? 3 . ? ?0
1 3 1

例2

求 ? ( 2 cos x ? sin x ? 1)dx .
0

? 2



原式 ? ?2 sin x ? cos x ? x ?0
?
2

2 ?2 x 0 ? x ? 1 例3 设 f ( x ) ? ? , 求 ?0 f ( x )dx . 1? x ? 2 ?5

? ? 3? . 2



?0

2

f ( x )dx ? ?0 f ( x )dx ? ?1 f ( x )dx

1

2

y

在[1,2]上规定当x ? 1 时, f ( x ) ? 5 ,

原式 ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? 6.
1 2 0 1

o

1

2

x

例4

求?

?1

?2

1 dx. x

1 解 当 x ? 0 时, 的一个原函数是ln | x | , x ?1 1 dx ? ?ln | x |??1 ? ln1 ? ln 2 ? ? ln 2. ??2 x ?2 x 例 5 计算曲线 y ? sin x 在[0, ?]上与 轴所围
成的平面图形的面积.



面积 A ? ? sin xdx
0

?

y

? ?? cos x ? ? 2.
? 0

o

?

x

例6 求

?
π 0

π

0

ecos x sin xdx . sin xdx ? ? ? ecos xd ? cos x ?
π 0



?

e

cos x

? ?e

cos x π 0

1 ?e? . e

5. 小 结
(1)从物理和几何的角度去观察和讨论原函数与 积分的关系

(2)引入变限积分函数,并研究了其性质 (3)从理论上证明了微积分基本公式 (4)从举例进一步理解微积分基本公式及其计算

( ? f (t )dt)? ? f ( x ).
a

x

例:? sintdt)? ? sin x ( a
(?
x2 a
x2
x

x

f ( t )dt )? ? f ( x ) 2 x .
2

(?

e

sin( t )dt )?
2

? ( ? x sin( t )dt ? ?
2 e

0

x2

0

sin( t )dt )?
2

? sin(x )2 x ? sin( e
4

2x

)e

x

例:求

? lim
x ?0 x

x

0

s i ntdt x
2

0 分析:这是 型不定式,应用洛必达法则. 0


? lim
x ?0

0

s i ntdt x
2

? l im
x ?0

( ? sintdt )
x 0

'

( x 2 )'

sin x 1 ? ? lim x ?0 2 x 2

四 、定积分的换元法和分部积分法
(一)换元公式 定理 假设
(1) f ( x ) 在[a , b] 上连续; (2)函数 x ? ? (t ) 在[? , ? ] 上是单值的且有连续 导数; (3)当t 在区间[? , ? ] 上变化时, x ? ? (t ) 的值

在[a , b]上变化,且? (? ) ? a 、? ( ? ) ? b ,

则 有 ?a f ( x )dx ? ?? f [? ( t )]? ?( t )dt .

b

?

应用换元公式时应注意:
t (1)用 x ? ? (t ) 把变量x 换成新变量 时,积分限也
相应的改变.

求出 f [? ( t )]? ?( t )的一个原函数 ?(t ) 后,不 (2) 必象计算不定积分那样再要把 ?(t ) 变换成原 变量 x 的函数,而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入 ?(t ) 然后相减就行了.

例1

5 计算 ?0 cos x sin xdx.

? 2



令 t ? cos x,
? x ? ? t ? 0, 2

dt ? ? sin xdx ,

x ? 0 ? t ? 1,

?0

? 2

cos 5 x sin xdx
0 5
6 1

t 1 ? ? ?1 t dt ? ? . 60 6

例2

计算 ?0

?

sin3 x ? sin5 xdx.
3 2



? f ( x ) ? sin 3 x ? sin5 x ? cos x ?sin x ?
??
?
? 3 2

0

sin3 x ? sin5 xdx ? ? cos x ?sin x ? dx
0
3 2

? ? cos x ?sin x ? dx ? ?? cos x ?sin x ? dx ??

? 2 0 ? 2 0

?

3 2

?sin x ?
5 2

3 2
? 2

d sin x ? ?? ?sin x ? d sin x
2

2 ?

3 2

2 ? ?sin x ? 5

0

2 ? ?sin x ? 5

5 ? 2
? 2

4 ? . 5

例3 解

计算 ?0

a

1 dx . 2 2 x? a ? x

( a ? 0)

令 x ? a sin t ,

dx ? a cos tdt ,

原式 ? ?
? 2 0

? x ? a? t ? , 2 ?
2 0

x ? 0 ? t ? 0,

a cos t dt 2 2 a sin t ? a (1 ? sin t )

? 1 ? cos t ? sin t ?dt ?? ? ? ? sin t ? cos t ? ? ? 1 ? 1 2 ? . ? ? ? ?ln sin t ? cos t ? 0 4 2 2 2

? cos t 1 2 dt ? ? sin t ? cos t 2 0

例 4 当 f ( x ) 在[? a , a ]上连续,且有 ① f ( x ) 为偶函数,则

??a f ( x )dx ? 2?0
a 0

a

a

f ( x )dx ;
a

② f ( x ) 为奇函数,则 ?? a f ( x )dx ? 0 .


??a f ( x )dx ? ??a f ( x )dx ? ?0
在?
0 ?a

a

f ( x )dx,

f ( x )dx 中令 x ? ? t ,

??a f ( x )dx ? ? ?a f (? t )dt ? ?0
0 0 a 0

a

f ( ? t )dt ,

① f ( x ) 为偶函数,则 f ( ? t ) ? f ( t ),

??a f ( x )dx ? ??a f ( x )dx ? ?0
? 2?0 f ( t )dt;
a

a

f ( x )dx

② f ( x ) 为奇函数,则 f ( ? t ) ? ? f ( t ),

??a f ( x )dx ? ??a f ( x )dx ? ?0

a

0

a

f ( x )dx ? 0.

例5

计算 ??1
1

2 x 2 ? x cos x dx . 2 1? 1? x
1 x cos x 2x dx dx ? ??1 2 2 1? 1? x 1? 1? x

解 原式 ? ??1

1

2

偶函数

奇函数

? 4?0

1

2 2 x 1 x (1 ? 1 ? x ) dx ? 4 ? dx 2 2 0 1? 1? x 1 ? (1 ? x )

2

? 4?0 (1 ? 1 ? x )dx ? 4 ? 4?0
2

1

1

1 ? x 2 dx

? 4 ? ?.

单位圆的面积

小结
定积分的换元法

?a f ( x )dx ? ??

b

?

f [? ( t )]? ?( t )dt

(二)分部积分公式
设函数u( x )、v ( x ) 在区间?a, b? 上具有连续 导数,则有 ?a udv ? ?uv ? ? ?a vdu .
b b a b

推导

定积分的分部积分公式 b b ?uv ?? ? u?v ? uv?, ?a (uv )?dx ? ?uv ? ,
a

?uv ?
?

b a

? ?a u?vdx ? ?a uv?dx,
b b

?

b

a

udv ? ?uv ? ? ? vdu.
b a a

b

例1

计算 ?0 arcsin xdx. 令 u ? arcsin x ,

1 2



dv ? dx ,

dx 则 du ? , 2 1? x
1 2

v ? x,
1 2

?0 arcsinxdx ? ? x arcsin x ? 0 ? ?0
1 1 ? 1 1 2 2 ? ? ? ? d (1 ? x ) 2 0 2 6 2 1? x 1 ? ? 3 2 2 ? ? 1. ? 1? x 0 ? ? 12 12 2

1 2

xdx 1 ? x2

?

?

例2

xdx . 计算 ?0 1 ? cos 2 x

? 4



?1 ? cos 2 x ? 2 cos x ,
2
? ? xdx xdx 4 4 x ?? ?? ? ? d ?tan x ? 2 0 1 ? cos 2 x 0 2 cos x 0 2
? 1 ? 1 4 4 ? ? x tan x ? 0 ? ? tan xdx 2 0 2 ? ? 1 ? ln 2 4 ? ? ?ln sec x ? 0 ? ? . 8 2 8 4 ? 4

药物从患者的尿液中排出,一种典型 r (t ) ? te ? kt 其中k是常数. 的排泄速率函数是 , 求在时间间隔 ?0, T ? 内,排出药物的量D
解 D

例3

?
? kt

?

T

0

r ( t )dt ?

?

T

0

te dt

? kt

? ? (te
1 k

T T ? kt 1 ? kt T ? kt ? ? e dt) ? ? T e ? 2 e k 0 0 k 0

1 1 ? kT T ? 2 ?e ( ? 2) k k k

小结
定积分的分部积分公式

? udv ? ?uv ? ? ? vdu.
b b a a a

b

(注意与不定积分分部积分法的区别)


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