分段函数的探究

第 8 卷第 8 期 "((1 年 !" 月

黄山学院学报

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分段函数的探究
陈瑞芬
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!摘

要 "本文讨论了分段函数不一定都为初等函数 !并给出了判别法 " 初等函数 非初等函数 分段点 连续 ! 文献标识码 "% ! 文章编号 "&’()!$$(* #)++$ $+’!++&,!+,

! 关键词 "分段函数 ! 中图分类号 "!"#$

我们知道 ! 数学分析和高等数学中所研究的函 数主要是初等函数 " 由基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的复合运算所得到函数 #$ 根据初等 函数定义可推知初等函数能用一个解析式子表达 ! 但不能由此而推得分段函数为非初等函数 $ 这个概 念作者在许多教学活动中经常发现有混淆之谈 $ 那 么究竞哪些分段函数是初等函数 ! 哪些分段函数为 非初等函数呢 % 事实上 ! 在函数连续性的研究中证明了六类基 本初等函数在其定义域都是连续的 $ 证明了连续函 数经过有限次的四则运算和相应的复合运算仍然是 连续的 ! 由此我们可得 & 定理 !& 任何初等函数在其定义区间上都是连 续函数 $ 由定理 ! 和构造辅助函数的方法以及反证法 ! 我们可得如下判断分段函数为初等函数或非初等函 数的几个判断定理 & 定理 "& 设函数 #$% ’&( 是 定 义 在 ’ 上 的 分 段 函 数 ! 若它在每一段上都是初等函数 ! 且在所有分段的 界点处连续 !则 #$% )& ( 是在 ’ 上的初等函数 $

%%"& (在 &$" 处连续 $ 综上所述 !% "&( 在所有分段点处连续 ! 且在每一
段上都是初等函数 $ 由定理 ’ 知 !% "& ( 是 *( !& + 上的初等函数 , 事实 上 !% )& (可表示为 &

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数 ! 若它在每一段上都是初等函数 ! 且所有分段的界 点都不属于 ’ ! 则 #$% )& (是在 ’ 上的初等函数 $

+/&" &!( " 例 "& 设 % )& (*) 0,/& &+( %& 由于 % )&( 在每一段上都是初等函数 ! 且分段点 &$( 不属于 % )&( 的定义域 ! 由定理 ) 知 !% )&( 是 ’$ )* , !((* )(!.,( 上的初等函数 $ 事实上 !% )& ( 可表示
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初等函数 $ 解 &" +,- % "& ($ +,- &$!
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! ! 0,/& &" &" *-* ’ ++/&". * ’ .-+ &+( " & " & & 定理 1 & 如果函数 % )& ( 在 其 定 义 域 ’ 的 某 个 非 孤立点 &() 在 &( 的任何领域都含有属于 ’ 而异于 &( 的点 (处不连续 ! 则 #$% )& (是在 ’ 上的非初等函数 $ ! &+( , $ 例 )& 考虑符号函数 02/&$ ) ( &$( 显然 ! 符号 $ *! &!( % 函 数 在 其 定 义 域 )*,! ), ( 内 &$( 点 ) 非 孤 立 点 ( 处 间 断 ! 故 符 号 函 数 02/& 是 )*, ! ),( 上 的 非 初 等 函 %)&($
数$ 同理 & 取整函数 #$*&+!’,3,45+67 函数
% 下转第 %# 页 &

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# 收稿日期 $!""#$%"$!&

# 作者简介 $ 陈瑞芬 %%’(&$ &! 安徽马鞍山人 ! 黄山学院数学系副教授 ! 研究方向为函数论 $

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非奇异矩阵 !从而 ! 是非奇异阵 " 证毕 " 注 # 若条件 $" %成立 !则条件 $#% 成立 &
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这等价于 $# %式 ! 即证明了命题是定理的推论 & 下面一个简单的例子说明条件 $#% 比条件 $& % 宽
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事实上 !由 $" %得

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松& 例 设 4 阶实对称循环阵

又由 .$/012 不等式知
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奇异阵 !但由命题无法作此判断 &

! 参考文献 " !)" 屠伯埙 8 对称循环阵的特征值与非异性 !9 "8 工程数学学报 #*:;< #** $6%87<=4&8 !& " 屠伯埙 8 线性代数方法导引 !> "8 上海 8 复旦大学出版社 #):;58

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1

C C $C!S 为正整数 ! 为即约分数 % S S 当 J$Q!* 和无理 数

均为其定义域上的非初等函数 &
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*7

分段函数的探究
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 陈瑞芬 黄山学院,数学系,安徽,黄山,245061 黄山学院学报 JOURNAL OF HUANGSHAN UNIVERSITY 2004,6(6) 0次

参考文献(3条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 2002 2.同济大学数学系 高等数学 2002 3.崔宝同 数学分析的理论与方法 1990

相似文献(10条) 1.期刊论文 张永明.杜明芳.张梅荣 分段函数的分类及分离型分段函数与初等函数之间的关系 -工科数学2002,18(4)
将分段函数划分为连结型分段函数,分离型分段函数和它们的组合形式三种类型,得到了分离型分段函数是初等函数的充分必要条件,完整地解决了分离型分段函数与初等函数之间 的关系,并且给出了初等函数在其任一截取集上的限制函数(截取函数)仍然是初等函数的结果.

2.期刊论文 盛天钧.冯杰.SHENG Tian-jun.FENG Jie 分段函数为初等函数的判定定理 -镇江高专学报2001,14(2)
函数为初等函数的必要条件是函数在定义域内为连续函数.定义在区间Ⅰ上的由有限个初等函数表示的分段函数仍为初等函数的充分条件为函数在Ⅰ上连续,此时分段函数可由一 个符合初等函数定义的式子表示.

3.期刊论文 安瑞景.AN Rui-jing 对分段函数与初等函数关系的讨论 -天津工业大学学报2001,20(1)
讨论分段函数与初等函数的关系,指出分段函数未必不是初等函数,并举例说明;最后还对现行教材中初等函数的定义提出了商榷意见.

4.期刊论文 张静华 论分段函数与初等函数的内在关系 -广东水利水电2001,""(2)
初等函数在其定义领域内有一个统一的表达式,而分段函数的特点是其定义域被分成几个区间,在不同的区间上,函数有不同的表达式。本文给出了八个判定定理,这些定理均 是构造性的,而且很具技巧性。通过对这些定理的分析、证明,认为:一个各段均为初等函灵敏的有限段分段函数是否初等函数,关键是看分段函数相邻分段的界点是否有定义以及 在界点处(如果界点有定义)的取值。

5.期刊论文 朱小红.Zhu Xiaohong 关于分段函数是否初等函数的探讨 -武汉工程职业技术学院学报2005,17(3)
本文给出了六个判定定理,通过对这些定理的分析证明,认为:一个各段均为初等函数的有限段分段函数是否是初等函数,关键是看分段函数相邻分段的界点有无定义以及在界点处 (如果界点有定义)的取值.

6.期刊论文 陈茜 浅析分段函数的求导 -邢台学院学报2010,25(2)
讨论初等函数与分段函数的关系,给出分段函数在分段点处求导的几种方法及其求解的具体步骤,用例题演练这些理论的应用.

7.期刊论文 郭洪林.罗萍 "初等函数"及"分段函数"需重新定义 -河南科技学院学报(自然科学版)2007,35(4)
指出了初等函数和分段函数在数学实践中出现的矛盾现象及引起的概念混乱,希望数学界及数学教育界给出更明确、更恰切的定义.

8.期刊论文 张永明.ZHANG Yong-ming 分段函数与初等函数之间的关系 -曲阜师范大学学报(自然科学版)2000,26(4)
讨论形如f(x)=f1(x),x<x0, f1(x),x<x0. f2(x),x>x0, f(x)=A,x=x0 f2(x),x>x0等以及两个和两个以上连接点的分段函数是否是初等函数的问题,并得到相应的判别法.

9.期刊论文 魏莹.WEI Ying 初等函数教学中的几个问题 -武汉职业技术学院学报2002,1(4)
本文对比较特殊的两类初等函数--幂指函数与分段函数的初等性加以研究.对于幂指函数,首先利用对数恒等式说明其初等性,再用初等函数的求导法则求出其导数;对于分段函数 ,则由最常见的函数y=|x|的初等性展开联想,得到一类连续的分段函数的初等性.为避免混淆,还举例说明:并非所有连续的分段函数都是初等函数.

10.期刊论文 谢歆.Xie Xin 关于初等函数的几点注记 -黄山学院学报2009,11(5)
讨论了基本初等函数的判定以及初等函数的构成和初等函数的判断,对现行教材中初等函数的定义提出了商讨意见.

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