山东省高考数学文科汇总--数列

近年山东文科高考分类汇编---数列部分
【2016 山东 (文) 】 19. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n +8n, {bn}是等差数列, 且 an=bn+bn+1. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)令 cn=
2 2

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【解析】解: (Ⅰ)Sn=3n +8n, ∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5, n=1 时,a1=S1=11,∴an=6n+5; ∵an=bn+bn+1, ∴an﹣1=bn﹣1+bn, ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1. ∴2d=6, ∴d=3, ∵a1=b1+b2, ∴11=2b1+3, ∴b1=4, ∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1; (Ⅱ)cn=
2

=
n

=6(n+1)?2 ,

n

∴Tn=6[2?2+3?2 +…+(n+1)?2 ]①, 2 3 n n+1 ∴2Tn=6[2?2 +3?2 +…+n?2 +(n+1)?2 ]②, ①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+2 +2 +…+2 ﹣ (n+1) ?2 (﹣6n)?2 =﹣3n?2 n+2 ∴Tn=3n?2 .
n+1 n+2 2 3 n n+1

]=12+6×

﹣6 (n+1) ?2

n+1

=



【2015 山东(文) 】19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数 列?

?

n 1 ? . ? 的前 n 项和为 2n ? 1 ? an ? an?1 ?

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

【解析】19.试题分析: (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,得到 a1a2 ? 3 . a1a2 3

令 n ? 2, 得

1 1 2 ? ? ,得到 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

解得 a1 ? 1, d ? 2 即得解. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22n?4 ? n ? 4n , 得到 Tn ? 1? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4n , 从而 4Tn ? 1? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? (n ?1) ? 4n ? n ? 4n?1, 利用“错位相减法”求和. 试题解析: (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ?1. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22n?4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4n , 所以 4Tn ? 1? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? (n ?1) ? 4n ? n ? 4n?1, 两式相减,得 ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4n ? n ? 4n?1

?

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n?1 4 ? n ? 4n?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3

3n ? 1 n?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 ?4 ? ? . 所以 Tn ? 9 9 9
考点:1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、 “错位相减法”. 【2014 山东(文) 】(19) (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中,已知公差 a1 ? 2 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? a n ( n ?1) ,记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? …? (?1)n bn ,求 Tn .
2

【解析】19、 (Ⅰ)由题意知:

?an ?为等差数列,设 an ? a1 ? ?n ?1?d ,? a2 为 a1 与 a4 的等比中项

2 2 ?a2 ? a1 ? a4 且 a1 ? 0 ,即 ?a1 ? d ? ? a1 ?a1 ? 3d ? ,? d ? 2 解得: a1 ? 2

? an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知: an ? 2n , bn ? a n ( n?1) ? n(n ? 1)
2

①当 n 为偶数时:

Tn ? ??1? 2 ? ? ?2 ? 3? ? ?3 ? 4 ? ? ?? ? n?n ? 1?

? 2?? 1 ? 3? ? 4?? 3 ? 5? ? ?? ? n?? ?n ? 1? ? ?n ? 1?? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? ?? ? n ? 2 ? 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ?? ? n ? ? 2?

?2 ? n ? n

2 2 ? n ? 2n 2 2

②当 n 为奇数时:

Tn ? ??1? 2? ? ?2 ? 3? ? ?3 ? 4? ? ?? ? n?n ? 1?

? 2?? 1 ? 3? ? 4?? 3 ? 5? ? ?? ? ?n ? 1??? ?n ? 2? ? n? ? n?n ? 1? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? ?? ? ?n ? 1?? 2 ? n?n ? 1? ? 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ?? ? ?n ? 1?? ? n?n ? 1? ? 2?

?2 ? n ? 1? n ? 1
2

2 2 ? n?n ? 1? ? ? n ? 2n ? 1 2

? n 2 ? 2n ? 1 ? ,n为奇数 ? ? 2 T ?? 2 综上: n ? n ? 2n , n为偶数 ? ? 2
【2013 山东(文) 】20. (本小题满分 12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2, a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足

b b1 b2 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n ,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2

【解析】解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 S4=4S2,a2n=2an+1 得:

?4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ?a1 ? ? 2n ? 1?d ? 2a1 ? 2? n ? 1?d ? 1,
解得 a1=1,d=2. * 因此 an=2n-1,n∈N .

b b1 b2 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n ,n∈N*, a1 a2 an 2 b 1 当 n=1 时, 1 ? ; a1 2
(2)由已知

当 n≥2 时, 所以

bn 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ? ?1 ? n?1 ? ? n . an 2 ? 2 ? 2

bn 1 ? n ,n∈N*. an 2
*

由(1)知 an=2n-1,n∈N ,

2n ? 1 * ,n∈N . 2n 1 3 5 2n ? 1 又 Tn= ? 2 ? 3 ? ? ? , 2 2 2 2n 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2n 2
所以 bn= 两式相减得

1 1 ? 2 2 2 ? 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 2 2 ?2 2 2 ? 2 3 1 2n ? 1 ? ? n ?1 ? n ?1 , 2 2 2 2n ? 3 所以 Tn= 3 ? . 2n
【2012 山东(文) 】(20) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项 和 Sm .
?5a ? 10d ? 105, 【解析】(I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, ∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

【2011 山东(文) 】20. (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中,a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3

中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n . 【解析】解: (I)当 a1 ? 3 时,不合题意; 当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; 当 a1 ? 10 时,不合题意。 因此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, 所以公式 q=3, 故 an ? 2 ? 3n?1. (II)因为 bn ? an ? (?1)n ln an

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

S2n ? b1 ? b2 ? ? ? b2 n ? 2(1 ? 3 ? ? ? 32n?1 ) ? [?1 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1)2 n ](ln 2 ? ln 3)
|[?1 ? 2 ? 3 ? ?? (?1)2n 2n]ln 3
1 ? 32 n ? 2? ? n ln 3 1? 3 ? 32 n ? n ln 3 ? 1.
【2010 山东(文) 】 (18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn 。 (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 (n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

【解析】本小题主要考察等差数列的基本知识,考查逻辑推理、等价变形和运算能力。 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+ a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2. 由于 an= a1+(n-1)d,Sn= 所以 an=2n-1, Sn=n2+n, (Ⅱ)因为 an=2n-1, 所以 an2-1=4n(n+1) , 因此 Tn=b1+ b2+…+ bn

1 [n(a1+ an), 2

1 1 1 1 1 1 (1+ +…+ ) 4 2 2 2 n n ?1 1 1 = (1) 4 n ?1
= =

n 4(n ? 1) n 。 4(n ? 1)

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =


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