高考数学(新课标,理)题型全归纳课件第六章 数列 第1节_图文

1.理解等差、等比数列的概念; 2.熟练掌握并理解等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式; 3.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能 用有关知识解决相应的问题; 4.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. ?知识点精讲 一、基本概念 1.数列 ⑴定义 按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. ⑵数列与函数的关系 ? 从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在y ? f ( x) 中,当自变量x ? Ν 时, 所对应的函数值 f (1), f (2), f (3), ??? 就是一组数列,通常记为?an ? ,所以 研究数列问题,有时会转化为研究函数问题. 2.等差数列 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它前一项的差等于同一常数, d 表示,即 则这个数列就叫做等差数列,这个常数叫公差,常用字母 an?1 ? an ? d . (2)等差数列的通项 ?an ? 的首项是a1 公差是d ,则等差数列的通项公式为 若等差数列 an ? a1 ? ? n ? 1? d 或 an ? am ? ? n ? m ? d ? nd ? ? a1 ? d ? 是关于 n 的一次型函 an ? a m m ? n ). d ? 数. 公差 (直线的斜率)( n?m ⑶等差中项 x? y A x x y y A , 成等差数列,那么 叫 与 的等差中项. 即 A ? 若 , 或 2 2 A ? x ? y. 在一个等差数列中,从第二项起(有穷等差数列的末项除外) 每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一 项都是与其等距离的前后两项的等差中项. ⑷等差数列的前 n 项和 等差数列前n 项和Sn ? n ? n ? 1? d d 2 2a1 ? d 2 ? ? n ? n ? an ? bn 1 2 2 2 2 d 是关于n 的二次型函数(二次项系数为 且常数项为0 ). S n 的图象在过 2 ? a1 ? an ? n ? na 原点的直线( d ? 0 )上或在过原点的抛物线上(d ? 0 ). 3.等比数列 (1)定义 一般地,如果有一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个 非零常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比,公比通常 an?1 q ? q ? q ? 0? . 用字母 表示,即 an (2)等比数列的通项 a ? n ?1 n? 等比数列的通项an ? a1q ? c ? q ? c ? 1 ? (a1 , q ? 0) ,是不含常数项的指数型 q? ? 函数. (3)等比中项 G y G 叫x 与y 的等比中项,即 ? 或G 2 ? xy . 如果 x, G , y 成等比数列,那么 x G (4)等比数列的前 n 项和 ? na1 ? q ? 1? ? S n ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? . ? 1? q ? 1? q am m? n (5) ? q . an ?题型归纳及思路提示 题型81 等差(等比)数列的通项及基本量的求解 【例6.1】记等差数列?an ? 的前n 项和为 S n ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列 的公差d 等于( A. 7 B. 6 ). C. 3 D. 2 【解析】 S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? d ? 4 ① d ? 3 . 故选C. S4 ? 4a1 ? 6d ? 20 ② 由①,②可解得: 题型82 等差(等比)数列的求和 ? 1 a4 ? 则该数列的前10 【例6.5】 在等比数列?an ?(n ? Ν )中,若 a1 ? 1 , 8 项和为 ( ). 1 1 1 1 2 ? 11 A. B. C. D. 2? 8 2? 9 2 ? 10 2 2 2 2 10 ?1? 1? ? ? 1 1 3 3 ? 2? ? 2? 1 【解析】 由 a4 ? a1q ? q ? 得q ? ,所以S10 ? 9 . 故选B. 1 8 2 2 1? 2 题型83 等差(等比)数列的性质应用 【例6.9】 已知等差数列?an ? 的前n 项和为 S n ,若a4 ? 18 ? a5 ,则S8 等于( ). C. 54 D. 72 (a1 ? a8 ) ? 8 (a4 ? a5 ) ? 8 18 ? 8 ? ? 72. ? 【解析】 由 a4 ? 18 ? a5 得 a4 ? a5 ? 18, S8 ? 2 2 2 故选D. A. 18 B. 36 题型84 判断和证明数列是等差(等比)数列 【例6.14】(1)设 ?an ? 是等差数列,证明:数列 c ? ? ? c ? 0, c ? 1? an 是 等比数列. ?log c an ? ? c ? 0, c ? 1? (2)设?an ? 是正项等比数列,证明:数列 是等差数列. 【分 析】 本题将函数与数列巧妙地结合,完美地进行等差数列与等比数列 地转化,利用定义法证明. ? n ? Ν n … 12 a d 为常数) 【解 析】 (1)由? n ? 是等差数列,则an ? an?1 ? d( , , an ?1 bn ?1 c an an ?1 ? an d an c ? ? c ? c ? 0 ? ? 令bn ? c , 是常数,所以 是等比 bn c an 数列. an ?1 ? q(q ? 0), dn ? logc an?1 ? logc an (2)由?an ? 是正项等比数列,则 an a ? log c n?1 ? log c q 是常数,所以数列?log c an ? 是等差数列. an ? ? 题型85 等差数列与等比数列的综合 ?bn ? 是各项均为正数的等比数列,设cn ? bn n ? ?? . 【例6.16】 已知数列?an ? , an ?cn ? 是否为等比数列?证明你的结

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