专题三第三讲 直线、平面垂直的判定与性质


第三讲
知识梳理 1.直线与平面垂直

直线、平面垂直的判定与性质

图形

条件

结论

a⊥b,b? α (b 为 α 内
的 )

a⊥α

判定

a⊥m,a⊥n,m、n? α ,

a⊥α

a∥b,

b⊥α

a⊥α ,
性质

a⊥b

a⊥α ,b⊥α
[知识拓展] 几个常用的结论 (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直; (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直; (3)垂直于同一直线的两个平面互相平行. 2.两个平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一 条 ,那么这两个平面互相垂直 图形语言 符号语言

判定定理

l? β ? ? ? l⊥α ? ?
? α ⊥β

(3)平面与平面垂直的性质定理

1

文字语言 如果两个平面互相垂直,那么在一个 平面内垂直于它们 的直线垂直于

图形语言

符号语言

性质 定理

另一个平面

3.线面角与二面角 (1)直线和平面所成的角 ①平面的一条斜线与它在 所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角.

②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别 为 .

(2)二面角的有关概念 ①二面角:从一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 的两

②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作 条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l⊥α .( (2)若直线 a⊥平面 α ,直线 b∥α ,则直线 a 与 b 垂直.( (3)直线 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b.( (4)若 α ⊥β ,a⊥β ? a∥α .( (5)a⊥α ,a? β ? α ⊥β .( 考点自测 1.下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的是________. ①l 与平面 α 内的两条直线垂直; ②l 与平面 α 内无数条直线垂直; ③l 与平面 α 内的某一条直线垂直; ④l 与平面 α 内任意一条直线垂直. ) ) ) ) )

2.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是________. ①若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n; ②若 α ∥β ,m? α ,n? β , ,则 m∥n; ③若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β ; ④若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β . 3.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列结论正确的是________. ①若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α ;
2

②若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α ; ③若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α ; ④若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α . 4.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及平面 β 之外的两条不同的直线,给出四个 论断:①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断 作为结论,写出你认为正确的一个命题:____________________________. 典型例题 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA =AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

思维升华 (1)证明直线和平面垂直的常用方法: ①判定定理; ②垂直于平面的传递性(a∥b,

a⊥α ? b⊥α );③面面平行的性质(a⊥α ,α ∥β ? a⊥β );④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判 定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直. Rt△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC.求证:BD⊥平面 SAC.

题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB∥CD, AB⊥AD, CD=2AB, 平面 PAD⊥ 底面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD、PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法: ①面面垂直的定义;
3

②面面垂直的判定定理(a⊥β ,a? α ? α ⊥β ). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. (2014·北京)如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱垂直于底面,

AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.
(1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积.

题型三

线面角、二面角的求法

例 3 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC =60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正弦值.

思维升华 求线面角、二面角的常用方法: (1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一 个三角形中求解. (2)二面角的大小求法: 二面角的大小用它的平面角来度量. 平面角的作法常见的有①定义法; ②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质. 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方 形,△PAD 是正三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,E、F、G 分别是 PA、

PB、BC 的中点.
(1)求证:EF⊥平面 PAD; (2)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小; 方法与技巧 1.三类论证 (1)证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90°; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a⊥α ,b? α ? a⊥b;
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④线面垂直的性质:a⊥α ,b∥α ? a⊥b. (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直? a⊥α ; ②判定定理 1:
? m、n? α ,m∩n=A? ?? l⊥α ; ? ?

l⊥m,l⊥n

③判定定理 2:a∥b,a⊥α ? b⊥α ; ④面面平行的性质:α ∥β ,a⊥α ? a⊥β ; ⑤面面垂直的性质:α ⊥β ,α ∩β =l,a? α ,a⊥l? a⊥β . (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a? α ,a⊥β ? α ⊥β . 2.转化思想:垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则 可通过作辅助线来解决.

课后作业 1.给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是________. 2.有以下四个条件:①平面 γ 与平面 α ,β 所成的锐二面角相等;②直线 a∥b,a⊥平面 α ,b⊥平面 β ;③a,b 是异面直线,a⊥α ,b⊥β ,且 a∥β ,b∥α ;④平面 α 内距离 为 d 的两条平行直线在平面 β 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线.其中能推出 α ∥β 的 条件有________.(填写所有符合要求的条件的序号). 3.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在________. ①直线 AB 上 ②直线 BC 上 ③直线 AC 上
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④△ABC 内部 4.如图所示,已知 E,F 分别是正方体的棱 BB1,AD 的中点,则直线 EF 和平面 BDD1B1 所成角 的正弦值是________.

5.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且

AB 为⊙O 的直径, 点 M 为线段 PB 的中点. 现有结论: ①BC⊥PC; ②OM∥
平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长,其中正确的是 ________. 6.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC 和△PAC 的边所在 的直线中,与 PC 垂直的直线有________;与 AP 垂直的直线有________. 7.在正三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,有下列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥ 平面 PDE;③AB⊥平面 PDE.其中正确论断的序号为________. 8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为________.

9. 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是直角梯形, AD∥BC, AB⊥BC,

AD=2,AB=3,BC=BE=7,△DCE 是边长为 6 的正三角形.
(1)求证:平面 DEC⊥平面 BDE; (2)求点 A 到平面 BDE 的距离.

10. 如图, 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是等腰梯形, ∠DAB =60°,AB=2CD=2,M 是线段 AB 的中点. (1)求证:C1M∥平面 A1ADD1; (2)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1= 3, 求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所 成的角(锐角)的余弦值.

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