空间点直线平面之间的位置关系1(案)


空间点、直线、平面之间的位置关系(案) 2.1.1 平面 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握平面的表示法及水平放置的直观图; (2)掌握平面的基本性质及作用; 2、过程与方法 (1)通过师生的共同讨论,利用生活中的实物形成平面的概念,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理点、线、面的关系. 3、情感与价值 使学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣,提高学生的空间想象能力. 二、教学重点、难点 重点:1、平面的概念及表示; 2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言. 难点:平面基本性质的掌握与运用. 教学过程: 一、创设情境,新课引入 1. 利用你手中的直尺,如何判定你课桌的桌面是不是平的. 2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳,为什么? 3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上,硬纸板与讲台面不重合,能否说这两个平面只有一个公共 点? 4.教师借助实物,引入生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,这些都给我 们以平面的印象.给同学设问:你们能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流.与此同 时,教师对学生的活动给予评价.顺势导入新课. 二、师生互动,新课讲解 1、平面含义 教师根据上述平面实例,导入几何里所说的平面概念,就是从这样的一些物体中抽象出来的,强调 几何里的平面是无限延展的. 2、平面的画法及表示 教师设问师:在平面几何中,怎样画直线? 引入平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2
0

倍长(如图)
D C

A

α

B

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边形 的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画。

a
·B ·A

平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α 3、平面的基本性质 无限延展性 4、 探究公理 (1)问题 1 的探究 教师提出问题,引发学生思考:

α

如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢? (把直尺放在物体表面的各个方向上,如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙,就可判断物体表 面是平的) 教师点拔:这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法.如果物体表面是平的,把直尺边缘无论 如何放在平面上,则边缘与平面都没有缝隙,也就是说,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这 条直线上的所有点都在这个平面内.由此,可以归纳出公理 1. 公理 1 14-1). 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内(如图

这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.这一性质是平面的主要特征.弯曲的面就不是处处具 有这种性质. 教师进一步分析: 为了书写的简便, 我们把代数中刚学习过的有关集合的符号, 引入立体几何中. 把 点作为基本元素,直线、平面即为“点的集合”,这样: 点 A 在直线 a 上,记作 A∈a; 点 A 在直线 a 外,记作 A a;

点 A 在平面α 内,记作 A∈α ; 点 A 在平面α 外,记作 A 直线 a 在平面α 内,记作 a 直线 a 在平面α 外,记作 a α ; α ; α . α .

公理 1 用集合符号表示为:A∈a,B∈a,A∈α ,B∈α ,则有a

例 1:证明如果一个三角形的两边在一个平面内,那么第三边也在这个平面内. 注意:在分析过程中,一定要强调“要证明直线在平面内,则应该证明什么?条件中有没有,没有 如何去创造”.通过这种逆推思路的分析,培养学生良好的思考习惯. 课堂练习 1:判断下列命题的真假 ① 如果一条直线不在平面内,则这条直线与平面没有公共点.( X ) ② 过一条直线的平面有无数多个.(V ) ③ 与一个平面没有公共点的直线不存在.(X) ④ 如果线段 AB 在平面α 内,则直线 AB 也在平面内 a.(V) (2)问题 2 的探究 教师提出问题,引发学生思考: 自行车有一个脚撑就可站稳,为什么?

(因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上,而且为了站稳,前轮着地点、后 轮着地点、脚撑着地点三点不共线,因此我们可以推测:过不共线的三点有且只有一个平面)

教师演示:用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点(如图 14-2),当 把作为平面的硬纸板放在上面时,这张作为平面的硬纸板不能再“动”了,因为一动就要离开其中的一 个点,硬纸板所在平面就不能确定了,正如同刚才的发现:过不共线的三点有且只有一个平面. 公理 2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.(如图 14-3)

公理 2 也可以简单地说成:不共线的三点确定一个平面. 教师出示问题:试举出一个应用公理 2 的实例. (例如,一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了) 教师明晰:由于两点确定一条直线,根据公理 2 容易得出如下推论: 推论 1 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.

已知:点 A,直线 a,A

a.(如图 14-6)

求证:过点 A 和直线 a 可以确定一个平面. 分析:“确定一个平面”包含两层意思:一是存在,二是唯一.这两层都应证明. (说明:这个证明可以由教师引导学生一起分析完成,但步骤教师一定要板书) 证明:存在性.

因为 A

a,在 a 上任取两点 B,C,

所以过不共线的三点 A,B,C 有一个平面α .(公理 2) 因为 B∈α ,C∈α , 所以 a∈α .(公理 1) 故经过点 A 和直线 a 有一个平面α .唯一性.如果经过点 A 和直线 a 的平面还有一个平面β ,那么 A∈β ,a β , 因为 B∈a,C∈a, 所以 B∈β ,B∈β .(公理 1) 故不共线的三点 A,B,C 既在平面α 内又在平面β 内. 所以平面α 和平面β 重合.(公理 2) 所以经过点 A 和直线a有且只有一个平面. “有且只有一个平面” 我们也说 有时 , “确定一个平面” . 类似地可以得出下面两个推论:

推论 2 推论 3

经过两条相交直线,有且只有一个平面.(如图 14-7) 经过两条平行直线,有且只有一个平面.(如图 14-8)

(3)问题 3 的探究 教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上,让学生观察,并同时提出问题:能否说这两个平面只有 一个公共点? (不能,因为平面是无限延展的,所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线) 教师点拔:我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面,所以我们有时要看模型或图形, 但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解.这个实例说明了平面具有如下性质. 公理 3 如果两个不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直 线.(如图 14-5)

公理 3 的数学符号语言: P∈α ,P∈β ?α ∩β =a,P∈a. 教师进一步概括:为了简便,以后说到两个平面,如不特别说明,都是指两个不重合的平面.如果 两个平面有一条公共直线, 则称这两个平面相交. 这条公共直线叫作这两个平面的交线. 由公理3可见, 两个平面如果有一个公共点,那么就有无穷多个公共点,所有公共点在公共直线上,即它们的交线上; 交线上的每一个点都是两平面的公共点. 课堂练习 2:判断下列命题的真假. ①如果两个平面有两个公共点 A, 那么它们就有无数个公共点, B, 并且这些公共点都在直线 AB 上.V) ( ②两个平面的公共点的集合可能是一条线段. ( X ) 例 2:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.(如图 14-9)

已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C. 求证:直线 AB,BC,AC 共面. 证法 1:因为 AB∩AC=A, 所以直线 AB,AC 确定一个平面α .(推论 2) 因为 B∈AB,C∈AC, 所以 B∈α ,C∈α , 故 BC α .(公理 1)

因此,直线 AB,BC,CA 都在平面α 内,即它们共面. 证法 2:因为 A 直线 BC,

所以过点 A 和直线 BC 确定平面α .(推论 1) 因为 A∈α ,B∈BC,所以 B∈α . 故 AB 同理 AC α , α ,

所以 AB,AC,BC 共面. 证法 3:因为 A,B,C 三点不在一条直线上, 所以过 A,B,C 三点可以确定平面α .(公理 2) 因为 A∈α ,B∈α ,所以 AB 同理 BC α ,AC α .(公理 1)

α ,所以 AB,BC,CA 三直线共面.

思考:在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略,为什么? (不能,如果三条直线两两相交且过同一点,则这三条直线可以不共面) 课堂练习 3: 1. 三角形、梯形是平面图形吗?(是) 2. 四条直线两两相交且不过同一点,这四条直线是否一定共面?(不一定) 3. 两个平面最多可以把空间分成几个部分?三个平面呢? 例 3:(tb2600603)用符号表示下列语句。 (1) 直线 L 经过平面 ? 外一点 M。 (2) 平面 ? 与平面 ? 相交于直线 a,直线 b 在 ? 内,且与 a 交于 C。 三、课堂小结、巩固反思 (1)本节课我们学习了哪些知识内容?(2)三个公理的内容及作用是什么?(3)判断共面的方法. 1).根据公理 1 探究直线与平面的各种位置关系. 2).根据公理 2 探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性. 3).根据公理 3 探究平面与平面的各种位置关系. 四、布置作业: A 组:

1、(课本 P51 习题 2.1A 组第 1 题) 2、(课本 P51 习题 2.1A 组第 2 题) 3、(课本 P51 习题 2.1A 组第 7 题) 4、(课本 P51 习题 2.1A 组第 8 题) 5、(tb8206103)(1)一个平面将空间分成几部分? (2)两个平面将空间分成几部分? (3)三个平面将空间分成几部分? (答: (1)两部分; (2)三部分或四部分; (3)四、六、七、八部分) 6、(tb8206305)(1)不共面的四点可以确定几个平面? (2)三条直线两两平行,但不共面,它们可以确定几个平面? (3)共点的三条直线可以确定几个平面? (答: (1)4 个; (2)3 个; (3)1 个或 3 个) 7、(tb5603401)判断下列说法是否正确?为什么? (1)平行四边形是一个平面。 (X) (2)一个平面长是 4cm,宽是 2cm。(X) (3)一个平面把空间分成两部分。 (V) (4)地球表面是一个平面。 (X) (5)一条直线把它所在的平面分成两部分。 (V) (6)四边形是平面图形。 (X) (7)四边相等的四边形是平面图形。 (X) 。 (8)三角形是平面图形。 (V) (9)圆是平面图形。 (V) (10)平面是绝对的平滑、无厚度,可以无限延展的抽象的数学概念。 (V) (11)空间三点确定一个平面。 (X) (12)平面 ? 与平面 ? 若有公共点,就不止一个。 (V) (13)若四边形有两个对角都是直角,则这个四边形是圆内接四边形。 (X) 8、(tb4503101)已知下列四个命题: (1)三点确定一个平面; (2)若点 P 不在平面 ? 内,A、B、C 三点都在平面 ? 内,则 P、A、B、C 四点 不在同一个平面内; (3)两两相交的三条直线在同一平面 ? 内; (4)两组对边分别相等的四边形是平行 四边形。 其中正确命题的个数是(A) 。 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

9、(tb3202205)将一个西瓜切三刀,最多可切 a 块,最少可切 b 块,则 a-b 等于________ (答:4) 10、(tb9703801)根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形: (1) A ?? , B ?? ;(2)l ?? , m ? ? ? A, A ? l; (3) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ?? 11、(tb2600404)下列各图中,有多少个平面?写出这些平面。 D C A B A

F

E

? B

D C

12、(tb2600405)观察下面两个图形,用模型来说明它们的位置有什么不同,并用字母来表示各平面。

13、(tb2600406)用虚线画出看不到的线,完成图形。

14、(tb2600604)用符号表示图中点、直线线、平面之间的位置关系。 b P a

?


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