2014年高一数学必修2、必修4考试题(1)


2014 年高一数学必修 2、必修 4 考试题(1)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. tan 390 ? (
0

) B.

A. ? 3

3
?

C.

3 3

D. ?

3 3

2. 若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3,x)满足条件(8 a - b )· c =30,则 x=(

?

?

?

?

?



A.6 B.5 C.4 D.3 3. 某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查, 如果已知从高一学生中抽取的人数为 7,那么从高三学生中抽取的人数应为 ( ) A. 10 B 9 C. 8 D 7 4. 已知函数 f ? x ? ? sin(? x ?

?
3

), ? ? 0) ( 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象(
B.关于直线 x ?



( , 对称 0) A.关于点 3 0) C. 关于点( , 对称 4

?

?
4

对称

?

D. 关于直线 x ?

?
3

对称

5. 下图是 2010 年我市举行的名师评选活动中, 七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A、84,4.84 B、84, 1.6 C、85,1.6 D、85,4

6. 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

?
10

个单位长度,再把所得各点的横坐 )

标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 ( A. y ? sin(2 x ?

?
10

) )

B. y ? sin(2 x ? D. y ? sin( x ?

?
5

) )


C. y ? sin( x ?

1 2

?

10

1 2

?

20

7. 若 a,b 是非零向量,且 a ? b , a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是( A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数 C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数 8. 若非零向量 a,b 满足| a |?| b |,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为 ( A. 30 B. 60 C. 120 9. 某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1, 顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为( ) A. 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 ; B. sin ? ? 3 cos ? ? 3
0 0 0

) D. 150
0

1

C. 3sin ? ? 3 cos ? ? 1

D. 2sin ? ? cos ? ? 1

10. 已知圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 36 和点 A(2,2) B(?1,?2) ,若点 C 在圆上且 ?ABC 的面积 为

5 ,则满足条件的点 C 的个数是( 2



A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 已知 ? 为第三象限的角, sin a ? ? , 则 tan 2? ? 12. 执行右图所示的程序框图,若输入 x ? 10 ,则输出 y 的值 为 13. 圆: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的 距离的最大值 是__________________ 14.关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? (1) y ? f ( x ?

3 5

?
3

)( x ? R) ,有下列命题:

4? ) 为偶函数 3 (2)要得到函数 g( x) ? ?4sin 2 x 的图像,只需将 f ( x ) 的图像
向右平移

? 个单位 3

(3) y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

?
12

对称

(4) y ? f ( x) 在 [0, 2? ] 内的增区间为 [0,

5? 11? ]和 [ , 2? ] ,其中正确的命题序号为 12 12

__________________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 ) 15.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 3sin(? x ? (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)已知 f ( ? ?

?
4

) , ?>0 , x? ? ??, ??? ,且以

2? 为最小正周期. 3

2 3

?
12

)?

12 ,求 sin ? 的值. 5

16. (本小题满分 13 分) 为了了解高一学生的体能状况, 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试, 将所得数据整 理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中从左到右各小长方形的面积之比为 2:4:17:15: 9:3,第二小组频数为 12. (1)求第二小组的频率; (2)求样本容量;
2

(3)若次数在 110 以上为达标,试估计全体高一学生的达标率为多少?

17. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ), a ? b ? 2 5 , (1)求 cos(? ? ? )的值 ; (2)若 ?
5

?
2

? ? ? 0 ?? ?

?
2

,且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? 的值. 13

18. (本小题满分 13 分) 直线 y ? 2 x ? m 和圆 x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、B 两点,以 x 轴正半轴 Ox 为始边, OA 、 OB 为终边的角分别为 ? 、 ? , 求 sin(? ? ? ) 的值

19. (本小题满分 14 分) 已 知 与 曲 线 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0相切的直线 分别交x轴 、 y 轴 于 l

A(a,0) 、 B(0, b)两点(a ? 2, b ? 2), O 为原点。
(1)求证: (a ? 2)(b ? 2) ? 2 ; (2)求线段 AB 中点 M 的轨迹方程;

20. (本小题满分 14 分)

x ? ) ? cos 2 x ? 1. 4 2 ? 2? ] 上是增函数,求 ? 的取值范围; (1)设 ? >0 为常数,若 y ? f (?x)在区间[? , 2 3 ? 2? 1 }, B ? {x | [ f ( x)]2 ? mf ( x) ? m 2 ? m ? 1 ? 0}, 若 A ? B (2)设集合 A ? {x | ? x ? 6 3 2 恒成立,求实数 m 的取值范围
已知函数 f ( x) ? 4sin x sin (
2

?

3

参考答案
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C 9 A 10 C

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.

24 ; 7

12.-

5 4

13. 2 ? 1

14. (2)(3)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 15. (12 分)解: (1)由题意 T ?

2? 3

?? ?

? f ( x) ? 3sin(3x ? ) 4 2? ? ? ? ? 12 f( ? ) ? 3sin(2? ? ? ) ? 3sin(2? ? ) ? 3cos 2? ? (2) 3 12 4 4 2 5 4 ? cos 2? ? 5 4 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 5

?

2? ?3 T

? sin ? ? ?

10 10

16. (13 分)解:(1) 由于每个长方形的面积即为本组的频率,设第二小组的频率为 4 f ,则

2 f ? 4 f ? 17 f ? 15 f ? 9 f ? 3 f ? 1 解得 f ?

1 50

? 第二小组的频率为 4 ?

1 2 ? 50 25 12 2 ? ,? n ? 150 (2)设样本容量为 n , 则 n 25
(3) 由 (1) 和 直 方 图 可 知 , 次 数 在 110 以 上 的 频 率 为

22 ? 0.88 25 由此估计全体高一学生的达标率为 88 % 17 f ? 15 f ? 9 f ? 3 f ? 44 f ?
17. (14 分) (Ⅰ)解:

? a ? 1, b ? 1

(1 分) (3 分)

? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? 2 ? 2 ? a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? b ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? )
? 1 ? 1 ? 2 cos(? ? ? )
(4 分)

?2 5? 4 ? ? a?b ?? ? 5 ? ?5 ? ?
2

2

? 2 ? 2 cos( ? ? ? ) ?

4 3 得 cos( ? ? ? ) ? 5 5

(7 分)

4

(Ⅱ)解:? ?

?
2

? ? ? 0?? ?

?
2

?0 ? ? ? ? ? ?
4 5

(8 分)

由 cos( ? ? ? ) ?

3 5

2 得 sin(? ? ? ) ? 1 ? cos ?? ? ? ? ?

(9 分)

由 sin ? ? ?

5 13

2 得 cos ? ? 1 ? sin ? ?

12 13

(10 分)

? sin ? ? sin?(? ? ? ) ? ? ? ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ?

(14 分)

?
18. (13 分)解:

4 12 3 5 33 ? ? ? (? ) ? 5 13 5 13 65

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

联立直线与圆的方程得 5x ? 4mx ? m ? 1 ? 0
2 2

4m ? x1 ? x2 ? ? ? ? 5 则? 2 ?x ? x ? m ?1 ? 1 2 5 ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? x1 y2 ? x2 y1 y1 ? 2x1 ? m, y2 ? 2x2 ? m 代入上式可得:
sin(? ? ? ) ? x1 (2 x2 ? m) ? x2 (2 x1 ? m) ? m( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? 4 5

19. (14 分)解: (1)?圆C的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1,?其圆心为1,1) ,半径为 1 ( 依题设直线 l :

x y ? ? 1, a b

由圆 C 与 l 相切得: 1 ?

| a ? b ? ab | a2 ? b2

? (a ? 2)(b ? 2) ? 2

a ? ?x ? 2 ?a ? 2 x ? (2)设线段 AB 中点为 M ( x, y ),由中点坐标公式得 ?? . ? ?b ? 2 y ?y ? b ? 2 ?
代入 (a ? 2)(b ? 2) ? 2可得2( x ? 1)( y ? 1) ? 1( x ? 1) 即为所求的轨迹方程。

5

(2) [
2

1 f ( x)]2 ? mf ( x) ? m 2 ? m ? 1 2
2

= sin x ? 2m sin x ? m ? m ? 1 ? 0 因为 x ? [

? 2?
6
2

,

3

] ,设 sin x ? t ,则 t ?[
2

1 ,1] 2

上式化为 t ? 2mt ? m ? m ? 1 ? 0 由题意,上式在 t ?[

1 ,1]上恒成立. 2

记 f (t ) ? t 2 ? 2mt ? m2 ? m ?1 , 这是一条开口向上的抛物线,

1 ? ?m ? 2 ? 则? ? f (1) ? 0 ? 2 ?
或?

?1 ? ? m ?1 或?2 ?? ? 0 ?

?m ? 1 ? f (1) ? 0
3 或m ? 1 . 2

解得: m ? ?

6


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