高考数学一轮总复习第八单元立体几何第52讲空间点线面的位置关系理新人教A版_图文

第52讲 空间点、线、面的 位置关系

1.了解平面的基本性质,理解“三个公理”的意义. 2.理解空间点、直线、平面的位置关系的定义. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明空间位置 关系的简单命题.

1.平面的基本性质

公理 1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么

这条直线在此平面内.

用符号语言表述为:若A、B∈l,且A、B∈α,则l?α . 公理 2:经过 不在同一条直线上的三点,有且只有一个

平面.

公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 有且只有一条 过该 点 的 公 共直 线 . 用符 号 语 言 表 述

为: P∈α,且P∈β?α∩β=l且P∈l

.

2.空间两条直线的位置关系
(1)空间两条直线的位置关系包括 平行、相交、异面, 其中异面直线是指不同在 任何 一个平面内的直线.
(2)公理 4:平行于同一条直线的两条直线 平行 .
(3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,
那么这两个角 相等或互补 .

3.空间中直线与平面的位置关系 无数个
4.平面与平面的位置关系 没有公共点

有且只有一个 没有

有且只有一条公共直线

1.公理 2 的三个推论
推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只
有一个平面.
推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.异面直线的判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该 点的直线是异面直线. 3.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

1.在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一平面的两个平面互相平行 B.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上有两点在同一平面内,那么这条直线 上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且 只有一条过该点的公共直线 解:根据点、线、面位置关系的 4 个公理来判断, 选项 A 是两平面平行的性质,B、C、D 分别是公理 2、 公理 1 和公理 3.
答案:A

2.若直线 a,b 是异面直线,直线 b,c 是异面直线,

则 a,c 的位置关系是( )

A.异面直线

B.相交直线

C.平行直线

D.以上都有可能

解:可画图帮助判断,得到 a 与 c 异面、相交、平 行都有可能.

答案:D

3.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的 是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

解:当 l1⊥l2,l2⊥l3 时,l1 也可能与 l3 相交或异面,故 A 不正确;
l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3,故 B 正确; 当 l1∥l2∥l3 时,l1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧 棱,故 C 不正确; l1,l2,l3 共点时,l1,l2,l3 未必共面,如正方体中从同 一顶点出发的三条棱,故 D 不正确. 答案:B

4.(2016·山东卷)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面

α,β 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β

相交”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解:由题意知 a?α,b?β,若 a,b 相交,则 a,b 有 公共点,从而 α,β 有公共点,可得出 α,β 相交;
反之,若 α,β 相交,则 a,b 的位置关系可能为平行、 相交或异面.
因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相 交”的充分不必要条件.故选 A.
答案:A

5.已知下列四个命题:

①在空间中,过直线外一点只能作一条直线与该直线平行;

②若直线在平面外,则直线与平面平行;

③若两平面平行,则分别在这两个平面内的直线平行或异面;

④若直线与平面平行,则直线平行于平面内的任何一条直线.

其中正确命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解:①③对,其余错.

答案: C

平面基本性质的应用 判断空间两直线的位置关系 点、线、面位置关系的判定

考点1·平面基本性质的应用
【例 1】在空间四边形 ABCD 中,E、G 分别为 BC、AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上,且有 DF∶FC=2∶3, DH∶HA=2∶3.
(1)求证:G、E、F、H 四点共面; (2)求证:EF、GH、BD 交于一点; (3)若 EF 与 GH 相交于 O,证明:B、D、O 三点共线.

证明:(1)连接 EG、HF,因为 E、G 分别是 BC、AB 的 中点,所以 GE∥AC,
又因为 DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3, 所以 HF∥AC,所以 GE∥HF, 故 G、E、F、H 四点共面. (2)由(1)知 G、E、F、H 四点共面, 又 EF 与 GH 不平行, 所以 EF 与 GH 必相交.

设 EF∩GH=O,由 O∈EF,EF?平面 BCD, 所以 O∈平面 BCD,同理 O∈平面 ABD, 所以 O 在平面 ABD 与平面 BCD 的交线 BD 上, 所以 EF、GH、BD 交于一点 O. (3)由(2)可知,O 点在 BD 上,所以 B、D、O 三点共线.

【变式探究】

1.如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD

=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=12AD,BE∥FA,BE=12FA,G, H 分别是 FA,FD 的中点.

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四



形;

(2)证明:C,D,F,E 四点共面.

解:(1)因为 G,H 分别是 FA,FD 的中点, 所以 GH∥AD,GH=21AD, 又因为 BC∥AD,BC=21AD,所以 BC∥GH,BC=GH, 所以四边形 BCHG 是平行四边形.

(2)证明:因为 BE∥FA,BE=12FA, 所以 BE∥FG,BE=FG, 所以四边形 BGFE 是平行四边形,所以 BG∥EF. 又因为 BG∥CH,所以 EF∥CH. 所以 C,H,F,E 四点共面. 又 D∈FH,FH?平面 CHFE,所以 D∈平面 CHFE, 所以 C,D,F,E 四点共面.

点评:(1)理解平面的基本性质,掌握其基本应用是解 决“点、线共面,多点共线,多线共点”的关键.
(2)公理 1 是判断一条直线是否在平面内的依据;公理 2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理 3 是证 明三点共线或三线共点的依据.

考点2·判断空间两直线的位置关系
【例 2】在下图中,G、N、M、H 分别是正三棱柱(两 底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示 直线 GH、MN 是异面直线的图形有__________.(填上所有 正确答案的序号)

解:①因为 M、G 为中点,可得到 GM HN, 所以 GH∥MN,所以 GH 与 MN 共面. ②④可利用结论:“平面内一点和平面外一点的连线, 和平面内不经过该点的直线是异面直线”进行判定,也可 采用反证法判定,得到 GH 与 MN 是异面直线. ③因为 GM 21HN,所以 GH 与 MN 共面. 答案:②④

【变式探究】

2.(2017·广东惠州三调)如图是一个几何体的平面展开

图,其中四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中

点,在此几何体中,给出下面 4 个结论:

①直线 BE 与直线 CF 异面;

②直线 BE 与直线 AF 异面;

②直线 EF∥平面 PBC;

④平面 BCE⊥平面 PAD.

其中正确的有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解:将展开图还原为几何体(如图), 因为四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点, 所以 EF∥AD∥BC,则直线 BE 与 CF 共面,①错; 因为 AF?平面 PAD,B?平面 PAD,E∈平面 PAD,E?AF, 所以 BE 与 AF 是异面直线,②正确; 因为 EF∥AD∥BC,EF?平面 PBC,BC?平面 PBC, 所以 EF∥平面 PBC,③正确; 平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直,④错. 答案:B

点评:(1)空间两条直线位置关系的判定,主要是异面、共 面的判定.对于异面直线的判定可直接证明也可采用反证法, 通过图形分析、运用反证法的思想是判断线面位置关系的常用 方法.
判定两直线异面,常利用结论:平面内一点和平面外一点 的连线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.
(2)共面的情况主要是对平行与垂直这两种特殊位置关系 的判定.对于平行的判定,常利用三角形(梯形)的中位线的性 质、平行四边形的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质 定理;对垂直关系的判断,常利用平面几何中特殊图形的特点 及线面垂直的性质来解决.

考点3·点、线、面位置关系的判定
【例 3】(经典真题)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α, n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( )
A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l

解:直接去判断每一个选择支是否正确,很抽象.可 构造长方体模型,化抽象为直观进行判断.
画出满足题设条件的长方体模型,如图:
显然 α⊥β,排除 A;虽然α ⊥β ,但 l∥β,排除 B; α 与 β 相交,且交线平行于 l,排除 C,选 D. 答案:D

【变式探究】
3.(2017·湖北武昌调研)若四面体 ABCD 的三组对棱分别

相等,即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,则

.(写出

所有正确结论的编号)

①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直;

②四面体 ABCD 每个面的面积相等;

③从四面体 ABCD 每个面出发的三条棱两两夹角之和大

于 90°而小于 180°;

④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平

分;

⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一

个三角形的三边长.

解:把四面体 ABCD 放置在如图所示的 长方体中(如图),
对于①,当长方体不是正方体时,①的 结论不成立,故命题①错误;
对于②,因四个面对应有三角形的三边 分别对应相等,即它们为全等的三角形,所以②正确;
对于③,当四面体 ABCD 为正四面体时,夹角之和等于 180°,所以③错误;
对于④,在每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平 行,且都经过长方体的中心,所以④正确;
又命题⑤显然成立.故填②④⑤.

点评:(1)点、线、面位置关系的判断是高考的热点, 其方法有:①根据公理和定理证明位置关系;②通过构造 特例否定其位置关系;③利用原命题与逆命题的等价判断 命题的真假;④反证法等.
(2)构造长方体模型或正方体模型是构造“特例”的 常用方法,利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性, 可避免因考虑不全而导致解题错误.

1.证明点共线、线共点、点或线共面的基本方法:
(1)证明空间点共线问题.通常证明这些点都在两个平面 的交线上,即先确定出两点在某两个平面的交线上,再证明 其他点既在第一个平面内,又在第二个平面内,从而说明它 在两个平面的交线上.
(2)证明空间线共点问题.如证三线共点,可把其中一条 作为分别过其余两条的两个平面的交线,然后再证另两条直 线的交点在此直线上.
(3)证明空间几点共面问题.可先取三点(不共线的三点) 确定一个平面,再证其他各点都在这个平面内;证明空间几 条直线共面问题.可先取两条(相交或平行)直线确定一个平 面,再证明其余直线在这个平面内,或者从这些直线中取适 当的两条直线确定若干个平面,再证明这些平面重合.

2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平 面内不经过点 B 的直线是异面直线. (2)反证法:即证明两线不可能平行、相交或证明两线不 可能共面,从而得到两线异面. 3.空间点、线、面位置关系的判断,常常需要进行文字 语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用,特别要注意 “构造法”的运用,通过构造长方体等模型,能化抽象为直 观,快速得到判断.


相关文档

2020届高考数学一轮总复习第八单元立体几何第52讲空间点、线、面的位置关系课件理新人教A版
2020届高考数学一轮总复习第八单元立体几何第52讲空间点、线、面的位置关系练习理(含解析)新人教A版
高考数学一轮总复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系课件理新人教B版
全国通用高考数学一轮总复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系课件理新人教B版09050260
新人教版高考数学一轮总复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系课件理新人教B版
2019-2020年新人教版高考数学一轮总复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系课件理新人教B版
全国通用2019届高考数学一轮总复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系专用题组理新人教B版
高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第3节空间点线面的位置关系高考AB卷理
2020版高考数学一轮总复习第八单元立体几何课时3空间点线面的位置关系教案文含解析新人教A版2019080245
全国通用2017届高考数学一轮总复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系课件理新人教B版
jingxinwu.net
90858.net
xaairways.com
tuchengsm.com
gaizaoahe.com
eonnetwork.net
ceqiong.net
bestwu.net
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科