2012-2015全国大纲2卷数学文科高考题及详解答案

2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案

Editor:Oliver-He

2015 高考数学全国新课标Ⅱ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1 ) 已知集合 A={x|-1<x<2} ,B={x|0<x<3},则 A∩B= (A)(-1,3) (2)若 a 为实数且 (A)-4 (B)(-1,0) (C)(0,2) (D)(2,3)

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a= 1? i
(B)-3 (C)3 (D)4

( 3 ) 根 据 下 面 给 出 的 2004 年 至 2013 年 我 国 二 氧 化 硫 排 放 量 ( 单 位 : 万 吨 ) 柱 形 图 。 以 下 结 论 不 正 确 的 是 2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 (A ) (B ) (C ) (D ) (4 ) a
?

逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

? (1,?1), b ? (?1,2),则(2 a ? b ) ? a ?
(B)0 (C)1 (D)2

?

?

?

?

(A)-1

(5) S n 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+ a3+ a5=3,则 S 5 (A)5 (B)7 (C)9 (D)11

?

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分 体积的与剩余部分体积的比值为 (A )

1 8

(B)

1 7

(C )

1 6

(D)

1 5

(7)过三点 A(0,0) ,B(0,

,C(2, 3 )则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 3)

(A )

5 3

(B)

21 2 5 (C) 3 3

(D)

4 3

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术” 。执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a= A.0 B.2 C.4 D.14

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 (9)已知等比数列 {an } 满足 a1 (A)2 (B)1

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1 , a3a5 ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? 4 1 1 (C ) (D) 8 2 ?
C.144π D.256π

(10)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π

(11).如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP=x。将动点 P 到 AB 两点距离之 和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为 ( 12 )

设函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ?
1 ,1) 3

1 , 则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1)成立的 x的取值范围是 1? x2

(A ) (

(B) ( ?? ,

1 1 1 1 1 ) ? (1,?? ) (C) (? , ) (D) (?? , ? )?( , ? ?) 3 3 3 3 3

二、填空题 (13)已知函数 f ( x)

? ax3 ? 2x的图象过点(? 1,4)则a ?
? x? y ?5? 0

(14)若 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ?

? 2 x ? y 的最大值为____________.

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?

(15)已知双曲线过点 (4,

1 3 ) 且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程是 2

(16)已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 三.解答题

y ? ax3 ? (a ? 2) x ? 1 相切,则 a=

(17)? ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ( Ⅰ)



sin ?B sin ?C

(Ⅱ)

若?BAC ? 600 , 求?B

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案

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(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到 A 地区 用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表

(1 )

做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图, 并通过直 方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不要求 计算出具体值,给出结论即可)

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大

19. (12 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4。过 E,F 的平面与此长方 体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面 a 把该长方体分成的两部分体积的比值。

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 20. 椭圆 C:

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x 2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

2 ,点( 2, 2) 在 C 上 2

(1)求椭圆 C 的方程 (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. 证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积 为定值;

21.设函数

f ( x) ? ln x ? a(1 ? x)

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点. (1)证明:EF 平行于 BC (2) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= ,求四边形 EBCF 的面积。



ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点与底边上的高

AD

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

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在直角坐标系 xOy 中,曲线

? x ? t cos? C1 : ? ? y ? t sin ?

(t为参数,t ? 0,0 ? ? ? ? )

在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 (1).求 (2).若 与 与 交点的直角坐标 相交于点 A, 与 相交于点 B,求



,曲线



.

的最大值

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d,证明:

(1)若ab ? cd, 则 a ? b ? c ? d
(2) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案

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2015 年高考全国卷 2 文科数学试题及答案
一、选择题:本大题共 12 道小题,每小题 5 分 1. 【答案】A

考点:集合运算.【名师点睛】本题属基础题,主要考查数列的交集运算。 2.【答案】D【解析】 试题分析:由题意可得 2 ? ai ?

?1? i ??3 ? i ? ? 2 ? 4i ? a ? 4

,故选 D.考点:复数运算.

【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等,难度不大,但要注意运算的准确性。 3. 【答案】 D

考点:柱形图【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解,要求学生能从图中读出有用信息,背景比较新颖。 4. 【答案】B【解析】试题分析:由题意可得 a 考点:向量数量积。 【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,属于基础题。 5. 【答案】A【解析】试题解析: a1 ? a3
2

?1

, a ? b ? ?2, 所以

? 2a ? b? ? a ? 2a2 ? a ? b ? 2 ? 2 ? 0 .

? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1, S5 ?

5 ? a1 ? a5 ? ? 5a3 ? 5 . 2

考点:等差数列【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前 n 项和公式,具有小、巧、活的特点。 6. 【答案】C 【解析】试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的

1 6 考点:三视图

7.【答案】B

考点:直线与圆的方程 8.【答案】B【解析】试题分析:输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2 考点:1.更相减损术;2.程序框图. 9 【答案】C

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 考点:等比数列 10. 【答案】C【解析】试题分析:设球的半径为 R,则△AOB 面积为 大且为 R,此时 V

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1 2 R ,三棱锥 O ? ABC 2
? 4? R 2 ? 144? .

体积最大时,C 到平面 AOB 距离最

?

1 3 R ? 36 ? R ? 6 6

,所以球 O 的表面积 S

考点:球与几何体的切接. 11. 【答案】B

考点:函数图像 12. 【答案】A【解析】试题分析:

f ? x ? 是偶函数,且在 ?0, ?? ? 是增函数,所以
1 ? x ?1 3
.考点:函数性质

f ? x ? ? f ? 2 x ? 1? ? f ? x ? ? f ? 2 x ? 1 ? ? x ? 2 x ? 1 ?
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.【答案】-2【解析】试题分析:由 14. .【答案】8 考点:线性规划

f ? ?1? ? ?a ? 2 ? 4 ? a ? ?2

.考点:函数解析式

x2 x2 1 2 ? y2 ? m 15.【答案】 ? y ? 1 【解析】 试题分析: 根据双曲线渐近线方程为 y ? ? x , 可设双曲线的方程为 2 4 4
代入得 m

, 把

? 4, 3 ?

? 1 .考点:双曲线几何性质
y ? x ? ln x
在点

16. 【 答 案 】 8 【 解 析 】 试 题 分 析 : 曲 线

?1, 1 ? 处的切线斜率为

2,故切线方程为

y ? 2x ?1 , 与

y ? ax2 ? ? a ? 2? x ? 1
考点:导数的几何意义.

联立得 ax

2

? ax ? 2 ? 0 ,显然 a ? 0 ,所以由 ? ? a2 ? 8a ? 0 ? a ? 8

2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 (A)

A ? {?2,0, 2} , B ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} ,则 A ? B=
(B)

?

?2?

(C)

?0?

(D)

??2?
? 1-2i
-7-

(2 )

1 ? 3i ? 1? i (A) 1 ? 2i

(B) ?1 ? 2i

(C) 1-2i

(D)

2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 (3)函数

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f ? x ? 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f ?( x0 ) ? 0; q : x ? x0 是 f ? x ? 的极值点,则

p 是 q 的充分必要条件 (B) p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 (C) p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件
(A) (4)设向量 a , b 满足 |a+b|= (A)1 (5)等差数列 (B) 2

10 , |a-b|= 6 ,则 a·b=
(D) 5

(C)3

?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项 Sn =
(B ) n

(A)

n ? n ? 1?

? n ?1?

(C)

n ? n ? 1? 2

(D)

n ? n ? 1? 2

(6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为 (A) (B) (7)正三棱柱

17 27

(B)

5 9

(C)

10 27

(D)

1 3

ABC ? A1 B1C1 的底面边长为

2 ,侧棱长为

3 ,D

为 BC 中点,则三棱锥

A ? B1DC1 的体积为
(A)3 (B)

3 2

(C)1

(D)

3 2

(8)执行右面的程序框图,如果如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

?x ? y ?1 ? 0 ? (9)设 x,y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
(A)8 (B)7 (C)2 (D)1

(10)设 F 为抛物线 C :

y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交于 C 于 A, B 两点,则 AB
(D) 7

=

(A)

30 3

(B)6

(C)12

3

(11)若函数 (A)

f ( x) ? kx ? ln x 在区间(1,+ ? )单调递增,则 k 的取值范围是
(B)

? ??, ?2?

? ??, ?1?
2

(C)

?2, ?? ?

(D)

?1, ???

(12)设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x

? y 2 ? 1 上存在点 N,使得 ?OMN ? 45°,则 x0 的取值范围是
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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案

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(A)

??1,1?

(B)

? 1 1? ? , ? ? 2 2? ?

(C) ? ?

?

2, 2 ? ?

(D)

? 2 2? , ? ?? ? 2 2 ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个考试考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根 据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. (14)函数

f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2sin ? cos x 的最大值为_________.
f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (0) ? 3 ,则 f (?1) ? _______.

(15)已知函数

(16)数列 {an } 满足 an ?1

?

1 , a2 ? 2 ,则 a1 =_________. 1 ? an

三、解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)

A 与 C 互补,AB=1,BC=3, BD C (Ⅰ)求 和 ;
四边形 ABCD 的内角 (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积。

CD=DA=2.

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四凌锥 P ? 为 PD 的中点。 (Ⅰ)证明: PB // 平面 (Ⅱ)设置

ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 面 ABCD , E
AEC ;

AP ? 1 , AD ? 3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积 V ?

3 4

,求 A 到平

面 PBD 的距离。

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案

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(19) (本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市民 甲部门 3 4 9 7 9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0 6 6 5 5 2 0 0 6 3 2 2 2 0 4 5 6 7 8 9 10 乙部门 5 9 0 4 4 8 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 0 1 1 2 3 4 6 8 8 0 0 1 1 3 4 4 9 1 2 3 3 4 5 0 1 1 4 5 6 0 0 0

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。

(20) (本小题满分 12 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直 a 2 b2

线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N。 (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为

3 4

,求 C 的离心率;

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b。

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)证明:当时,曲线

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f ( x) ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.

y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA, D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)

AD ? DE ? 2PB 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为 ? (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l :

? 2 cos ? , ? ? [0, ] 2

?

y ? 3x ? 2 垂直,根据Ⅰ中你得到的参数方程,确定 D 的坐标。

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数

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f ( x) ?| x ?

1 | ? | x ? a | ( a ? 0) 。 a

(Ⅰ)证明: (Ⅱ)若

f ( x) ? 2 ;

f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围。

参考答案
一、选择题 1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C7.C 二、填空题 13. 三、解答题 17.解: (Ⅰ)由题设及余弦定理得 8.D 9.B 10.C 11.D 12.A

1 3

14. 1

15. 3

16.

1 2

BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2BC ? CD cos C
? 13 ? 12cos C


BD2 ? AB2 ? DA2 ? 2 AB ? DA cos A
? 5 ? 4 cos C ② 1 由①,②得 cos C ? ,故 C ? 60 , BD ? 7 2 (Ⅱ)四边形 ABCD 的面积 1 1 1 1 S ? AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C ? ( ? 1? 2 ? ? 3 ? 2) sin 60 ? 2 3 2 2 2 2
18.解: (Ⅰ)设 BD 与 AC 的交点为 O ,连接 EO 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又因为 E 为 PD 的中点,所以 EO//PB

EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,所以 PB // 平面 AEC
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(Ⅱ) V

1 1 3 ? ? S?ABD ? PA ? PA ? AB ? AD ? AB 3 6 6
由题设知 V

?

3 3 ,可得 AB ? 2 4

,做

AH ? PB 交 PB 于 H

由题设知

BC ? 平面 PAB, 所 以 B C ? A H , 故 AH ? 平面 PBC, 又

AH ?

PA ? AB 3 13 ? PB 13
3 13 13

所以 19.解:

A 到平面 PBC 的距离为

(Ⅰ)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 75,75,故样本中位数为 75,所以该市的 市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68,故样本中位数为 市民对乙部门品分的中位数的估计值是 67. (Ⅱ)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为 的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16. (Ⅲ)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分 的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差 异较大(注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分。 ) 20.解:

66 ? 68 ? 67 ,所以该市的 2

5 8 ? 0.1, ? 0.16 ,故该市的市民对甲、乙部门 50 50

b2 ), 2b 2 ? 3ac (Ⅰ)根据 c ? a ? b 及题设知 M (c, a
2 2

将b

2

? a 2 ? c 2 代入 2b2 ? 3ac ,解得

c 1 c 1 ? , ? ?2 (舍去) ,故 C 的离心率为 2 a 2 a

(Ⅱ)由题意,原点 O 为 F 1 F2 的中点, MF2

// y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D (0, 2) 是线段 MF1 的中点,故

b2 ?4, a

即b

2

? 4a -----①

由 | MN

|? 5 | F1 N | 得 | DF1 |? 2 | F1 N | ,设 N ( x1 , y1 ) ,由题意知 y1 ? 0 则 ? ?

2(?c ? x1 ) ? c

??2 y1 ? 2

即 ? x1 ? ? 2 c

3 ? ? ? ? y1 ? ?1

代入 C 的方程,得

9c 2 1 9(a 2 ? 4a) 1 2 2 ? ? 1 ? ?1 -----②,将①及 代入②得 c ? a ? b 4a 2 b 2 4a 2 4a

解得 a ? 7, b 21.解:

2

? 4a ? 28 ,故 a ? 7, b ? 2 7

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 (Ⅰ)

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f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? a , f ?(0) ? a
曲线

y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线方程为 y ? ax ? 2 ,由题设得 ?

2 ? ?2 ,所以 a ? 1 a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 设 g ( x) ? 当x

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 2

f ( x) ? kx ? 2 ? x3 ? 3x2 ? (1 ? k ) x ? 4 ,由题设知 1 ? k ? 0

? 0 时, g ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 1 ? k ? 0 , g ( x) 单调递增, g (?1) ? k ? 1 ? 0, g (0) ? 4 ,所以 g ( x) ? 0 在

(??, 0] 有唯一实根。
当x

? 0 时,令 h( x) ? x3 ? 3x2 ? 4 ,则 g ( x) ? h( x) ? (1 ? k ) x ? h( x)

h?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2), h( x) 在 (0, 2) 单调递减,在 (2, ??) 单调递增,所以 g ( x) ? h( x) ? h(2) ? 0
所以 g ( x) 综上 g ( x) 22.解: (Ⅰ)连结 AB,AC,由题设知 PA=PD,故 ?PAD 因为 ?PDA ? ?DAC ? ?DCA

? 0 在 (0, ??) 没有实根 ? 0 在 R 由唯一实根,即曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。
? ?PDA

?PAD ? ?BAD ? ?PAB ?DCA ? ?PAB
所以 ?DAC 因此 BE

? ?BAD ,从而 BE ? EC

? EC
2

(Ⅱ)由切割线定理得 PA 因为 PA ?

? PB ? PC

PD ? DC ,所以 DC ? 2PB, BD ? PB AD ? DE ? BD ? DC ,所以 AD ? DE ? 2PB 2

由相交弦定理得 23.解:

(Ⅰ) C 的普通方程为 ( x ?1)

2

? y 2 ? 1(0 ? y ? 1)


可得 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t ( t 为参数, 0 ? t ? ? ? y ? sin t

(Ⅱ)设 D(1 ? cos t ,sin t ) 由(Ⅰ)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心,1 为半径的上半圆,因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同。 tan t

? 3, t ?

?
3

故 D 的直角坐标为 (1 ? cos

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 3 3 2 2
- 14 -

2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 24.解: (Ⅰ)由 a (Ⅱ)

Editor:Oliver-He

? 0 ,有 f ( x) ?| x ?

1 1 1 | ? | x ? a |?| x ? ? ( x ? a ) |? ? a ? 2 ,所以 f ( x) ? 2 a a a

f (3) ?| 3 ?
当a

1 | ? |3? a | a

? 3 时, f (3) ? a ?

1 5 ? 21 ,由 f (3) ? 5 得 3 ? a ? a 2 1 1? 5 ,由 f (3) ? 5 得 ?a?3 a 2

当0 ?

a ? 3 时, f (3) ? 6 ? a ?

综上, a 的取值范围是 (

1 ? 5 5 ? 21 , ) 2 2

2013 年普通高等学校全国统一考试数学文史类 (全国卷 II 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅱ,文 1)已知集合 M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则 M ∩N=( A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} ).

D.{-3,-2,-1}

2.(2013 课标全国Ⅱ,文 2) A. 2

2 1? i
C.

=(

). D. .1

2

B.2

2

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3.(2013 课标全国Ⅱ,文 3)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z=2x-3y 的最小值是( ? x ? 3, ?
A.-7 B.-6 C.-5 D.-3

).

4.(2013 课标全国Ⅱ,文 4)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, B

?

π π ,C ? 4 6

,则△ABC 的面积为(

).

A. 2

3+2

B.

3+1

C. 2

3?2

D.

3 ?1

5.(2013 课标全国Ⅱ,文 5)设椭圆 C: 则 C 的离心率为( ).

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F ,F ,P 是 C 上的点,PF ⊥F F ,∠PF F =30°, a 2 b2
1 2 2 1 2 1 2

- 15 -

2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案

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A.

3 6

1 B. 3

1 C. 2

D.

3 3
2

6.(2013 课标全国Ⅱ,文 6)已知 sin 2α=

2 3

,则 cos

π? ? ? ? ? ? =( 4? ?

).

1 A. 6

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3
).

7.(2013 课标全国Ⅱ,文 7)执行下面的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S=(

1 1 1 1+ ? ? 2 3 4 A. 1 1 1 1 1+ ? ? ? 2 3 4 5 C.

1 1 1 1+ ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 B. 1 1 1 1 1+ ? ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2 D.
).

8.(2013 课标全国Ⅱ,文 8)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

9.(2013 课标全国Ⅱ,文 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ).

10. (2013 课标全国Ⅱ, 文 10)设抛物线 C: y =4x 的焦点为 F, 直线 l 过 F 且与 C 交于 A, B 两点. 若|AF|=3|BF|, 则 l 的方程为(

2

).

A.y=x-1 或 y=-x+1

B.y=

3 3 ( x ? 1) ? ( x ? 1) 3 3 或 y= 2 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 2 或 y=
).

C.y=

3 3 ( x ? 1) ? ( x ? 1) 3 3 或 y=
3 2

D.y=

11.(2013 课标全国Ⅱ,文 11)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是( A.? x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0
x

12.(2013 课标全国Ⅱ,文 12)若存在正数 x 使 2 (x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ). A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2013 课标全国Ⅱ,文 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是__________. 14.(2013 课标全国Ⅱ,文 14)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =__________. 15.(2013 课标全国Ⅱ,文 15)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 积为__________. 16. (2013 课标全国Ⅱ, 文 16)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移 图像重合,则φ=__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. - 16 -

3 2 2

,底面边长为

3 ,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面
π 2
个单位后, 与函数 y= sin ? 2 x ?

? ?

π? ?的 3?

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17.(2013 课标全国Ⅱ,文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等 比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2.

18.(2013 课标全国Ⅱ,文 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明: BC1//平面 A1CD; (2)设 AA1= AC=CB=2,AB=,求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.

19.(2013 课标全国Ⅱ,文 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产 品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直 方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售 季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率.

- 17 -

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20. (2013 课标全国Ⅱ, 文 20)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 在 y 轴上截得线段长为 2 3 . (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程. 2

21.(2013 课标全国Ⅱ,文 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x e . (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

2 -x

22.(2013 课标全国Ⅱ,文 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC·AE=DC·AF,B,E,F, C 四点共圆.

23.(2013 课标全国Ⅱ,文 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P, Q 都在曲线 C:?

? x ? 2cos t , (t 为参数)上, 对应参数分别为 t=α与 t=2α(0<α<2π), ? y ? 2sin t

M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.
- 18 -

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24.(2013 课标全国Ⅱ,文 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: (1)ab+bc+ca≤

1 ; 3

a 2 b2 c 2 ? ? ≥1. (2) b c a

2013 年普通高等学校全国统一考试数学文史类 (全国卷 II 新课标)答案
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.答案:C 解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选 C. 2.答案:C 解析:∵

2 2 =1-i,∴ 1? i 1? i
0

=|1-i|=

2.

3.答案:B 解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函

2 z 2 x ? ,先画出 l :y= x ,当 z 最小时,直线在 y 轴上的截距最 3 3 3 ? x ? 3, 大,故最优点为图中的点 C,由 ? 可得 C(3,4),代入目标函数得,z ? x ? y ? 1 ? 0,
数可化为

y?

min

=2×3-3×4=-6.

? π π ? 7π , ? ?? ? 6 4 ? 12 7π 2sin a b b sin A 12 ? 6 ? 2 , ? 由正弦定理得 ,则 a ? ? π sin A sin B sin B sin 6
4. 答案:B 解析:A=π-(B+C)= π ? ? - 19 -

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∴S△ABC=

1 1 2 ab sin C ? ? 2 ? ( 6 ? 2) ? ? 3 ? 1. 2 2 2

5. 答案:D 解析:如图所示,在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c, 设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由 tan 30°=

2 3 | PF2 | x 3 ,得 x ? c. ? ? 3 | F1F2 | 2c 3
?

3 c c 3 x ? 3c ,∴ e ? ? . ? 2 a 3c 3 π? ? 2 1 ? cos ? 2? ? ? 1? π? 2 ? 1 ? sin 2? ? 2? 3 ? 1. ? ? 6. 答案: A 解析: 由半角公式可得,cos ? ? ? ? = 2 2 2 6 4? ?
而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x,∴ a 7. 答案:B 解析:由程序框图依次可得,输入 N=4,T=1,S=1,k=2;

1 1 , S ? 1+ ,k=3; 2 2 1 1 1 T? ,S= 1+ ? ,k=4; 3? 2 2 3? 2 1 1 1 1 T? ? , S ? 1? ? ,k=5; 4 ? 3? 2 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 ? 输出 S ? 1 ? ? . 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 8.答案:D 解析:∵log 5>log 3>1,∴log 3>1> > >0,即 log 3>1>log 2>log 2>0,∴c>a>b. log 2 3 log 2 5 T?
2 2 2 2 3 5

9. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:

则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A. 10. 答案:C 解析:由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1. 当直线 l 的斜率大于 0 时, 如图所示, 过 A, B 两点分别向准线 x=-1 作垂线, 垂足分别为 M, N, 则由抛物线定义可得, |AM|=|AF|, |BN|=|BF|. 设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,

t x | NB | | BK | ? ? ,得 , 3t x ? 4t | AM | | AK | | NB | t 1 ? ? , 解得 x=2t,则 cos∠NBK= | BK | x 2
在△AMK 中,由 ∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线 AB 的倾斜角为 60°. ∴斜率 k=tan 60°=

3 ,故直线方程为 y= 3( x- 1) .

当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y= ?

3( x- 1) ,故选 C.

11.答案:C 解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示, 则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不正确.

- 20 -

2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案

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?1? 12.答案:D 解析:由题意可得, a ? x ? ? ? ?2?
令 f(x)= x ? ? 立.

x

(x>0).

?1? ? ?2?

x

,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知 f(x)的值域为(-1,+∞),故 a>-1 时,存在正数 x 使原不等式成

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据 要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:0.2 解析:该事件基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}共有 10 个,记 A= “其和为 5”={(1,4),(2,3)}有 2 个,∴P(A)= 14.答案:2 解析:以

2 =0.2. 10

AB ? AD , BD ? AD ? AB , ? AB, AD? 为基底,则 AB ? AD ? 0 ,而 AE ? 1 2



2 2 1 1 1 AE ? BD ? ( AB ? AD) ? ( AD ? AB) ? ? AB ? AD ? ? ? 22 ? 22 ? 2 . 2 2 2

15.答案:24π 解析:如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中,VO-ABCD=

1 ×S 3

正方形 ABCD

·|OO1|=

1 3 2 2 × ( 3) ×|OO |= 3 2
1

,∴

|OO1|=

3 2 2

,|AO1|=

6 , 2
2 2

在 Rt△OO1A 中,OA= ∴S 球=4πR =24π. 16.答案:
2

| OO1 | ? | AO1 |



?3 2 ? ? 6 ? ,即 R ? 6 , ? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 6 ? ? ? ?

2

2

5π 6
π 2
个 单 位 得 ,

? ? π? ? y ? c o ?s ? x 2 ? ? ? ? ? = cos(2x - π + φ ) = 2? ? ? ? π π π? π? π? ? ? ? sin ? 2 x ? π+? + ? =sin ? 2 x ? ? ? ? ,而它与函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像重合,令 2x+φ- =2x+ +2kπ,k∈ 2 3 2? 2? 3? ? ? ? 5π 5π +2kπ ,k∈Z.又-π≤φ<π,∴ ? ? Z,得 ? ? . 6 6
解 析 : y = cos(2x + φ ) 向 右 平 移 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d. 由题意, a11 =a1a13, 即(a1+10d) =a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 Sn=
2

2

n (a +a n 2
1

3 -2

)=

n 2

(-6n+56)=-3n +28n. 18.

2

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB= 2

2 ,求三棱锥 C-A DE 的体积.
1

- 21 -

2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF? 平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2, AB
2 2 2

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? 2 2 得∠ACB=90°, CD ? 2 , A1D ? 6 , DE ? 3 ,A E=3,
1

故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 所以 VC-A1DE=

1 1 ? ? 6 ? 3 ? 2 =1. 3 2

19. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?? ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 20. 解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 2 2 2 2 由题设 y +2=r ,x +3=r . 2 2 从而 y +2=x +3. 2 2 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P(x0,y0).由已知得

| x0 ? y0 | 2

?

2 2

.又 P 点在双曲线 y -x =1 上,从而得 ?
2 2

?| x0 ? y0 |? 1, 2 2 ? y1 ? x0 ? 1.

由?

? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, 得? 此时,圆 P 的半径 r= 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1.

3.由 ?

? x0 ? y0 ? ?1, ? x0 ? 0, 得? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1.

此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 2 2 2 2 故圆 P 的方程为 x +(y-1) =3 或 x +(y+1) =3. 21. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0; -2 当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e . (2)设切点为(t,f(t)), 则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)= t ?

f (t ) t 2 ?t? ? t ?2? ? 3. f '(t ) t ?2 t ?2

由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令 h(x)= x ?

2 (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[ 2 2 ,+∞); x

当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[ 2

2 ? 3 ,+∞).

综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞). 请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分; 不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分. 22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A. - 22 -

2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案 由题设知

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BC DC ? FA EA



故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°, 因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连结 CE,因为∠CBE=90°, 所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE, 2 2 2 2 2 2 由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC =DB·BA=2DB ,所以 CA =4DB +BC =6DB . 而 DC =DB·DA=3DB ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为
2 2

1 2

.

23. 解:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α为参数,0<α<2π). ? y ? sin ? ? sin 2? ,
x 2 ? y 2 ? 2 ? 2cos?
(0<α<2π).当α=π时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.

(2)M 点到坐标原点的距离 d=

24. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca,得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1.所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤
2 2 2 2

1 . 3

a2 b2 c2 a 2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c ,故 ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c), b c a b c a 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ? ? ≥a+b+c.所以 ? ? ≥1. 即 b c a b c a
(2)因为

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合 A={x|x -x-2<0},B={x|-1<x<1},则( B ) (A)A? ?B (B)B? ?A (C)A=B (D)A∩B=?
2

-3+i (2) 复数 z= 的共轭复数是( D ) 2+i (A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i

(3) 在一组样本数据 (x1, y1) , (x2, y2) , ?, (xn, yn) (n≥2, x1,x2,?,xn 不全相等) 的散点图中, 若所有样本点 (xi, yi) (i=1,2,?,n) 1 都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为 ( D ) 2 (A)-1 (B)0 1 (C) 2 (D)1

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2012-2015 全国卷 2 高考数学试题及答案
2 2

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x y 3a (4) 设 F1、F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F1PF2 是底角为 a b 2 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( C ) (A) 1 2 2 (B) 3 3 (C) 4 4 (D) 5

开 始 输 入 N , a1,a2,…,aN k=1,A=a1,B=a
1

(5) 已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部, 则 z=-x+y 的取值范围是( A ) (A)(1- 3,2) (B)(0,2) (C)( 3-1,2) (D)(0,1+ 3) 是 B=x

x =ak x>A 否 是 A=x

k=k+ 1

(6) 如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输出 A,B,则( C ) (A)A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 (B ) A+B 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数 2

x<B 否

(C)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 (D)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数[来源:高[考∴试﹤题∴库] (7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积 为( B ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 结 束 k≥N 是 输出 A, B 否

(8)平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α的距离为 2,则此球的体积为 ( B ) (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π

π 5π (9)已知ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=(A) 4 4 (A ) π 4 π (B) 3 (C) π 2 3π (D) 4
2

(10)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( C ) (A ) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8

1 x (11)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是 (B) 2 (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) 2
n

(C)(1, 2)

(D)( 2,2)

(12)数列{an}满足 an+1+(-1) an =2n-1,则{an}的前 60 项和为(D) (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作 答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为___

y ? 4 x ? 3 _____

(14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=___-2____

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(15)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=
2

3 2

(x+1) +sinx (16)设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=_2___ 2 x +1

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 3asinC-ccosA

解: (1)由 c = 有 sin C

3asinC-ccosA 及正弦定理得

3 sin A sin C ? sin C cos A ? sin C ? 0

? 0 ,所以 sin( A ?

?
6

)?

? 1 ,所以 A ? 3 2

(2)

4 ? b 2 ? c 2 ? bc? ? b ? c ? 2 ? bc ? 4 ?

18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完,剩 下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解 析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15[ 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(1)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (2)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少 于 75 元的概率。

解:(Ⅰ)y 与 n 的解析式为:

n ? 85 ( n ? 17 ) y ? 10 85 ( n ? 17 )

?

(Ⅱ) (1)100 天的日利润(单位:元)的平均数:

1 (55?10 ? 65? 20 ? 75?16 ? 85? 54) ? 76.4 100
(2)当天的利润不少于 75 元的概率:

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7
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C1
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B1

A1 (19) (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积比。 1 2 D C A B

(I)证明:有题设得 BC 又

? CC1 , BC ? AC , CC1 ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACC1 A1 ,
,所以

DC1 ?

平面

ACC 1A 1

DC1 ? BC
又 DC1

,由题设知

?A1 DC1 ? ?ADC ? 45?

,所以

DC1 ? DC

,有

DC ? BC ? C ,所以 DC1 ? 平面 BDC,
(Ⅱ)设棱锥

? 平面 BDC1,

平面 BDC1⊥平面 BDC , 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 体 积 为

1 1? 2 1 B ? DACC1 的 体 积 为 V1 , V1 ? ? ? 1? 1 ? 3 2 2

V ?1 ,所以

(V ? V1 ) : V1 ? 1 : 1,所以平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积的比为 1 : 1

(20) (本小题满分 12 分) 2 设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的 比值。

解: (I) BD

? 2 P , FA ? 2 P ,由抛物线的定义知 A 到 l 的距离 d ?| FA |? 2 p ,所以

1 | BD | d ? 4 2 ,解得 p ? ?2 (舍), P ? 2 ,所以 F (0,1) ,圆 F 方程: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 8 , 2
(II)由抛物线的定义 |

AD |?| FA |?

3 1 | AB | ,所以 ?ABD ? 30? ,直线 m 斜率为 ? 3 2
代入 x2=2py 有: x
2

当 m 斜率为

3 3 x?b ,可设直线 n: y ? 3 3
? 0 解得 b ? ?

?

2 3 px ? 2 pb ? 0 3

由且 n 与 C 只有一个公共点 ?

p p | b1 | ?3 ,因为 m 的截距 b1 ? , 6 2 |b|
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坐标原点到 m,n 距离的比值为 3;当 m 斜率为 ?

3 时,由图形对称性知坐标原点到 m,n 距离的比值为 3 3

(21)(本小题满分 12 分) x 设函数 f(x)= e -ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, ( x ? k ) f ?( x) ? x ? 1 >0,求 k 的最大值

解:(Ⅰ) 当a 当a 所以

f ?( x) ? e x ? a

? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??,??) 是增函数; ? 0 ,当 x ? (??, ln a) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln a,??) 时, f ?( x) ? 0

f ( x) 在 (??, ln a) 是减函数, f ( x) 在 (ln a,??) 是增函数

(Ⅱ) a=1 时,且当 x>0 时 ( x ? k ) f

?( x) ? x ? 1 ? ( x ? k )(e x ? 1) ? x ? 1 ? 0

?k?

e x (e x ? x ? 2) x ?1 x ?1 ? ? x g ( x ) ? ? x ( x ? 0 ) ;令 , g ( x ) ? ex ?1 ex ?1 (e x ? 1) 2

由(Ⅰ)知 h( x)

? e x ? x ? 2 在 (0,??) 是增的, h(1) ? 0, h(2) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0,??) 上存在唯一的零点,所以 g ?( x )

在 (0,??) 上存在唯一的零点设为 a, 当 x ? (0, a) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (a,??) 时, g ?( x)

? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,??) 的最小值为 g (a) 。又 g ?(a) ? 0 得

e a ? a ? 2 ,所以 g (a) ? a ? 1 ? (2,3) ,所以 k ? g (a) ,k 的最大值为 2.
请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚 题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 CF//AB, 证明: (Ⅰ)CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD

A

G

E D

F

B

C

证明:(Ⅰ)连结

AF

, DE

// BC , CF // AB ,
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CF ? BD ? AD ,而 CF // AD ,所以 CD ? AF
又 CF

// AB ,所以 BC ? AF

,所以 CD

? BC ? CF ,所以 GB ? BD ,而 ?DGB ? ?EFC ? ?DBC ,

(Ⅱ) FG // BC ,故 GB 故△BCD∽△GBD

? CF

,由(Ⅰ)知 BD

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 ?x=2cosφ 已知曲线 C1 的参数方程是? ?y=3sinφ

(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐

π 标方程是ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) 3 (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| + |PB| + |PC| + |PD| 的取值范围。
2 2 2 2

解:(Ⅰ)

A(2 cos ,2 sin ) , B(2 cos( ? ),2 sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2 ? ? ? 3? ? 3? C(2 cos( ? ? ),2 sin( ? ? )) , D(2 cos( ? ),2 sin( ? )) 3 3 3 2 3 2
A(1, 3) , B(? 3,1) , C(?1,? 3) , D( 3,?1)
(Ⅱ)设 P(2 cos? ,3 sin ? ) ,|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 ? 16cos
=

?

?

?

?

?

?

2

? ? 36sin 2 ? ? 16

32 ? 20sin 2 ? , 则|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围[32,52]。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

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解:当 a =-3 时,

x?2 ? ?? 2 x ? 5 f ( x) ? ? 1 2 ? x ? 3 ,不等式 f(x)≥3 的解集为 ?x x ? 1, 或x ? 4 ? x?3 ? 2x ? 5

?
a?0

(Ⅱ) |x + a| + |x-2|≤|x-4|,有|x + a| ≤|x-4|-|x-2|,当 x ? [1,2] 有|x + a| ≤(4-x)-(2-x)=2, 即 ? 3 ?

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