江西新建二中高二年级上学期(理科数学)周练卷一全国通用

新建二中 2008—2009 高二年级(理科)数学周练(1)
命题:董向东 2009 年 2 月 20 日 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1、以下各种情况中,是长方体的是( ) A.直平行六面体 B.侧面是矩形的正棱柱 C.对角面是全等矩形的四棱柱 D.底面是矩形的直棱柱 2、侧面是全等的等腰三角形的棱锥是( ) A.正棱锥 B.侧棱长相等的棱锥 C.斜高长相等的棱锥 D.以上均不对 3、正方体的内切球半径与外接球半径的比是( ) A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 2 : 3 D. 1 : 2 4、棱柱为直棱柱的一个必要不充分条件是( ) A.棱柱有一条侧棱与底面垂直 B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 C.棱柱有相邻两个侧面是矩形 D.棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直 5、长方体的全面积为 11 ,所有棱长度之和为 24 ,则这个长方体的 1 条对角线长为(



A. 2 3 B. 14 C. 5 D. 6 6、地球半径为 R ,在北纬 30 ? 圈上有两点 A 、 B , A 点的经度为东经 120 ? , B 点的经度 为西经 60 ? ,则 A 、 B 两点球面距离为( ) A. ?R B.

1 3

3 ?R 2

C. ?R

1 2

D. ?R

2 3

7、已知一个简单多面体的各个项点都有三条棱,则顶点数 V 与面数 F 满足的关系正确的是 ( ) A. 2 F ? V ? 4 B. 2 F ? V ? 4 C. 2 F ? V ? 2 D. 2 F ? V ? 2 8、侧棱长为 2 的正三棱锥,若其底面周长为 9 ,则该正三棱锥的体积是( )

3 3 4 9、设多面体的每个面都是 n 边形,以每个顶点为端点的棱有 m 条,顶点数是 V ,棱数是 E , 面数是 F ,则它们之间的关系不正确的是( ) A. nF ? 2 E B. mV ? 2 E C. V ? F ? E ? 2 D. mF ? 2 E 10、 正四面体 ABCD 中,E 、F 分别为 AD 、BC 的中点, 则 EF 与 CD 所成的角等于 ( ) A. 90 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 30 ?
A. B. C. D. 11、 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使 BD ? a , 则三棱锥 D-ABC 的体积是 ( (A) )

9 3 2

9 3 4

3 3 2

a 6

3

(B)

a 12

3

(C)

3a 12

3

(D)

2a 12

3

12、球 O 的半径为 R , A 、 B 、 C 为球面上三点, A 与 B 、 A 与 C 的球面距离都为
B 与 C 的球面距离为

?R , 2

?R ,则球 O 在二面角 B ? OA ? C 内的部分的体积是( 3
B. ?R



A. ?R

1 9

2

1 3

2

C. ?R

2 9

2

D.

8 ?R 2 27

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二、填空题: (4 分×4=16 分)
13、正四面体的侧面与底面所成二面角的余弦值是

?cm ,有两个平行截面的面积分别为 49?cm 和 400?cm ,则 14、已知球的表面积为 2500 这两个平行截面间的距离是 cm 15、在 120 ? 的二面角内,放一个半径为 5cm 的球切两半平面于 A 、 B 两点, A 那么这两个切点在球面上最短距离是 cm F 16、如图,将边长为 a 的正方形剪去图中的阴影部分,沿图中所画虚线折成 E 一个正三棱锥。这个正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值是
2 2 2

B

D

C

三 、解答题: (本大题共 4 小题,共 44 分)17、(10 分)已知 SA⊥平面 ABC,SA=AB,
AB⊥BC,SB=BC,E 是 SC 的中点, DE⊥SC 交 AC 于 D. (1) 求证:SC⊥面 BDE; (2)求二面角 E—BD—C 的大小.

18.(10 分) 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=2AB,D、E 分别是侧棱 BB1、CC1 上的点, 且 EC=BC=2BD,过 A、D、E 作一截面,求: (1)截面与底面所成的角; (2)截面将三棱柱分成两部分的体积之比.

19. (12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,?ABC=60?, PC⊥平面 ABCD,PC=1,E 为 PA 的中点. (1)求证:平面 EDB⊥平面 ABCD; (2)求二面角 A-EB-D 的正切值; (3)求点 E 到平面 PBC 的距离.

20.(12 分)A、B、C 是半径为 1 的球面上三点,B、C 间的球面距离为 ? ,点 A 与 B、C 两点 3 ? 间的球面距离均为 ,且球心为 O,求: 2 ①∠AOB,∠BOC 的大小; ②球心到截面 ABC 的距离;
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③球的内接正方体的表面积与球面积之比.

新建二中高二年级(理科)数学周练(1)参考答案
命题:董向东 2009 年 2 月 20 日 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 D 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 D 9 D 10 B 11 D 12 C

二、填空题: (4 分×4=16 分) 13、
1 3

14、 9 或 39

15、

5? 3

16、

3 2? 6 6

三 、解答题: (本大题共 4 小题,共 44 分)
17.(10 分)(1)证明:(1)∵SB=BC E 是 SC 的中点 ∴BE⊥SC ∵DE⊥SC∴SC⊥面 BDE (2)解:由(1)SC⊥BD∵SA⊥面 ABC∴SA⊥BD∴BD⊥面 SAC∴∠EDC 为二面角 E-BD-C 的平 面角 设 SA=AB=a,则 SB=BC= 2a .? 在Rt?SBC中, SC ? 2a, ?在Rt?SAC中, ?DCE ? 30 0 , ?在Rt?DEC中, ?EDC ? 600 .

18.(10 分) 解(1)延长 ED 交 CB 延长线于 F, 1 ? DB // EC , BD ? EC ,? FB ? BC ? AB.又?ABF ? 120 ? 2

A1 B1

C1

? ?BAF ? ?BFA ? 30?, ?FAC ? 90?.? AA? ? AF, AC ? AF,? AF ? AE, ?EAC
D A B

E

为截面与底面所成二面角的平面角. 在 Rt△AEC 中,EC=AC, 故得∠EAC=45°. ( 2 ) 设 AB=a , 则
AA? ? 2a, BD ? 1 1 3 3, a, EC ? a,?V A? BCED ? h ? S BCED ? a 2 3 8

C

3 3 3 V 3 2 3 3 V a . ADE ? A?B?C ? ? VA?B?C??? ABC S?ABC ? AA? ? a ? 2a ? a , ADE ? A?B ?C ? ? 8 4 2 S
A ? BCDE

3 3 3 a 8 ?3 3 3 a 8

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P

19(12 分) (1) 证明:连结 AC 交 BD 于 O,连 EO ∵ O 是 AC 中点,E 是 PA 中点 E ∴ EO∥PC M ∵ PC⊥平面 ABCD, F C ∴ PC⊥AO,PC⊥BO ∴ EO⊥AO,EO⊥BO O ∴ EO⊥平面 ABCD D A ∵ EO ? 平面 EDB ∴ 平面 EDB⊥平面 ABCD. (2) 解:∵ 平面 EDB⊥平面 ABCD,交线为 BD,又 AO⊥BD ∴ AO⊥平面 EDB 过 O 作 OM⊥BE 于 M,连 AM,则 AM⊥BE∴ ?AMO 为二面角 A-BE-D 的平面角 3 1 1 在 Rt△EOB 中,OB= ,EO= PC= ∴ EB=1 2 2 2 ∵ 1 1 OE×OB 3 BE×OM= OE×OB ∴ OM= = 2 2 BE 4 ∴ tan ?AMO= 1 2 = 2 3 . 3

B

3 4 (3) 解:∵ EO∥PC,PC ?平面 PBC,∴ EO∥平面 PBC ∴ E 到平面 PBC 的距离就是 O 到平面 PBC 的距离 ∵ 平面 PBC⊥平面 ABCD 交线为 BC,过 O 作 OF⊥BC 于 F ∴ OF⊥平面 PBC,OF 即为所求 ∵ 菱形 ABCD 中,?ABC=60? 3 1 3 3 ∴ OF=OB〃sin ?OBF= × = 即点 E 到平面 PBC 的距离为 . 2 2 4 4 20. (12 分) 解: ①∵球面距离 ? ? ? ? r (θ为劣弧所对圆心角) , 故易得∠AOB= ∠AOC=

1 ∵ 在 Rt△AOM 中,OA= 2

? 2
3 , 4 21 ∴ d= 7
S⊿ABC=

? ? , ∠BOC= , 2 3

②∵OA=OB=OC=1 ∴AB=AC= 2 ,BC=1,∴S⊿OBC = V0-ABC= ?

7 4

1 3

1 3 7 〃1= ? 〃d 3 4 4

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③设球的内接正方体棱长为 a 则 3 a=2 =2∶Л

∴a=

2 3 , S 3

正方体

∶S

球面

=6〃 (

2 3 2 ) ∶4Л 3

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