2012各地圆锥曲线与方程高考大题、选择、填空汇总解析与答案详解_图文

一、选择题: (2012 年高考四川卷理科 8)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过 点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ) D、 2 5

(2012 年高考全国卷理科 8)已知 F1 , F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左右焦点, P 在 C 上, 点
2 2

| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1 PF2 ?
A.

1 4

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

(2012 年高考新课标全国卷理科 8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物

线 y ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
2



( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

(2012 年高考新课标全国卷理科 4)设 F1 F2 是椭圆 E :

x2 y 2 右焦点, ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2


P 为直线 x ?

( A)

1 2

3a 上一点,? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形, E 的离心率为 则 ( 2 2 ? ? ( B) (C ) ( D) 3 ? ?

(2012 年高考浙江卷理科 8)如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的左右焦 a 2 b2

点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.
2 3 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

(2012 年高考湖南卷理科 5)已知双曲线 C : 渐近线上,则 C 的方程为 A.

x2 y 2 =1 的焦距为 10 , P (2,1) C 的 点 在 a 2 b2

x2 y 2 x2 y2 x2 y2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

D.

x2 y 2 =1【答案】A 20 80

【解析】设双曲线 C :

x2 y 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a 2 b2
b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a

又? C 的渐近线为 y ? ?

x2 y 2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为 =1. 20 5
2 2 2

【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的 思想和基本运算能力,是近年来常考题型. (2012 年高考全国卷理科 3)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆 的方程为

x2 y 2 ? ?1 A. 16 12

x2 y 2 ? ?1 B. 16 8

x2 y 2 ? ?1 C. 8 4

x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

二、填空题: (2012 年高考北京卷理科 12)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与 该撇物线相交于 A、 两点.其中点 A 在 x 轴上方。 B 若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面积 为 .

(2012 年高考辽宁卷理科 15)已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为
2

4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。

(2012 年高考江苏卷 8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 m m ?4

5 ,则 m 的值为



(2012 年高考浙江卷理科 16)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到 直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x +(y+4) =2 到 直线 l:y=x 的距离,则实数 a=______________.
2 2 2

(2012 年高考江西卷理科 13)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、 a 2 b2

右 焦 点 分 别 是 F1 , F2 。 若 |AF1| , |F1F2| , |F1B| 成 等 比 数 列 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 为 _______________. 【答案】

5 5

【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: AF1 ? a ? c , F1 F2 ? 2c ,

F1 B ? a ? c . 又 已 知 AF1 , F1 F2 , F1 B 成 等 比 数 列 , 故 (a ? c)(a ? c) ? (2c)2 , 即
a 2 ? c 2 ? 4c 2 ,则 a 2 ? 5c 2 .故 e ?

c 5 5 .即椭圆的离心率为 . ? a 5 5

【考点定位】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函 数与方程,转化与化归思想.求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a, c 的方程, 然后化为有关 a, c 的齐次式方程,进而转化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求 解等.

(2012 年高考湖北卷理科 14)如图,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1,A2,虚轴两 a 2 b2

端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B, C,D.则 (Ⅰ)双曲线的离心率 e=______; (Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值
S1 ? _________. S2

.(2012 年高考重庆卷理科 14)过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若
2

AB ?

25 , AF ? BF , 则 AF = 12



(2012 年高考四川卷理科 15)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 4 3

A 、 B ,当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________。

三、解答题: (2012 年高考江苏卷 19) (本小题满分 16 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , , 0) a 2 b2
? 3? e F2 (c , .已知 (1, ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其 0) ? 2 ? ? ?
中 e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的离心率; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若 AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2

(ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

(2012 年高考北京卷理科 19)(本小题共 14 分) 已知曲线 C : ? 5 ? m ? x ? ? m ? 2 ? y ? 8 ? m ? R ? .
2 2

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A ,B (点 A 位于点 B 的上方) 直线 y ? kx ? 4 与 , 曲线 C 交于不同的两点 M , N ,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G ,求证: A ,G , N 三点共线.

(2012 年高考广东卷理科 20)(本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= ,且椭圆 a b 3
C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于不同 的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若 不存在,请说明理由。
2 2

(2012年高考湖北卷理科21)(本小题满分13分) 设A是单位圆x +y =1上的任意一点, i是过点A与x轴垂直的直线, D是直线i与x轴的交点, 点M在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹 为曲线C。 (I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射 影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在, 求m的值;若不存在,请说明理由。
2 2

(2012 年高考上海卷理科 21)(6+8=14 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船 的当前位置为原点, 以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系 (以 1 海里为单位长度) , 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为 抛物线 y ?

12 2 x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失 49

事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求 救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

(2012 年高考福建卷理科 19)(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左 a 2 b2
1 。 F1 过 2

焦点为 F1 , 右焦点为 F2 , 离心率 e ?

的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长 为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交 于点 Q 。试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求 出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

(2012 年高考上海卷理科 22)(4+6+6=16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 :

2x 2 ? y 2 ? 1 .
(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的 三角形的面积; (2) 设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、 两点, l 与圆 x ? y ? 1 相切, 若 求证: Q OP ? OQ ;
2 2

(3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1 ,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,
2 2

求证: O 到直线 MN 的距离是定值.

(2012 年高考山东卷理科 21)(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,M 是抛物线 C 上 位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准 线 的距离为 3 .

4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ? 若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,l 与

4

圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当 1 ? k ? 2 时, | AB |2 ? | DE |2 的最小值.

2

(2012 年高考浙江卷理科 21) (本小题满分 15 分)如图, 椭圆 C:
1 x2 y 2 其左焦点到 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 , 2 a 2 b2

点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交 于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

9. (2012 年高考辽宁卷理科 20) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图,椭圆 C0 : 2 + 2 =1? a >b>0,a,b为常数 ? ,动圆 a b
C1:x 2 +y 2 =t12 ,b <t1 <a .点 A1 ,A2 分别为 C0 的左、右顶点,

C1 与 C0 相交于 A,B,C ,D 四点
(1)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2 :x 2 +y 2 =t2 2 与 C0 相交于 A',B',C',D' 四点,其中 b <t2 <a , t1 ? t2 .若矩形

ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,证明: t12 +t2 2 为定值

(2012 年高考新课标全国卷理科 20)(本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 90 0 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值.

(2012 年高考江西卷理科 20) (本题满分 13 分) 已 知 三 点 O ( 0,0 ) A ( -2,1 ) B ( 2,1 ) 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x , y ) 满 足 , , ,

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 .
(1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0) (-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在 定点 P(0,t) t<0) ( ,使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的 面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。

.(2012 年高考天津卷理科 19)(本小题满分 14 分)设椭圆

x2 y 2 + =1 (a >b>0) 的左、右顶 a 2 b2

点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上且异于

A, B 两点, O 为坐标原点.

(Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

1 ,求椭圆的离心率; 2

(Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明:直线 OP 的斜率 k 满足 |k |> 3 .

(2012 年高考安徽卷理科 20)(本小题满分 13 分) 如 图 , F1 (?c, 0), F2 (c, 0) 分 别 是 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半 部分于点 P ,

a2 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ? 于点 Q ; c
(I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。

(2012 年高考四川卷理科 21) (本小题满分 12 分) 如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、

B(2, 0) 构成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的
轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交 于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求

| PR | 的取值范围. | PQ |

(2012 年高考湖南卷理科 21)(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到 直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定 值.
2 2

(2012 年高考四川卷理科 22) (本小题满分 14 分)

n 已知 a 为正实数, 为自然数, 抛物线 y ? ? x ?
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , f (n) 设 2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f (n) ;

f ( n) ? 1 n3 ? (Ⅱ)求对所有 n 都有 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n 3 ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) 的大小,并说明理由. ? 4 f (0) ? f (1)

(2012 年高考陕西卷理科 19) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

??? ?

??? ?

(2012 年高考全国卷理科 21)(本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效) ........ 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? r 2 (r ? 0) 有一个公共点 A ,且在
2

1 2

A 处两曲线的切线为同一直线 l 。
(1)求 r ; (2)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的 距离。

(2012 年高考重庆卷理科 20)(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F2 ,线段

OF1 , OF2 的 中 点 分 别 为 B1 , B2 , 且 △ AB1 B2

是面积为 4 的直角三角形。

(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程.

2011 年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线

一、选择题: 1. (2011 年高考山东卷理科 8)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆 a 2 b2

C: x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为
2 2

x2 y 2 ? ?1 (A) 5 4

x2 y 2 ? ?1 (B) 4 5

x2 y 2 ? ?1 (C) 3 6

x2 y 2 ? ?1 (D) 6 3

3. (2011 年高考全国新课标卷理科 7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称 轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 答案:B (B) 3 (C)2 (D)3

2b 2 b2 解析:由题意知, AB 为双曲线的通径,所以, AB ? ? 4a ,? 2 ? 2 a a
b2 又 e ? 1 ? 2 ? 3 ,故选 B. a
点评: 本题考查双曲线标准方程和简单几何性质, 通过通经与长轴的 4 倍的关系可以计算出 离心率的关键

b2 的值,从而的离心率。 a2

x2 y 2 4.(2011 年高考浙江卷理科 8)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 与双曲线 a b C2 : x 2 ? y2 ? 1 有公共的焦点, C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两 4

点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 (A) a 2 ?

13 2

(B) a 2 ? 13

(C) b 2 ?

1 2

(D) b 2 ? 2

【答案】 C 【解析】由 C1 恰好将线段 AB 三等分得

x 1 ? ? x A ? 3 x ,由 xA 3

? y ? 2x 5 5 a, ? xA ? a ?x ? ? 2 2 15 5 ?x ? y

5a 2 2 5 2 ( ) ( a) 2 5 5a 2 5 ? 1 ? a 2 ? 11b 2 又 y? a ?( , a)在椭圆上, ? 152 ? 15 2 a b 15 15 15

? a 2 ? b 2 ? 5,
? b2 ? 1 ,故选 C 2
? ?

5.(2011 年高考安徽卷理科 2)双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是

(A)2

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ?

【答案】A 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质.属容易题.

【解析】 ? x ? y ? ? 可变形为

?

?

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? 4 , a ? 2 , 2a ? 4 .故选 C. 4 8

x2 y2 6. (2011 年高考湖南卷理科 5)设双曲线 2 ? ? 1?a ? 0? 的渐近线方程为 3 x ? 2 y ? 0 , 9 a
则 a 的值为 A.4 B. 3 C. 2 D. 1

8.(2011 年高考陕西卷理科 2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方 程是 (A) y ? ?8 x
2

(B) y ? 8 x
2

(C) y ? ?4 x
2

(D) y ? 4 x
2

【答案】B 【解析】 :设抛物线方程为 y ? ax ,则准线方程为 x ? ?
2 2

a a 于是 ? ? ?2 ? a ? 8 4 4

9. (2011 年高考四川卷理科 10)在抛物线 y ? x ? ax ? 5(a≠0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 ,

x 2 ? 2 的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆

5 x 2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标为(
(A) (?2, ?9) (B) (0, ?5) (C) (2, ?9)

) (D) (1, ?6)

10. (2011 年高考全国卷理科 10)已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C
2

交于 A,B 两点.则 cos ?AFB = (A)

4 5

(B)

3 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5

【答案】D

? y2 ? 4x 得A(1, ?2), B(4, 4) 【解析】 ? y ? 4 x得F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 ,由 ? : ? y ? 2x ? 4
2

则 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 3 5 ,由抛物线的定义得 AF ? 2, BF ? 5
故选 D

52 ? 22 ? (3 5) 2 4 由余弦定理得 cos ?AFB ? ?? 2? 5? 5 5

11.(2011 年高考福建卷理科 7)设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 r 的离心率等于 A. 或 【答案】A

1 2

3 2

B.

2 或2 3

C. 或 2

1 2

D. 或

2 3

3 2

二、填空题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 13)已知点(2,3)在双曲线 C:

x 2 y2 ? 1 (a>0,b>0)上, a 2 b2

C 的焦距为 4,则它的离心率为_____________.

3. (2011 年高考江西卷理科 14)若椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 2 a b 2

x 2 +y 2 =1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程
是 【答案】

x2 y 2 ? ?1 5 4

【解析】因为一条切线为 x=1,且直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,所以椭圆的右 焦点为(1,0),即 c ? 1 ,设点 P(1,

1 1 ),连结 OP,则 OP⊥AB,因为 kOP ? ,所以 k AB ? ?2 , 2 2

又因为直线 AB 过点(1,0),所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ,因为点 (0, b) 在直线 AB 上,

x2 y 2 ? ? 1. 所以 b ? 2 ,又因为 c ? 1 ,所以 a ? 5 ,故椭圆方程是 5 4
2

4. (2011 年高考全国新课标卷理科 14) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,

焦点 F1 , F2 在

x 轴上, 离心率为


2 。 l 的直线 交于 A, B 两点, ? ABF2 的周长为 16, 过 且 2

那么 C 的方程为 答案:

x2 y2 ? ?1 16 8
c 2 ? ,? c ? 2 2 , a 2

解析:由椭圆的的定义知, C ? ? 4a ? 16,? a ? 4 ,又因为离心率

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 8 因此,所求椭圆方程为:

x2 y2 ? ? 1; 16 8

点评:本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。要注意把握. 5.(2011 年高考重庆卷理科 15)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所组成的封闭区域
2

(包含边界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为 解析: 6 ? 1 。 为使圆 C 的半径取到最大值, 显然圆心应该在 x 轴上且与直线 x ? 3 相切, 设圆 C 的半径为 r ,则圆 C 的方程为 ? x ? r ? 3? ? y 2 ? r 2 ,将其与 y ? 2 x 联立得:
2

2

x 2 ? 2 ? r ? 2 ? x ? 9 ? 6r ? 0 ,令 ? ? ? 2 ? r ? 2 ? ? ? 4 ? 9 ? 6r ? ? 0 ,并由 r ? 0 ,得: ? ?
2

r ? 6 ?1
6. (2011 年高考四川卷理科 14)双曲线

x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 P 到左准线的距离 64 36
是 答案:16 解析:由双曲线第一定义,|PF1|-|PF2|=±16,因|PF2|=4,故|PF1|=20, (|PF1|=-12 舍去) , 设 P 到左准线的距离是 d,由第二定义,得 .

20 10 ? ,解得 d ? 16 . d 8

x2 y2 7. (2011 年高考全国卷理科 15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: =1 的左、右焦点,点 9 27
A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = 【答案】6 .

【解析】 ? F1 (?6, 0), F2 (6, 0) ,由角平分线的性质得 : 又 AF1 ? AF2 ? 2 ? 3 ? 6

AF1 AF2

?

F1M MF2

?

8 ?2 4

? AF2 ? 6

8.(2011 年高考北京卷理科 14)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F?2(1,0)的 距离的积等于常数 a (a ? 1) 的点的轨迹.给出下列三个结论:
2

① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是 【答案】②③ 9. (2011 年高考上海卷理科 3)设 m 为常数, 若点 F (0,5) 是双曲线 则m ? 【答案】16 三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 22)(本小题满分 14 分) 已知动直线 l 与椭圆 C: 。

1 2 a 。 2



y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点, m 9

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且△OPQ 的面 3 2

积 S ?OPQ =

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(Ⅰ)证明 x12 ? x2 2 和 y12 ? y2 2 均为定值; (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值;

(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ? DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

6 ?若存在,判断△ 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 m ? 0 ,将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 3 2

(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3(m 2 ? 2) ? 0 ,
其中 ? ? 36k m ? 12(2 ? 3k )( m ? 2) ? 0,
2 2 2 2

即 3k 2 ? 2 ? m 2 又 x1 ? x2 ? ?

????(*)

6km 3(m 2 ? 2) , x1 x2 ? , 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 2 2

所以 | PQ |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ? 因为点 O 到直线 l 的距离为 d ? 所以 S ?OPQ ?

2 6 3k 2 ? 2 ? m 2 , 2 ? 3k 2

|m| 1? k 2 ,

1 | PQ | ?d 2

?

1 2 6 3k 2 ? 2 ? m 2 |m| 1? k 2 ? ? 2 2 2 ? 3k 1? k 2

6 | m | 3k 2 ? 2 ? m 2 ? 2 ? 3k 2
又 S ?OPQ ?
2

6 , 2
2

整理得 3k ? 2 ? 2m , 且符合(*)式,

6km 2 3(m 2 ? 2) 此时 x ? x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (? ) ? 2? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2 1 2 2 2
2 y12 ? y2 ?

2 2 2 2 2 (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3

2 2 综上所述, x12 ? x2 ? 3; y12 ? y2 ? 2, 结论成立。

(II)解法一: (1)当直线 l 的斜率存在时, 由(I)知 | OM |?| x1 |?

6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2, 2

因此 | OM | ? | PQ |?

6 ? 2 ? 6. 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知

x1 ? x2 3k ? , 2 2m

y1 ? y2 x1 ? x2 3k 2 ?3k 2 ? 2m 2 ? ? k( )?m ? ? ?m? ? , 2 2 2m 2m m 2 2 x ?x y ? y2 2 9 k 1 6m ? 2 1 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 ) ? ? 2 ? ? (3 ? 2 ), 2 2 2 2 4m m 4m 2 m 2 2 2 24(3k ? 2 ? m ) 2(2m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ), 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
所以 | OM |2 ? | PQ |2 ?

1 1 1 ? (3 ? 2 ) ? 2 ? (2 ? 2 ) 2 m m

1 1 )(2 ? 2 ) 2 m m 1 1 3? 2 ? 2? 2 m m ) 2 ? 25 . ?( 2 4 ? (3 ?
所以 | OM | ? | PQ |?

5 1 1 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 2 时,等号成立. 2 m m

综合(1) (2)得|OM|·|PQ|的最大值为 . 解法二:

5 2

由(I)得
2 2 2 2 u 2 ? x12 ? 3, u 2 ? x2 ? 3, x12 ? x2 ? 3; v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ? 2,

3 2 2 ; v ? y12 ? y2 ? 1. 2 5 因此u , x1 , x2 只能从 ? 中选取, v, y1 , y2 只能从 ? 1中选取, 2
2 解得u 2 ? x12 ? x2 ?

因此 D,E,G 只能在 (?

6 , ?1) 这四点中选取三个不同点, 2

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与 S ?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ?

6 矛盾, 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. 2.(2011 年高考辽宁卷理科 20)(本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴 为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点 按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.

(I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由

解得 t ? ?

ab 2 1 ? e2 ? ? 2 ?a. a 2 ? b2 e

1 ? e2 2 因为 | t |? a ,又 0 ? e ? 1 ,所以 2 ? 1 ,解得 ? e ? 1. e 2

所以当 0 ? e ?

2 2 时, 不存在直线 l, 使得 BO//AN; 当 存在直线 l 使得 BO//AN. ? e ? 1 时, 2 2

2.(2011 年高考安徽卷理科 21)(本小题满分 13 分) 设 ? ? ? ,点 A 的坐标为(1,1) ,点 B 在抛物线 y ? x ? 上运动,点 Q 满足 BQ ? ? QA ,经 过 Q 点与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M ,点 P 满足 QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程。

uuu r

uur

uuur

uuu r

【命题意图】 :本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点轨迹方 程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养。 【解析】 QM ? ? MP 知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设 P ( x, y ) , :由

uuur

uuu r

Q( x, y? ) , M ( x, x ? ) ,则 x ? ? y? ? ? ( y ? x ? ) ,即
y? ? x ? ? ? ( y ? x ? ) ? (?? ? ) x ? ? ? y


再设 B ( x? , y? ) ,由 BQ ? ? QA ,即 ( x ? x? , y? ? y? ) ? ? (?? x,?? y? ) ,解得

uuu r

uur

? x? ? (?? ? ) x ? ? ? ? y? ? (?? ? ) y? ? ?
将①代入②式,消去 y? 得



? x? ? (?? ? ) x ? ? ? ? ? ? y? ? (?? ? ) x ? ? (?? ? ) y ? ?
?



又点 B 在抛物线 y ? x 上,所以 y? ? x?? ,再将③式代入得

(?? ? ) ? x ? ? ? (?? ? ) y ? ? ? [(?? ? ) x ? ? ]? ,即 (?? ? ) ? x ? ? ? (?? ? ) y ? ? ? (?? ? ) ? x ? ? ?? (?? ? ) x ? ? ? ,即
因为 ? ? ? , 等式两边同时约去 ? (?? ? ) ?? (?? ? ) x ? ? (?? ? ) y ? ? (? ??) ? ? ,



? x ? y ?? ? ?
这就是所求的点 P 的轨迹方程。

【解题指导】 :向量与解析几何相结合时,关键是找到表示向量的各点坐标,然后利用相关 点代入法或根与系数关系解决问题, 此外解析几何中的代数式计算量都是很大的, 计算时应 细致加耐心。 3. (2011 年高考全国新课标卷理科 20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

点评:此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的 应用等。要把握每一个环节的关键。 4. (2011 年高考天津卷理科 18)(本小题满分 13 分)

在平面直角坐标系 xOy 中, P (a, b) (a ? b ? 0) 为动点,F1 , F2 分别为椭圆 点 左右焦点.已知△ F1 PF2 为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率 e ;

x2 y 2 ? ? 1的 a 2 b2

(Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程.

???? ???? ? ?

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3 x ? 4 y ? 12c .直线 PF2 方程为
2 2 2

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 ? ,消去 y 并整理,得 y ? 3( x ? c) ,A,B 两点的坐标满足方程组 ? ? y ? 3( x ? c) ?
5 x 2 ? 8cx ? 0 ,解得

8c ? ? x2 ? 5 ? x1 ? 0 8c ? ? ,得方程组的解 ? ,? ,不妨设 x1 ? 0, x2 ? 5 3 3 ? y1 ? ? 3c ? ? y ? c ? 1 5 ?
A( 8c 3 3 , c) , B(0, ? 3c) , 5 5 ???? ?
???? ? 8c 3 3 ,y? c) , BM ? ( x, y ? 3c) .由 5 5

设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 AM ? ( x ?

y ? 3( x ? c) 得

c ? x?

???? ? 8 3 ???? ? 3 3 8y 3 3 y ,于是 AM ? ( y ? x, ? x), BM ? ( x, 3x) ,由 3 15 5 5 5

???? ???? ? ? AM ? BM ? ?2 ,即

(

8 3 3 8y 3 3 y ? x) x ? ( ? x) ? 3x ? ?2 ,化简得 18 x 2 ? 16 3 xy ? 15 ? 0 ,将 15 5 5 5

18 x 2 ? 15 y? 代入 16 3 x
c ? x?

10 x 2 ? 5 3 ? 0 ,所以 x ? 0 , y ,得 c ? 16 x 3

因此,点 M 的轨迹方程是 18 x 2 ? 16 3 xy ? 15 ? 0( x ? 0) . 5.(2011 年高考浙江卷理科 21) (本题满分 15 分) 已知抛物线 C1 : x ? y ,
2

圆 C2 : x ? ( y ? 4) ? 1 的圆心为点 M(Ⅰ)求点 M 到抛物线 c1 的准线的距
2 2

离; (Ⅱ)已知点 P 是抛物线 c1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 c2 的两条切 线,交抛物线 c1 于 A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求直线 l 的方程 【解析】 (Ⅰ)由 x ? y 得准线方程为 y ? ?
2

1 2 2 ,由 x ? ( y ? 4) ? 1 得 M (0, 4) ,点 M 到抛 4

物线 c1 的准线的距离为 4 ? (? ) ?

1 4

17 4

(Ⅱ) 设点 P ( x0 , x0 2 ) ,A( x1 , x12 ) ,B ( x2 , x2 2 ) 由题意得 x0 ? 0, x0 ? ?1, x1 ? x2 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y ? x0 2 ? k ( x ? x0 ) 即 y ? kx ? x0 2 ? kx0 ① 则

| kx0 ? 4 ? x0 2 | 1? k 2

?1

即 ( x0 2 ? 1) k 2 ? 2 x0 (4 ? x0 2 ) k ? ( x0 2 ? 4) 2 ? 1 ? 0 设 PA , PB 的斜率为 k1 , k2 ( k1 ? k2 )则

k1 , k2 是上述方
程的两个不相等的根, k1 ? k2 ?

2 x0 (4 ? x0 2 ) ( x 2 ? 4) 2 ? 1 2 , k1 ? k2 ? 0 2 将代入① y ? x 得 2 x0 ? 1 x0 ? 1

x 2 ? kx ? kx0 ? x0 2 ? 0 由于 x0 是方程的根故 x1 ? k1 ? x0 , x2 ? k2 ? x0 所以

k AB ?

2 x12 ? x2 ? x1 ? x2 , x1 ? x2

? k1 ? k2 ? 2 x0 ?

2 x0 (4 ? x0 2 ) x 2 ?4 由 MP ? AB 得 ? 2 x0 , kMP ? 0 x0 2 ? 1 x0

k AB ? k MP ? (

23 23 2 x0 (4 ? x0 2 ) x 2 ?4 23 , ) 点 P 的坐标为 (? ? 2 x0 ) ? ( 0 ) ? ?1 解得 x0 2 ? 2 5 5 x0 ? 1 x0 5
3 115 x ? 4. 115

直线 l 的方程为 y ? ?

6. (2011 年高考江西卷理科 20)(本小题满分 13 分)

P( x0 , y0 )( x0 ? ? a ) 是双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M,N 分别是双曲线 E 的 a 2 b2
1 . 5

左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 (1)求双曲线的离心率;

(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双 曲线上一点,满足 OC ? ? OA ? OB ,求 ? 的值.

????

??? ??? ? ?

所以 (? x1 ? x2 ) 2 ? 5(? y1 ? y2 ) 2 ? a 2 ,又 A、B 两点在双曲线上, 所以 ? 2 ( x12 ? 5 y12 ) ? ( x2 2 ? 5 y2 2 ) ? 2? x1 x2 ? 10? y1 y2 ? a 2 , 所以 ? ? a ? a ? 2? ?
2 2 2

5c 2 ? a 2 ? 10? ( x1 ? c)( x2 ? c) ? a 2 , 4



c2 6 ? ,所以 5? 2 ? 20? ? 0 ,所以 ? ? 0 或 ? ? ?4 . 2 a 5

7. (2011 年高考湖南卷理科 21) (本小题满分 13 分)如图 7,椭圆

C1 :

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , x 轴被曲线 2 2 a b

C 2 : y ? x 2 ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长.

?? ? 求 C1 , C 2 的方程; ??? ? 设 C 2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直线 l 与 C 2 相交于点 A , B ,直线 MA ,
MB 分别与 C1 相交于点 D , E .
(ⅰ)证明:

MD ? ME ;
S1 17 ? ?请说 S 2 32

(ⅱ)记 ?MAB , ?MDE 的面积分别为 S1 , S 2 ,问:是否存在直线 l ,使得 明理由.

解:

?? ? 由题意知 e ? c ?
a

3 ,从而 a ? 2b ,又 2b ? a ,解得 a ? 2, b ? 1 ,故 C1 , C 2 2

的方程分别为

x2 ? y2 ? 1, y ? x2 ?1 4

??? ? (ⅰ)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,
则直线 l 的方程为 y 由?

? kx

? y ? kx 2 得 x ? kx ? 1 ? 0 2 ?y ? x ?1

设A

?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? ,则 x1 , x2 是上述方程的两

个实根,于是

x1 ? x 2 ? k , x1 , x 2 ? ?1
又点 M

?0,?1? ,所以

k MA ? k MB ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ?kx1 ? 1??kx 2 ? 1? k 2 x1 x 2 ? k ?x1 ? x 2 ? ? 1 ? ? ? x1 x2 x1 x 2 x1 x 2

? k 2 ? k 2 ?1 ? ?1 ?1
故 MA ?

MB 即 MD ? ME

因此

? S1 1 ? 2 4 ? ? 4k1 ? 2 ? 17 ? ? S 2 64 ? k1 ? ? ? 1 ? 2 4 ? 4k1 ? 2 ? 17 ? ? 17 ,解得 k1 2 ? 4 或 k1 2 ? 1 ? 32 64 ? 4 k1 ? ?

由题意知,

k1 1 3 ? k1 ? , 所以 k ? ? 又由点 A, B 的坐标可知, k ? 1 k1 2 k1 ? k1
故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y

k1 ?
2

1
2

?

3 3 x和 y ? ? x 2 2

评析: 本大题主要考查抛物线、 椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、 椭圆的位置关系, 突出解析几何的基本思想和方法的考查:如数形结合思想、坐标化方法等.
2 2 8. (2011 年高考广东卷理科 19)设圆 C 与两圆 x+ 5) ? y 2 ? 4, x ? 5) ? y 2 ? 4 中的一 ( (

个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2)已知点 M ( 时点 P 的坐标. 【解析】 (1)解:设 C 的圆心的坐标为 ( x, y ) ,由题设条件知

3 5 4 5 且 , ),F 5,0), P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此 ( 5 5

| ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 4,
化简得 L 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)解:过 M,F 的直线 l 方程为 y ? ?2( x ? 5) ,将其代入 L 的方程得

15 x 2 ? 32 5 x ? 84 ? 0.
解得 x1 ?

6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5 , x2 ? , 故l与L交点为T1 ( ,? ), T2 ( , ). 5 15 5 5 15 15

因 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 内,故 | MT1 | ? | FT1 | ?| MF |? 2,

| MT2 | ? | FT2 | ?| MF |? 2. ,若 P 不在直线 MF 上,在 ?MFP 中有

| MP | ? | FP | ?| MF |? 2.
故 | MP | ? | FP | 只在 T1 点取得最大值 2。 9. (2011 年高考湖北卷理科 20)(本小题满分 13 分) 平面内与两定点 A1 (?a, 0), A2 (a, 0)(a ? 0) 连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹,加 上 A1、A2 两点所在所面的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 的位置关系; (Ⅱ)当 m=-1 时,对应的曲线为 C1:对给定的 m ? (?1, 0) ? (0, ??) ,对应的曲线为 C2, 设 F1、F2 是 C2 的两个焦点,试问:在 C1 上,是否存在点 N,使得△F1NF2 的面 积 S ? m a 2 ,若存在,求 tan F1 NF2 的值;若不存在,请说明理由.

x2 y2 ? 1 ,C 是焦点在 x 轴上的椭圆;当 当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为 2 ? a ?ma 2

m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,C 是焦点在 x 轴上的双曲线. a 2 ma 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 m ? ?1 时,C1 的方程为 x ? y ? a ;
2 2 2

当 m ? (?1, 0) ? (0, ??) 时, C2 的两个焦点分别为 F1 (? a 1 ? m , 0) , F2 (a 1 ? m , 0) . 对于给定的 m ? (?1, 0) ? (0, ??) ,C1 上存在点 N ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 使得

S ? m a 2 的充要条件是
? x0 2 ? y0 2 ? a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2 a 1 ? m y0 ? m a ?2 ① ②

由①得 0 ? y0 ? a ,由②得 y0 ?

ma 1? m



当0 ?

ma 1? m

? a ,即
2

1? 5 1? 5 时, ? m ? 0 ,或 0 ? m ? 2 2

存在点 N,使 S ? m a :



ma 1? m

? a ,即 ?1 ? m ?

1? 5 1? 5 ,或 m ? 时, 2 2

不存大满足条件的点 N.

?1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? , 0 ? ? ? 0, ? 时, ? ? 2 2 ? ? ? ? ???? ???? ? 由 NF1 ? (? a 1 ? m ? x0 , ? y0 ) , NF2 ? (a 1 ? m ? x0 , ? y0 ) ,
当m?? 可得 NF1 ? NF2 ? x0 ? (1 ? m)a ? y0 ? ? ma
2 2 2

???? ???? ?

2

令 NF1 ? r1 , NF2 ? r2 , ?F1 NF2 ? ? , 则由 NF1 ? NF2 ? r1r2 cos ? ? ?ma ,可得 r1r2 ? ?
2

????

???? ?

???? ???? ?

ma 2 , cos ?

1 ma 2 sin ? 1 ? ? ma 2 tan ? ,于是由 S ? m a 2 , 从而 S ? r1r2 sin ? ? ? 2 2 cos ? 2
可得 ?

2m 1 , ma 2 tan ? ? m a 2 ,即 tan ? ? ? m 2

综上可得: 当m??

?1 ? 5 ? 2 在 存在点 N, 使得 S ? m a , tan F1 NF2 ? 2 ; 且 , 0 ? 时, C1 上, ? 2 ? ?

当 m ? ? 0,

? 1? 5 ? 2 在 存在点 N, 使得 S ? m a , tan F1 NF2 ? ?2 ; 且 ? 时, C1 上, ? 2 ? ? ? ? ? 1? 5 ? ? 1? 5 , ?? ? 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N. ??? ? ? 2 ? ? 2 ?

当 m ? ? ?1,

10.(2011 年高考陕西卷理科 17)(本小题满分 12 分) 如图, P 是圆珠笔 x ? y ? 25 上的动点, D 是 P 在 x 设 点
2 2

轴上的投影,M 为 P D 上一点,且 MD ?

4 PD 5

(Ⅰ)当 P 的在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 长度。 【解析】(Ⅰ)设 M 的坐标为 ( x, y ), P , P 的坐标为 ( x p , y p ), :

4 的直线被 C 所截线段的 5

? x p ? x, x2 y 2 5 2 ? 2 ?1 由已知得 ? 5 ? P 在圆上,? x ? ( y ) ? 25, 即 C 的方程为 ? 25 16 4 ? y p ? 4 y, ?
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程为 y ? ( x ? 3) ,设直线与 C 的交点为 5 5

x 2 ( x ? 3) 2 4 ? 1, A( x, y ), B( x2 , y2 ) ,将直线方程 y ? ( x ? 3) 代入 C 的方程,得 ? 25 25 5
即 x 2 ? 3 x ? 8 ? 0 。? x1 ?

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

? 线段 AB 的长度为 AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ?

16 )( x1 ? x2 ) 2 25

?

41 41 ? 41 ? 25 5

注:求 AB 长度时,利用韦达定理或弦长公式求得正确结果,同样给分。 11.(2011 年高考重庆卷理科 20)(本小题满分 12 分,第一问 4 分,第二问 8 分)

如图(20) ,椭圆的中心为原点 O,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程。

2 ,一条准线的方程为 x ? 2 2 。 2

(Ⅱ)设动点 P 满足 OP ? OM ? 2ON ,其中 M,N 是椭圆上的点。直线 OM 与 ON 的斜率 之积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 。问:是否存在两个定点 F1、F2 ,使得 PF1 ? PF2 为定值。若存在,求 F1、F2 2

的坐标;若不存在,说明理由。

a 2 a2 解析: (Ⅰ)由 e ? ? , ? 2 2 ,解得 a ? 2, c ? 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 , c 2 c
故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

(Ⅱ)设 P ? x, y ? , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则由 OP ? OM ? 2ON 得

??? ?

???? ?

????

? x, y ? ? ? x1 , y1 ? ? 2 ? x2 , y2 ? ,即 x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 ,
因为点 M,N 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,所以 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 2 ? 2 y2 2 ? 4 4 2

故 x 2 ? 2 y 2 ? x12 ? 4 x2 2 ? 4 x1 x2 ? 2 y12 ? 4 y2 2 ? 4 y1 y2

?

? ?

?

? ? x12 ? 2 y12 ? ? 4 ? x2 2 ? 2 y2 2 ? ? 4 ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ?

? 20 ? 4 ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ? ,
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题意知,

kOM ?kON =
2

y1 y2 1 =- ,因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 =0 , x1 x2 2
2

所以 x ? 2 y ? 20 , 所以 P 点是椭圆

?

x2 2 5

? ? ?
2

?

y2

2

? 1 上的点,设该椭圆的左右焦点为 F1、F2 ,则由椭圆的

10

定义, PF1 ? PF2 为定值,又因 c ? 为 F1 ? 10, 0 、F2

? 2 5 ? ? ? 10 ?
2

2

? 10 ,因此两焦点的坐标分别

?

?

?

10, 0

?

12.(2011 年高考四川卷理科 21) (本小题共 l2 分)

椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点, 并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.

3 2 时,求直线 l 的方程; 2 ??? ???? ? (II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值.
(I)当|CD | =

y2 解析:由已知可得椭圆方程为 ? x 2 ? 1 ,设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 0), k 为 l 的斜率. 2
2k ? ? y ? kx ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? k 2 ? ? 则 ? y2 ? (2 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? 0 ? ? 2 ? ? x ?1 ? x x ? ?1 ?2 ? 1 2 2 ? k2 ?
2 2

4 ? ? y1 ? y2 ? 2 ? k 2 ? ? 2 ? y y ? ?2k ? 2 ? 1 2 2 ? k2 ?

8k 2 ? 8 8k 4 ? 8k 2 9 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ? ? ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 , 2 2 2 2 (2 ? k ) (2 ? k ) 2

? l 的方程为 y ? ? 2 x ? 1 .
13.(2011 年高考全国卷理科 21)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴 2

上的焦点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q, 证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

??? ??? ??? ? ? ?

y2 ? 1得F (0,1) , l : y ? ? 2 x ? 1 , 【解析】 (Ⅰ)证明:由 x ? : 2
2

? y ? 1? 2x ? 得4 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 由? y2 2 ?1 ?x ? ? 2
设 A( x1 , y1 ), B ( x1 , y1 ), 则x1 ?

2 2 ? 8 ? 4 ? 4 ? (?1) 2? 4
2? 6 , 4

?

2 2 ? 8 ? 4 ? 4 ? (?1) 2? 6 , x2 ? ? 4 2? 4 2? 6 3 ?1 , ?1 ? 4 2

y1 ? ? 2 ?

y2 ? ? 2 ?

? ? ? 2? 6 1 ? 3 ??? ??? ??? ? OA ? OB ? OP ? 0. ?1 ? 4 2

? 2 yp2 2 2 12 ? x ? ?( x1 ? x2 ) ? ? ?? p , xp2 ? ? (? ) ? ? 1 故点 P 在 C 上 2 2 2 2 ? y ? ?( y ? y ) ? ?1 1 2 ? p
(Ⅱ)法一:点 P (?

2 2 , ?1) ,? P 关于点 O 的对称点为 Q,? Q( ,1) , 2 2

K AQ K AP

3 ?1 2 ) ?1 1 ? y1 ?1 ? y1 y ?1 2 ? ? ? ? ? ?1 ,即 ?PAQ ? 90? ,同理 1 2 2 2 2? 6 2 1 ? x1 ? ? x 1 x1 ? ( ) ? 2 2 2 4 2
2 1

(

K PB K BQ ? ?1 即 ?PBQ ? 90? ,? ?PAQ ? ?PBQ ? 180? A、P、B、Q 四点在同一圆上.
法二:由已知有 Q?

? 2 ? 2 ? ? 2 ,1? 则 PQ 的中垂线为: y ? ? 2 x 设 A 、 B 的中点为 D? x3 , y3 ? ? ?

? x1 ? x2 2 ? ? x3 ? ? 2 4 ? y1 ? y2 ? 2 x1 ? 1 ? ? 2 x1 ? 1 1 ?y ? ? ? 3 ? ∴? 2 2 2

?

? ?

?

∴ D? ?

? 2 1? , ? 则 AB 的中垂线为: y ? 2 x ? 1 ? 2 4 ? 4 2?
'

则 PQ 的中垂线与 AB 的中垂线的交点为 O ? ? ?

? ?

2 1? , ? ∴ | PO ' |?| QO ' |? 3 11 8 8? 8 ?

? 2? 1 ? ? | 2 ??? 2 1? ? 8 ? ? 8 ?1| 3 3 ? O ?? ? ? ? 8 , 8 ? 到直线 AB 的距离为 d ? ? ? ? 8 3
'

| AB |?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2
2 ' '

? 3 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ?
2

?

?

3 2 2

3 11 ? | AB | ? 2 ∴ | AO |?| BO |? ? 即 | AO ' |?| BO ' |?| PO ' |?| QO ' | ? ?d ? 8 ? 2 ?
∴ A 、 P 、 B 、 Q 四点在同一圆上。

14. (2011 年高考江苏卷 18)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, N 分别是椭圆 M、

x2 y2 ? ?1 4 2

的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; P (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB B 【解析】 (1)因为 M (?2, 0) 、 N (0, 2) , M A N C x y

2 所以 MN 的中点坐标为(-1, ),又因为直线 PA 平分线段 MN, 2
所以 k 的值为 ?

2 . 2

? y ? 2x 2 4 2 4 ? (2)因为 k=2,所以直线 AP 的方程为 y ? 2 x ,由 ? x 2 y 2 得交点 P( , )、 ? , ? ), A( 3 3 3 3 ?1 ? ? ?4 2
因为 PC⊥x 轴,所以 C( 以

2 2 , 0 ),所以直线 AC 的斜率为 1,直线 AB 的方程为 y ? x ? ,所 3 3

2 4 2 | ? ? | 2 2 点 P 到直线 AB 的距离 d= 3 3 3 = . 3 2

15.(2011 年高考北京卷理科 19)(本小题共 14 分) 已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点(m,0)作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4

(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3 ,0), ( 3 ,0) 离心率为 e ?

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 2 2

3 3

当 m=-1 时,同理可得 | AB |?

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )( x 2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

8k 2 m 1 ? 4k 2
2

, x1 x 2 ?
2

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
| km | k ?1
2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
64k 4 m ? 4(4k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

? (1 ? k 2 )[ ? 4 3|m| . m2 ? 3

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 所以 | AB |?

3,

4 3|m| , m ? (??,?1] ? [1,??) . m2 ? 3
4 3|m| ? m2 ? 3 4 3 3 |m|? |m| ? 2,

因为 | AB |?

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. 16.(2011 年高考福建卷理科 17)(本小题满分 13 分) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程;

(II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x =4y 是否相切?说明
2

理由。 解析:本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程 思想、数形结 合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。 解法一: (I)依题意,点 P 的坐标为(0,m) 因为 MP ? l ,所以

0?m ?1 ? ?1 , 2?0

解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2) 从而圆的半径

r ?| MP |? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2,
故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.
2 2

(II)因为直线 l 的方程为 y ? x ? m,

(I)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为 ( x ? 2) ? y ? r .
2 2

?

依题意,所求圆与直线 l : x ? y ? m ? 0 相切于点 P(0,m) ,

?4 ? m 2 ? r 2 , ? 则 ?| 2 ? 0 ? m | ? r, ? 2 ?
解得 ?

?m ? 2, ? ?r ? 2 2. ?
2 2

所以所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8. (II)同解法一。

解:⑴ 设 Q ( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则

5 9 | PQ |? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 4) 2 ? 2( x ? ) 2 ? (3 ? x ? 5) ,当 x ? 3 时, 2 2

d ( P, l ) ?| PQ |min ? 5 。
⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标 系,

则 A(?1, 0), B (1, 0) ,点集 D 由如下曲线围成

y 1 A -1 B 1

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1) ,
C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。 ⑶ ① 选择 A(1,3), B (1, 0), C ( ?1,3), D( ?1, 0) , ? ? {( x, y ) | x ? 0}

O -1

x

② 选择 A(1,3), B (1, 0), C ( ?1,3), D( ?1, ?2) 。

? ? {( x, y ) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y ) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ? {( x, y ) | x ? y ? 1 ? 0, x ? 1}

③ 选择 A(0,1), B(0, 0), C (0, 0), D(2, 0) 。

? ? {( x, y ) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y ) | y ? x, 0 ? x ? 1}

?{( x, y ) | x 2 ? 2 y ? 1,1 ? x ? 2} ? {( x, y ) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y C 3 A

y C 3 A
y 2.5

B

D -1 O

B 1 x

-1

O

1

x

A D B=C 1 2 x

D

-2

2010 年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线

(2010 浙江理数) (8)设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若 a 2 b2

在双曲线右支上存在点 P ,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴 长,则该双曲线的渐近线方程为 (A) 3 x ? 4 y ? 0 (B) 3 x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (D) 5 x ? 4 y ? 0 解析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等量关系, 可知答案选 C,本题主要考察三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察,属中档题

x2 y 2 3 (2010 全国卷 2 理数) (12)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a>b>0) 的离心率为 ,过右焦 a b 2
点 F 且斜率为 k (k>0) 的直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

(2010 辽宁理数) (9)设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

(2010 辽宁理数)(7)设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为 垂足.如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|= (A) 4 3 (B)8 (C) 8 3 (D) 16

2

【答案】B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系, 考查了等价转化的思想。 【解析】抛物线的焦点 F(2,0) ,直线 AF 的方程为 y ? ? 3( x ? 2) ,所以点 A(?2, 4 3) 、

P(6, 4 3) ,从而|PF|=6+2=8

(2010 重庆理数) (10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平 行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 解析:排除法 轨迹是轴对称图形,排除 A、C,轨迹与已知直线不能有交点,排除 B (2010 四川理数) (9)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 a 2 b2
? 1?

A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是
(A) ? 0, ?
? ? 2? ? 2 ?

(B) ? 0, ? ? 2?

(C) ? 2 ?1,1? ?

(D) ? ,1?

?1 ? ?2 ?

解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等

而|FA|=

a2 b2 ?c ? c c

|PF|∈[a-c,a+c] 于是

b2 ∈[a-c,a+c] c
2 2 2

即 ac-c ≤b ≤ac+c ∴?

?ac ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 2 2 ?a ? c ? ac ? c ?

?c ?a ?1 ? ?? ? c ? ?1或 c ? 1 ?a a 2 ?
又 e∈(0,1) 故 e∈ ? ,1? 答案:D
?1 ? ?2 ?

(2010 天津理数)(5)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x , a 2 b2

它的一个焦点在抛物线 y ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为
2

(A)

x2 y 2 ? ?1 36 108

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 27

x2 y 2 (C) ? ?1 108 36
【答案】B

x2 y 2 (D) ? ?1 27 9

【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属于容易题。

?b ?a ? 3 ? x2 y 2 ? a 2 ? 9, b 2 ? 27 ,所以双曲线的方程为 ? ?1 依题意知 ?c ? 6 9 27 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质,这部 分内容也是高考的热点内容之一,在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。

(2010 全国卷 1 理数)(9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,
2 2

∠ F1 P F2 = 600 ,则 P 到 x 轴的距离为

(A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

(2010 山东理数)(7)由曲线 y= x 2 ,y= x 3 围成的封闭图形面积为 (A)

1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

7 12

【答案】A
1 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 ?(x 2 -x 3 )dx= 0

1 1 1 ?1- ?1= ,故选 A。 3 4 12

【命题意图】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积。

(2010 安徽理数)5、双曲线方程为 x ? 2 y ? 1 ,则它的右焦点坐标为
2 2

A、 ? 5.C

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3, 0

?

【解析】双曲线的 a 2 ? 1, b 2 ?

? 6 ? 6 1 3 , c2 ? , c ? ,所以右焦点为 ? . ? 2 ,0? ? 2 2 2 ? ?

【 误区 警示】 本题 考查双 曲线 的交点 ,把双 曲线 方程 先转化 为标准 方程 ,然 后利用 很多学生会误认为 b 2 ? 1 或 c 2 ? a 2 ? b 2 求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式,

b 2 ? 2 ,从而得出错误结论.
(2010 湖北理数)9.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是
2

A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

? ?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?

9. 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3) 2 ? 4(1 ? y ? 3) ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) 到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 ,因为是下半圆故可得 ,当直线过(0,3)时,解得 b=3,故 1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正 b ? 1 ? 2 2 (舍) 确.

(2010 福建理数)

A. ①④ B. ②③ C.②④ 【答案】C 【解析】经分析容易得出②④正确,故选 C。 【命题意图】本题属新题型,考查函数的相关知识。

D.③④

x2 2 (2010 福建理数) 若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线 2 ? y ? 1(a>0) 的中心和左焦点, 7. a
点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 (

??? ??? ? ?

)

A. [3-2 3, ??) 【答案】B

B. [3 ? 2 3, ??)

C. [- , ??)

7 4

D. [ , ??)

7 4

【解析】因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a 2 ? 1 ? 4 ,即 a 2 ? 3 ,所以双曲线方

程 为

x2 x2 ? y 2 ? 1 , 设 点 P ( x0 , y0 ) , 则 有 0 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) , 解 得 3 3
, 因 为

x0 2 y0 ? ? 1( x0 ? 3) 3
2

??? ? ??? ? FP ? ( x0 ? 2, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) , 所 以

??? ??? ? ? x2 4x 2 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 2) ? y0 2 = x0 ( x0 ? 2) ? 0 ? 1 ? 0 ? 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物 3 3 ??? ??? ? ? 3 线 的 对 称 轴 为 x0 ? ? , 因 为 x0 ? 3 , 所 以 当 x0 ? 3 时 , OP ? FP 取 得 最 小 值 4 ??? ??? ? ? 4 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 ,故 OP ? FP 的取值范围是 [3 ? 2 3, ??) ,选 B。 3
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运 算能力。

(2010 福建理数) 以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( 2.
2

)
2

A. x +y +2x=0

2

2

B. x +y +x=0

2

2

C. x +y -x=0

2

2

D. x +y -2x=0

2

【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0) ,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以 圆的半径为 r=1 ,故所求圆的方程为 x-1) +y =1 ,即 x -2x+y =0 ,选 D。 (
2 2 2 2

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。

(2010 浙江理数) (13)设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点
2

(2010 全国卷 2 理数) (15)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1, 0) 且斜率 为 3 的直线与 l 相交于点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ?

???? ?

????



(2010 重庆理数)(14)已知以 F 为焦点的抛物线 y ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,
2

??? ?

??? ?

则弦 AB 的中点到准线的距离为___________. 解析:设 BF=m,由抛物线的定义知

AA1 ? 3m, BB1 ? m

? ?ABC 中,AC=2m,AB=4m, k AB ? 3
直线 AB 方程为 y ?

3 ( x ? 1)

与抛物线方程联立消 y 得 3 x 2 ? 10 x ? 3 ? 0

所以 AB 中点到准线距离为

x1 ? x 2 5 8 ?1 ? ?1 ? 2 3 3

x2 y 2 ?2 ? 2 (2010 北京理数) (13)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 ? ? 1的 a b 25 9
焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 答案: ?4 ,0) ( ;渐近线方程为 。

3x ? y ? 0

(2010 全国卷 1 理数)

3.(2010 江苏卷)6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 坐标是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横 4 12

MF 4 ? e ? ? 2 , d 为点 M 到右准线 x ? 1 的距离, d =2,MF=4。 d 2

2010 年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线

(2010 浙江理数)(21) (本题满分 15 分)已知 m>1,直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 ,椭圆 2

x2 C : 2 ? y 2 ? 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. m
(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,V AF1 F2 ,VBF1 F2 的 重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数

m 的取值范围.
解析:本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 (Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ?

m2 m2 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) ,所以 m 2 ? 1 ? , 2 2

得 m2 ? 2 ,

则由 ? ? m ? 8(
2

m2 ? 1) ? ? m 2 ? 8 ? 0 ,知 m 2 ? 8 , 4

m m2 1 且有 y1 ? y2 ? ? , y1 ?y2 ? ? 。 2 8 2
由于 F1 (?c, 0), F2 (c, 0), , 故 O 为 F1 F2 的中点, 由 AG ? 2GO, BH ? 2 HO , 可知 G (
2

????

???? ????

????

x1 y1 x y , ), h( 2 , 1 ), 3 3 3 3

GH ?

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 9
x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 6 6

设 M 是 GH 的中点,则 M ( 由题意可知 2 MO ? GH ,

即 4[(

x1 ? x2 2 y ? y2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ) ?( 1 ) ]? ? 6 6 9 9

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 m2 )(my2 ? ) ? y1 y2 2 2

m2 1 ? (m 2 ? 1 ( ) ? ) 8 2
所以

m2 1 ? ?0 8 2

即 m2 ? 4 又因为 m ? 1 且 ? ? 0 所以 1 ? m ? 2 。 所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。

(2010 全国卷 2 理数) (21) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 a 2 b2

BD 的中点为 M ?1,3? .
(Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与

x 轴相切.

(2010 江西理数)21. (本小题满分 12 分)

设椭圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) C : x 2 ? by ? b 2 。 a 2 b2 ,抛物线 2

(1) 若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; (2) 设 A(0,b) Q ? 3 3, ? ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN 的 ,

? ?

5? 4?

垂心为 B ? 0, b ? ,且△QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: c 2 ? b 2 ,由

? ?

3 ? 4 ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2c 2 , 有

c2 1 2 。 ? ?e? 2 a 2 2

(2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 , 设

M (? x1 , y1 ), N ( x1 , y1 )( x1 ? 0) ,由 ?AMN 的垂心为 B,有
???? ???? ? 3 BM ? AN ? 0 ? ? x12 ? ( y1 ? b)( y1 ? b) ? 0 。 4
由点 N ( x1 , y1 ) 在抛物线上, x12 ? by1 ? b 2 ,解得: y1 ? ? 或y1 ? b(舍去)

b 4

故 x1 ?

5 5 b 5 b b b, M ( ? b, ? ), N ( b, ? ) ,得 ?QMN 重心坐标 ( 3, ) . 2 2 4 2 4 4

由重心在抛物线上得:3 ?

b2 1 1 又因为 M、 ? b 2 , 所以b=2 ,M (? 5, ? ), N ( 5, ? ) , 4 2 2

N 在椭圆上得: a 2 ?

x2 y 2 16 ,椭圆方程为 ? ? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 2 y ? 4 。 16 4 3
3

(2010 重庆理数) (20) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 已知以原点 O 为中心, F (I)

?

5, 0 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e ?

?

5 。 2

求双曲线 C 的标准方程及其渐近 线方程; 如题 (20) 已知过点 M ? x1 , y1 ? 图, 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点

(II)

N ? x2 , y2 ?(其中 x2 ? x ) 的直线
l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双
曲线 C 上,直线 MN 与两条渐近线 分别交与 G、 两点, ?OGH 的 H 求 面积。

(2010 北京理数) (19) (本小题共 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。 (I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

1 3

y ?1 y ?1 1 ? ?? x ?1 x ?1 3

x 2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .
2 2

故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4( x ? ?1) (II) 解法一: 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) , M ,N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, y N ) . 点 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 ( x ? 1) , ( x ? 1) x0 ? 1 x0 ? 1

当 S? PAB

| x0 ? y0 | (3 ? x0 ) 2 ? S? PMN 时,得 | x0 ? y0 |? | x0 2 ? 1|

又 | x0 ? y0 |? 0 , 所以 (3 ? x0 ) 2 = | x0 2 ? 1| ,解得 | x0 ? 因为 x0 2 ? 3 y0 2 ? 4 ,所以 y0 ? ?

5 。 3

33 9 5 3 33 ). 9

故存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

解法二:若存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )

1 1 | PA |? PB | sin ?APB ? | PM |? PN | sin ?MPN . | | 2 2 因为 sin ?APB ? sin ?MPN ,
则 所以

| PA | | PN | ? | PM | | PB |
| x0 ? 1| | 3 ? x0 | ? | 3 ? x0 | | x ? 1|
5 3

所以

即 (3 ? x0 ) 2 ?| x0 2 ? 1| ,解得 x0 ? 因为 x0 2 ? 3 y0 2 ? 4 ,所以 y0 ? ?

33 9

故 存 在 点 P S 使 得 ? PAB 与 ? PMN 的 面 积 相 等 , 此 时 点 P 的 坐 标 为

5 33 ( ,? ). 3 9
(2010 四川理数) (20) (本小题满分 12 分) 已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它 到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力. 解:(1)设 P(x,y),则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 | x ?
1 2

1 | 2

化简得 x -

2

y2 =1(y≠0)????????????????????????4 分 3

(2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0) 与双曲线 x -
2 2 2

y2 =1 联立消去 y 得 3
2 2

(3-k) x +4k x-(4k +3)=0 2 由题意知 3-k ≠0 且△>0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),

? 4k 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? k ?3 则? 2 ? x x ? 4k ? 3 ? 1 2 k2 ?3 ?
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]
=k (
2

4 k 2 ? 3 8k 2 +4) ? k2 ?3 k2 ?3



?9k 2 k2 ?3

因为 x1、x2≠-1 所以直线 AB 的方程为 y=

y1 (x+1) x1 ? 1

因此 M 点的坐标为(

3 y1 1 ) , 2 2( x1 ? 1)

???? ? 3 y1 3 FM ? (? , ), 2 2( x1 ? 1)
同理可得 FN ? (?

????

3 y2 3 , ) 2 2( x2 ? 1) 3 2 9 y1 y2 2( x1 ? 1)( x2 ? 1)

因此 FM ?FN ? (? ) 2 ?

???? ???? ?

?81k 2 4 k2 ?3 = ? 2 4k ? 3 4k 2 9 4( 2 ? ? 1) k ?3 k2 ?3
=0 ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,起方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3)

AB 的方程为 y=x+1,因此 M 点的坐标为( , ), FM ? (? , )

3 3 ,? ) 2 2 ???? ???? ? 3 3 3 因此 FM ?FN ? (? ) 2 ? ? (? ) =0 2 2 2 ???? ???? ? 综上 FM ?FN =0,即 FM⊥FN
同理可得 FN ? (? 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F??????????????????12 分

????

1 3 2 2

???? ?

3 3 2 2

(2010 天津理数) (20) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 a b 2
为 4。 (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点

??? ??? ? ? Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA? ? 4 ,求 y0 的值 QB
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分 12 分

(1)解:由 e ? 由题意可知,

c 3 ,得 3a 2 ? 4c 2 ,再由 c 2 ? a 2 ? b 2 ,得 a ? 2b ? a 2

1 ? 2a ? 2b ? 4, 即ab ? 2 2

解方程组 ?

?a ? 2b 得 a=2,b=1 ? ab ? 2

x2 所以椭圆的方程为 ? y2 ? 1 4

设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (? 以下分两种情况:

8k 2 2k , ) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

QA ? (?2, ? y 0 ), QB ? (2, ? y0)由QA? = 4,得y0 = ? 2 2 QB
(2)当 K ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 Y ?

?

?

?

?

2k 1 8k 2 ? (x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

令 x=0,解得 y0 ?
?

6k 1 ? 4k 2
?

由 QA ? (?2, ? y 0 ), QB ? ( x1 , y1 ? y0)

QA? ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)= QB

?

?

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

=

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4 (1 ? 4k 2 ) 2
14 2 14 所以y0 = ? 7 5 2 14 5

整理得 7 k 2 ? 2, 故k ? ?

综上 y0 = ? 2 2或y0 = ?

(2010 广东理数) 21. (本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )是平面直角坐标系 xOy 上的两点,先定义由点 A 到点 B 的一种 折线距离 p(A,B)为 P ( A, B ) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .

当且仅当 ( x ? x1 )( x2 ? x) ? 0, ( y ? y1 )( y2 ? y ) ? 0 时等号成立,即 A, B, C 三点共线时 等号成立. (2)当点 C(x, y) 同时满足①P ( A, C ) +P (C , B ) = P ( A, B ) ,②P ( A, C ) = P (C , B ) 时,点 C 是线段 AB 的中点. x ?

x1 ? x2 y ? y2 x ? x2 y1 ? y2 ,即存在点 C ( 1 ,y? 1 , ) 满足条件。 2 2 2 2

(2010 广东理数)20. (本小题满分为 14 分) 一条双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上 2

不同的两个动点。 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 求 h 的值。
,

(2010 全国卷 1 理数) (21)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,
2

点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ??? ? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

(2010 山东理数) (21) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 2 a2 b2

点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, P 为 设 该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1 ·2 ? 1 ; k

CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不 (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ·
存在,请说明理由.

【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线 的位置关系, 是一道综合性的试题, 考查了学生综合运用知识解决问题的能力。 其中问题 (3) 是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,

(2010 湖南理数)19.(本小题满分 13 分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。 视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系(图 6)在直线 x=2 的右侧,考察范围为到点 B 的距离不超过 线 x=2 的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 4 5 km 区域。
6 5 5

km 区域;在直

(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; (Ⅱ)如图 6 所示,设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线) ,当冰川 融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 化
? 8 3 ? P2 ? 6? ? 3 ,? ? ?





P3(8,6)







( ?5 3 ,-1)P1

A(-4,0)

B (4, 0)

x

(2010 湖北理数)19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是

1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有

??? ??? ? ? FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

(2010 安徽理数)19、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 经过点 A ? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点

F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ?
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

1 。 2

(Ⅱ)求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两 点?

若存在,请找出;若不存在,说明理由。

(2010 江苏卷)18、 (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F。 9 5

设 过 点 T ( t, m ) 的 直 线 TA 、 TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) , 其 中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标 与 m 无关) 。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2) ? y ? [( x ? 3) ? y ] ? 4, 化简得 x ?
2 2
2 2 2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程, 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得:(2, ) N M 、( ,? ) 3 3 3 9 1 y?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3
(2) x1 ? 2, x 2 ? 将

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x?3 m ,即 y ? ? ( x ? 3) , m?0 9?3 12 y ?0 x ?3 m 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 ? m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

解得: M (

3(80 ? m 2 ) 40m 3(m 2 ? 20) 20m , )、 N( ,? )。 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m 2

20m 3(m 2 ? 20) x? 20 ? m 2 20 ? m 2 ? (方法一)当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: 2 40m 20m 3(80 ? m ) 3(m 2 ? 20) ? ? 80 ? m 2 20 ? m 2 80 ? m 2 20 ? m 2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m 2 3m 2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m 2 20 ? m 2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 k MD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m 2 ?1 80 ? m 2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m 2 10m ,得 k MD ? k ND ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 ? m ? 2 3m ? 60 40 ? m 2 ?1 20 ? m 2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。

(2010 福建理数)17. (本小题满分 13 分) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等 于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) ,且可知左焦点为 a 2 b2

2009 年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 1.(2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切, 2 a b
(B)2 (C) 5 (D)

则该双曲线的离心率等于( C )(A) 3

6

2.(2009 全国卷Ⅰ理)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l , 2
???? ?

线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | = (A).

??? ?

??? ?

2

(B). 2

(C). 3

(D). 3

解:过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB , 故 | BM |?

??? ?

??? ?

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? ? ?| AF |? 2 .故选 A 2 3 3 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该 a 2 b2 ??? 1 ??? ? ? 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 2
3.(2009 浙江理)过双曲线 ( ) A. 2 答案:C 【解析】对于 A ? a, 0 ? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C, B. 3 C. 5 D. 10

? a2 ab ? a2 ab B? , , C( ,? ) ? a ?b a ?b ? a?b a?b?







??? ? ? ??? ??? ? ? 2a 2b 2a 2b ??? ? ab ab ? BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? , ,因 2 AB ? BC ,? 4a 2 ? b 2 ,? e ? 5 . ? a ?b a ?b ? a?b a?b ?

6.(2009 北京理)点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 于 A, B
2

两点,且

【答案】A 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解,如图, 设 A ? m, n ? , P ? x, x ? 1? , 则 B ? 2 m ? x, 2 n ? x ? 2 ? , ∵ A, B在y ? x 上 ,
2

∴?

?

n ? m2
2

?2n ? x ? 1 ? (2m ? x)

(第 8 题解答图) 消去 n,整理得关于 x 的方程 x ? (4m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0
2 2

(1)

∵ ? ? (4m ? 1) ? 4(2m ? 1) ? 8m ? 8m ? 5 ? 0 恒成立,
2 2 2

∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A.

7.(2009 山东卷理)设双曲线 则双曲线的离心率为( A.

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点, 2 a b

). C.

5 4

B. 5

5 2

D. 5

b ? x2 y2 b ? y? x 【解析】:双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 ? a ,消去 y,得 a a b ? y ? x2 ? 1 ?
x2 ?
所以

b b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△= ( ) 2 ? 4 ? 0 , a a

c a 2 ? b2 b b ? 1 ? ( ) 2 ? 5 ,故选 D. ? 2,e ? ? a a a a

答案:D. 【命题立意】 :本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置 关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技 能.

x2 y 2 11. 2009 安徽卷理) ( 下列曲线中离心率为 6 的是 (A) ? ?1
2

2

4

x2 y 2 (B) ? ?1 4 2

(C)

x2 y 2 ? ?1 4 6

2 2 (D) x ? y ? 1 [解析]由 e ?

4

10

b2 3 b2 1 6 c2 3 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B a 2 a 2 a 2 2

15.(2009 江西卷理)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 a 2 b2

P , F2 为右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为
A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 答案:B 3

b2 3b 2 c 3 ? 【解析】因为 P (?c, ? ) ,再由 ?F1 PF2 ? 60 有 ,故选 B ? 2a, 从而可得 e ? ? a a a 3

17.(2009 湖北卷理)已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 2 2 4 b

y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是
A. K ? ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ?

? ?

1?

? ? , ?? ? ? ? ?2

?1

?

C. K ? ? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

【答案】A 【解析】易得准线方程是 x ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 ? b 2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x 2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A

2 19. (2009 全国卷Ⅱ理) 已知直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、B 两

点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ?

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

2 解: 设抛物线 C : y ? 8 x 的准线为 l : x ? ?2 直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 恒过定点 P ? ?2, 0 ? .

如 图 过 A、B 分

别 作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , 由 | FA |? 2 | FB | , 则

| AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |?
的 横 坐 标 为 1 , 故 点 B 的 坐 标 为

1 | AF | , ?| OB |?| BF | 点 B 2

(1, 2 2) ? k ?

2 2 ?0 2 2 , 故选 D ? 1 ? (?2) 3

20. ( 2009

全 国 卷 Ⅱ 理 ) 已 知 双 曲 线

x2 y 2 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且 a b
斜率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点, AF ? 4 FB , 若 则 C 的离心率为 A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

23.(2009 宁夏海南卷理)双曲线

x2 y2 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12
(C) 3 (D)1

(A) 2 3

(B)2

解析:双曲线

x2 y2 =1 的焦点(4,0)到渐近线 y ? 3 x 的距离为 d ? 4 12

3?4?0 2

?2 3,

选A 24.(2009 宁夏海南卷理)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与 抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____________. 解 析 : 抛 物 线 的 方 程 为

y2 ? 4x



? y12 ? 4 x1 ? A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, 2 ? ? y2 ? 4 x2 ?
2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ?

y1 ? y2 4 ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2

? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
答案:y=x

31.(2009 天津卷理)设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交 于 A,B 两点,与抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S ?BCF = S ?ACF

(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2

【考点定位】 本小题考查抛物线的性质、 三点共线的坐标关系, 和综合运算数学的能力, 中档题。 6

C

4

2

F: (0.51, 0.00)

A F

-5

5

10

x=-0.5
-2

B

-4

-6

32.(2009 四川卷理)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,其一条渐 2 b2

近线方程为 y ? x ,点 P ( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF1 ? PF2 = A. ?12 B. ?2 C .0 D. 4【考点定位】本小题考查双曲线

???? ???? ?

的渐近线方程、双曲线的定义,基础题。 (同文 8)

解析:由题知 b 2 ? 2 ,故 y 0 ? ? 3 ? 2 ? ?1, F1 ( ?2,0), F2 ( 2,0) , ∴ PF1 ? PF2 ? ( ?2 ?

3 ,?1) ? ( 2 ? 3 ,?1) ? 3 ? 4 ? 1 ? 0 ,故选择 C。
x2 y 2 ? ? 1 ,则左、右焦点坐标分别为 2 2

解析 2:根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程

???? ???? ? F1 (?2, 0), F2 (2, 0) ,再将点 P( 3, y0 ) 代入方程可求出 P( 3, ?1) ,则可得 PF1 ? PF2 ? 0 ,
故选 C。 33.(2009 四川卷理)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一
2

动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C.

11 5

D.

37 【考点定位】本小题考查抛物 16

线的定义、点到直线的距离,综合题。 解析:直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P
2

到抛物线的焦点 F (1,0) 的距离,故本题化为在抛物线 y ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点
2

F (1,0) 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 F (1,0) 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即

d min ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 A。 5
| 3 ?1 ? 0 ? 6 | 32 ? 42 ?2

解析 2:如下图,由题意可知 d ?

36.(2009 重庆卷理)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1 的位置关系为(
2 2

) D.相离

A.相切 【答案】B

B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

【解析】圆心 (0, 0) 为到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

1 2 ,而 ? 2 2

0?

2 ? 1 ,选 B。 2

37. 2009 重庆卷理) ( 已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ?

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? , 其中 m ? 0 。 ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ?


若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(

A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

【答案】B

y2 【解析】因为当 x ? (?1,1] 时,将函数化为方程 x ? 2 ? 1( y ? 0) ,实质上为一个半 m
2

椭圆,其图像如图所示,同时在坐标系中作出当 x ? (1,3] 得图像,再根据周期性作出函数其 它部分的图像,由图易知直线 y ? 椭圆 ( x ? 4) ?
2

x 与第二个 3

y2 ? 1( y ? 0) 相交,而与第三 m2
2

y2 个 半 椭 圆 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 无 公 共 点 m
时,方程恰有 5 个实数解,将 y ?

y2 x 2 代入 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 得 m 3

(9m 2 ? 1) x 2 ? 72m 2 x ? 135m 2 ? 0, 令 t ? 9m 2 (t ? 0)则(t ? 1) x 2 ? 8tx ? 15t ? 0
由 ? ? (8t ) 2 ? 4 ? 15t (t ? 1) ? 0, 得t ? 15,由9m 2 ? 15, 且m ? 0得m ?

15 3

同样由 y ?

y2 x 2 与第二个椭圆 ( x ? 8) ? 2 ? 1( y ? 0) 由 ? ? 0 可计算得 m ? 7 m 3
15 , 7) 3

综上知 m ? (

39.(2009 年上海卷理)过圆 C: ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于 (x
2 2

点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积满足 S? ? S ? ? S? ? S||| , 则 直线 AB 有( (A) 0 条 ) (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条

【答案】B

二、填空题 1.(2009 四川卷理)若⊙ O1 : x 2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m) 2 ? y 2 ? 20(m ? R ) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识,综合题。 解 析 : 由 题 知 O1 (0,0), O 2 ( m ,0) , 且

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO 2 , 所 以 有

m 2 ? ( 5 ) 2 ? ( 2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?

5 ? 20 ? 4。 5

3.(2009 天津卷理)若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长为
2 2 2 2

2 3,
则 a ? ___________。 【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系,基础题。 解 析 : 由 知 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 的 半 径 为
2 2

6 ? a2

, 由 图 可 知

6 ? a 2 ? ( ? a ? 1) 2 ? ( 3 ) 2 解之得 a ? 1

6. ( 2009 重 庆 卷 理 ) 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a 2 b2
sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值 sin PF2 F1 c

F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,若双曲线上存在一点 P 使
范围是 .

e 2 ? 2e ? 1 ? 0, 解得 ? 2 ? 1 ? e ? 2 ? 1,又e ? (1, ??) ,故椭圆的离心率 e ? (1, 2 ? 1)
解法 2 由解析 1 知 PF1 ?

c PF2 由双曲线的定义知 a

c 2a 2 , 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知 PF1 ? PF2 ? 2a则 PF2 ? PF2 ? 2a即PF2 ? a c?a PF2 ? c ? a, 则 2a 2 ? c ? a, 既c 2 ? 2ac ? a 2 ? 0, 所以 e 2 ? 2e ? 1 ? 0, 以下同解析 1. c?a

8.(2009 北京理)设 f ( x) 是偶函数,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1, 则该曲线在 (?1, f ( ?1)) 处的切线的斜率为_________. 【答案】 ?1 【解析】 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、 基本运算 的考查. 取 f ? x ? ? x ,如图,采用数形结合法,
2

易得该曲线在 (?1, f ( ?1)) 处的切线的斜率为 ?1 . 故应填 ?1 .

(第 11 题解答图)

9.(2009 北京理)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在 9 2

椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? _________;

?F1 PF2 的小大为__________.
【答案】 2, 120
?

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. ∵ a ? 9, b ? 3 ,
2 2

∴c ?

a 2 ? b2 ? 9 ? 2 ? 7 ,

∴ F1 F2 ? 2 7 , 又 PF1 ? 4, PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 , ∴ PF2 ? 2 , (第 12 题解答图)

又由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ?

22 ? 42 ? 2 7 2? 2? 4
?

?

?

2

1 ?? , 2

∴ ?F1 PF2 ? 120? ,故应填 2, 120 . 10. ( 2009 江 苏 卷 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , A1 , A2 , B1 , B2 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T,线 a 2 b2
段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。 .【解析】

直线 A1 B2 的方程为: 直线 B1 F 的方程为:

x y ? ? 1; ?a b

x y 2ac b(a ? c) ? ? 1 。二者联立解得: T ( , ), c ?b a?c a?c

x2 y 2 ac b(a ? c) 则M( , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, a b a ? c 2(a ? c)

c2 (a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e 2 ? 10e ? 3 ? 0 , (a ? c) 2 4(a ? c) 2
解得: e ? 2 7 ? 5

12.( 2 00 9 广 东 卷 理 ) 巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 【解析】 e ? .

3 , 2

x2 y2 3 , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 ? ? 1. 36 9 2

17.(2009 福建卷理)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45? 的直线交抛物线
2

于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p ? ________________ 【答案】 :2 解 析 : 由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 y ? x?

p , 联 立 有 2

? y 2 ? 2 px p2 p2 ? ?8? p ? 2。 ? x 2 ? 3 px ? ? 0 ,又 AB ? (1 ? 12 ) (3 p) 2 ? 4 ? ? p 4 4 y ? x? ? ? 2
18.(2009 辽宁卷理)以知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的 4 12


动点,则 PF ? PA 的最小值为

【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9

21.(2009 湖南卷理)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中, 有一 个内角为 60
o

,则双曲线 C 的离心率为

6 2

22.(2009 年上海卷理)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的两个焦点, P a2 b2

为椭圆 C 上一点,且 PF1 ? PF2 .若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 【答案】3

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 2 2 2 2 【解析】依题意,有 ?| PF1 | ? | PF2 |? 18 ,可得 4c +36=4a ,即 a -c =9,故有 b ? 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c
=3。

三、解答题

3. ( 2009 浙 江 理 ) 本 题 满 分 15 分 ) 已知椭圆 C1 : (

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1,0) ,过 C1 的焦点且 a 2 b2

垂直长轴的弦长为 1 . (I)求椭圆 C 的方程;
1

2 (II) 设点 P 在抛物线 C :y ? x ? h (h ? R) 上,C
2

2

在点 P 处的切线与 C 交于点 M , N .当
1

线段 AP 的中点与 MN 的中点的横 坐标相等时,求 h 的最小值.

?b ? 1 ?a ? 2 y2 ? 2 解析: (I)由题意得 ? b ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1 , 4 ?2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a
( II ) 不 妨 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P (t , t 2 ? h), 则 抛 物 线 C2 在 点 P 处 的 切 线 斜 率 为

y?

x ?t

? 2t , 直 线 MN 的 方 程 为 y ? 2tx ? t 2 ? h , 将 上 式 代 入 椭 圆 C1 的 方 程 中 , 得

6.(2009 北京理) (本小题共 14 分) 已知双曲线
3

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b
3 3

的离心率为

,右准线方程为 x ?

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; 2 2 ( Ⅱ ) 设 直 线 l 是 圆 O:x ? y ? 2 上 动 点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, 与双曲线 C 交于不 l 同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.

【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ?a ?
∴ b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 2

2 2 (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ? 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .

x0 ? x ? x0 ? , y0



? 2 y2 ?1 ?x ? 2 ? ?x x ? y y ? 2 0 ? 0



2 2 x0 ? y0 ? 2



? 3x

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 ,
2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 , 2 2 2 2 ∴ 3 x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 ? 0 ,

?

??

?

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

4 x0 8 ? 2x2 , x1 x2 ? 2 0 , 2 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4 ??? ??? ? ? OA ? OB ∵ cos ?AOB ? ??? ??? ,且 ? ? OA ? OB
则 x1 ? x2 ?

??? ??? ? ? 1 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , y0 ? x1 x2 ? 1 2 ? 4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 ?

2 2 2 2 x0 ? 8 ? 2 x0 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 3 x0 ? 4 2 ? x0 ? 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4 ? ? ?

??

2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? 2 ? 0. 2 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

∴ ?AOB 的大小为 90? . 【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1.
2 2 (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ? 2 得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

? 3x ? 3x
2 0

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0

① ②

2 ? 4 ? y 2 ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0

2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 , 2 ∴ 3 x0 ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

则 x1 x2 ?

2 8 ? 2 x0 2 x2 ? 8 , , y1 y2 ? 0 2 2 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4

∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ ?AOB 的大小为 90? .
2 2 2 2 2 (∵ x0 ? y0 ? 2 且 x0 y0 ? 0 , 0 ? x0 ? 2, 0 ? y0 ? 2 , ∴ 从而当 3 x0 ? 4 ? 0

??? ??? ? ?

时,方程①和方程②的判别式均大于零).

7.(2009 江苏卷) (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,

经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E

两点, ME=2DM, D 和 E 两点间的距 记 离为 f (m) ,求 f (m) 关于 m 的表达式。

【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运 算求解能力。满分 10 分。

8.(2009 山东卷理)(本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m 2 ? 4 ? 0
2 2 2 2 2 2

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

,

r?

m 1? k 2

, r2 ?

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 8 ,所求的圆为 x 2 ? y 2 ? ,此时 ? ,r ? 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8
2 6 2 6 或m ? ? ,而当切线的斜率不存在时切线为 3 3

圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 与椭圆 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 8 4 3 3 3 3 3 ??? ??? ? ? 8 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 3 ??? ??? ? ? E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .
x??

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

4km 2 2m 2 ? 8 8(8k 2 ? m 2 ? 4) ) ? 4? ? 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 ) 2
2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m 2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? 4 ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1

①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

因为 4k 2 ?

1 1 1 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? , 2 1 k 4k 2 ? 2 ? 4 8 k 32 32 1 所以 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 4k 2 ? 2 ? 4 k
所以

2 4 时取”=”. 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 2 3
4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 3 3 3 3

② 当 k ? 0 时, | AB |?

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

| AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭 圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有 关参数问题以及方程的根与系数关系.

10. ( 2009 江 苏 卷 ) 本 小 题 满 分 16 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 (

xoy

中,已知圆

C1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 4 .(1)若直
线 l 过点 A(4, 0) , 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 , 求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直 的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求所有满足条 件的点 P 的坐标。 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点 到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能 力。满分 16 分。 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0

由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1,

化简得: 24k 2 ? 7 k ? 0, k ? 0, or , k ? ? 求直线 l 的方程为: y

? 0或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径 定理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C 2 直线 l2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n) k ? m ? n ? 3, 或( m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2

12.( 2 00 9 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分) 已 知 曲 线 C : y ? x 与 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 交 于 两 点 A( x A , y A ) 和 B ( xB , yB ) , 且
2

x A ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)
为 D .设点 P ( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25 1 5 2 解: (1)联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ 的 2 2
(2)若曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

1 5 ?s ?t 1 5 2 2 中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? ,即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲 ,y ? 2 2 2 2
线 C 上,

5 1 11 ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和 2 2 8 1 1 5 11 点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? ,∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x 2 ? x ? 2 4 4 8 1 5 ( ? ? x ? ). 4 4 y
∴ 2y ? xB xA D

o

x

(2)曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ? 即圆 E : ( x ? a ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?

51 ?0, 25

49 7 ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 25 5 51 由图可知,当 0 ? a ? 2 时,曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ? ? 0 与点 D 有公共 25
51 ? 0 与点 D 有公共点,只需圆 25

点; 当 a ? 0 时,要使曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ? 心 E 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 ,得 ? ? a ? 0 ,则 a 的 5 5

最小值为 ?

7 2 . 5

13.(2009 安徽卷理) (本小题满分 13 分) 点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? , 0 ? ? ? . 直线 2 a b 2

l2 与直线 l1 :
为? .

x0 y0 x ? 2 y ? 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角 2 a b

(I)证明: 点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与直线 l1 的唯一交点; a 2 b2

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列. 解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列 等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。

b2 x2 y 2 x0 y0 2 解: (方法一)由 2 x ? 2 y ? 1 得 y ? 2 (a ? x0 x), 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 , (I) a y0 a b a b
得(

1 b 2 x0 2 2 2b 2 x0 b2 ? 4 2 ) x ? 2 x ? ( 2 ? 1) ? 0 . a 2 a y0 a y0 y0

将?

? x0 ? a cos ? 2 2 2 代入上式,得 x ? 2a cos ? ? x ? a cos ? ? 0, 从而 x ? a cos ? . y0 ? b sin ? ?

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ? x ? x0 ?a b 因此,方程组 ? 有唯一解 ? ,即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P. ? y ? y0 ? x0 x ? y0 y ? 1 ? a2 b2 ?
(方法二)显然 P 是椭圆与 l1 的交点, Q (a cos ?1 , b sin ?1 ), 0 ? ?1 ? 2? 是椭圆与 l1 的交点, 若 代入 l1 的方程

cos ? sin ? x? y ? 1 ,得 cos ? cos ?1 ? sin ? sin ?1 ? 1, a b

即 cos( ? ? ?1 ) ? 1, ? ? ?1 , 故 P 与 Q 重合。

(方法三)在第一象限内,由

x2 y 2 b 2 b 2 ? 2 ? 1 可得 y ? a ? x 2 , y0 ? a ? x0 2 , 2 a b a a
bx0 a a 2 ? x0 2 ?? b 2 x0 , a 2 y0
y

椭圆在点 P 处的切线斜率 k ? y?( x0 ) ? ?

切线方程为 y ? ?

b 2 x0 xx y y ( x ? x0 ) ? y0 , 即 02 ? 02 ? 1 。 2 a y0 a b
P

P2

因此, l1 就是椭圆在点 P 处的切线。 根据椭圆切线的性质,P 是椭圆与直线 l1 的唯一交点。 ( II ) tan ? ?

P 1 F1
O

A
F2

x

x b2 y0 b ? tan ? , l1 的 斜 率 为 ? 0 2 , l2 的 斜 率 为 y0 a x0 a

tan ? ?

y0 a 2 a ? tan ? , x0b 2 b
2

由此得 tan ? tan ? ? tan ? ? 0, tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列。

16.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1( b 为正常数)上任一点, F2 为双曲线的右焦点,过 8b 2 b 2

P 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P2 . 1
(1) 求线段 P P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 (2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点 Q x1 , y1)y1 ? 0) ,直线 QB,QD 分 ( ( 别交 y 轴于 M ,N 两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点.

(2) 在

x2 y2 ( 0),D 2b, , ( 0) ? ? 1 中令 y ? 0 得 x 2 ? 2b 2 ,则不妨设 B - 2b, 2b 2 25b 2

于 是 直 线 QB 的 方 程 为 : y ?

y1 x1 ? 2b

( x ? 2b) ,

直 线 QD 的 方 程

为: y ?

y1 x1 - 2b
2by1

( x- 2b) ,

( 则 M 0,

- 2by1 ),N 0, ( ) , x1 ? 2b x1 - 2b
2

( 则以 MN 为直径的圆的方程为: x ? y -

2by1 x1 ? 2b

)(y ?

2by1 x1 - 2b

) 0 , ?

令 y ? 0 得: x ?
2

2b 2 y12 x2 y2 2 2 ? 1 上,则 x12 ? 2b 2 ? ( ,而 Q x1 , y1) 在 2? y1 , 2 2 2 x1 ? 2b 2b 25b 25

于是 x ? ?5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 (?5b, 0), (5b, 0) .

18.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A ? a, 0 ?? a ? 0 ? 的直线与抛物线相交于 M、 N
2

两点,自 M、N 向直线 l : x ? ?a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记

p 时,求证: AM 1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM 1 、 ?AM 1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S 2 、 S3 ,是否存在 ? ,

2 使得对任意的 a ? 0 ,都有 S 2 ? ? S1S 2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

20 题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运 用数学知识进行推理运算的能力。 (14 分) 解:依题意,可设直线 MN 的方程为 x ? my ? a, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则有

p p p 时,点 A( , 0) 即为抛物线的焦点, l 为其准线 x ? ? 2 2 2 P P 此时 M 1 (? , y1 ), N1 ( ? , y2 ), 并由 ①可得 y1 y2 ? ? p 2 2 2 uuuu v uuuv 证法 1: Q AM 1 ? (? p, y1 ), AN1 ? (? p, y2 )
(Ⅰ)如图 1,当 a ?

uuuu uuuv v ? AM 1 ? AN1 ? p 2 ? y1 y2 ? p 2 ? p 2 ? 0, 即AM 1 ? AN1
Q K AM1 ? ? y1 y , K AN1 ? ? 2 , p p

证法 2:

? K AM1 ? K AN1 ?

y1 y2 p2 ? ? 2 ? ?1, 即AM 1 ? AN1 . p2 p

2 (Ⅱ)存在 ? ? 4 ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S 2 ? 4 S1S3 成立,证明如下:

证法 1:记直线 l 与 x 轴的交点为 A1 ,则 OA ? OA1 ? a 。于是有

1 1 S1 ? ? MM 1 ? A1M 1 ? (x1 ? a ) y1 2 2 1 S 2 ? ? M 1 N1 ? AA1 ? a y1 ? y2 2 1 1 S3 ? ? NN1 ? A1 N1 ? (x2 ? a ) y2 2 2
2 ? S 2 ? 4 S1S3 ? (a y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? a ) y1 ? ( x2 ? a ) y2

? a 2 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a 2 ] y1 y2
将①、②、③代入上式化简可得

a 2 (4m 2 p 2 ? 8ap ) ? 2ap(2am 2 p ? 4a 2 ) ? 4a 2 p (m 2 p ? 2a )
2 上式恒成立,即对任意 a ? 0, S 2 ? 4 S1S3 成立

证法 2:如图 2,连接 MN1 , NM 1 ,则由 y1 y2 ? ?2ap, y12 ? 2 px1 可得

K OM ?

y1 2 p 2 py2 2 py2 y ? ? ? ? 2 ? K ON1 ,所以直线 MN1 经过原点 O, x1 y1 y1 y2 ?2ap ?a

同理可证直线 NM 1 也经过原点 O 又 OA ? OA1 ? a 设 M 1 A1 ? h1 , N1 A1 ? h2 , MM 1 ? d1 , NN1 ? d 2 , 则

S1 ?

1 1 1 d1h1 , S 2 ? ? 2a (h1 ? h2 ) ? a (h1 ? h2 ), S3 ? d 2 h2 . 2 2 2

20.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3
2 2

于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求 a , b 的值;

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解:(I)设 F (c, 0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为

??? ?

??? ??? ? ?

2 2



|0?0?c| 2 c 3 ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ? ,? a ? 3, b ? 2 . a 3 2 2

(II)由(I)知椭圆的方程为 C :

x2 y 2 ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1 代入椭圆的方程中整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。
2 2

4m 4 ....① , y1 y2 ? ? , .... 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ??? ??? ??? ? ? ? .假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:
由韦达定理有: y1 ? y2 ? ? 点 P 的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P 在椭圆上,即

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1。 3 2

整理得 2 x12 ? 3 y12 ? 2 x2 2 ? 3 y2 2 ? 4 x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。 又 A、B 在椭圆上,即 2 x12 ? 3 y12 ? 6, 2 x2 2 ? 3 y2 2 ? 6 . 故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 ................ ................② 将 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? m 2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1 及①代入②解得 m 2 ?

1 2

? y1 ? y2 ?

4m 2 3 2 2 3 2 ? 2 ? ,即 P( , ? , x1 ? x2 = ? 或? ). 2 2m ? 3 2 2 2 2 2

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2

当m ? ?

评析:处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ,主要讲的是算理 和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一 个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。 有时候算理和算法并不是截然区分的。 例 如:三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几 部分来算?在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破 口和切入点。

22.(2009 福建卷理) (本小题满分 13 分) 已知 A,B 分别为曲线 C:

x2 2 + y =1(y ? 0,a>0)与 x 轴 a2

的左、右两个交点,直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直,S 为 l 上 异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 ? 的三等分点,试求出点 S AB 的坐标; (II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O,M,S 三 点共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。

? x2 2 ? ? y ?1 得(1 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 k 2 x ? a 4 k 2 ? a 2 ? 0 由 ? a2 ? y ? k ( x ? a) ?

设点 T ( xT , yT ),? xT ? (?a) ? 故 xT ? 亦即 T (

a2k 2 ? a2 , 1 ? a2k 2

a ? a2k 2 2ak ,从而 y T ? k ( xT ? a ) ? . 1 ? a2k 2 1 ? a2k 2

a ? a2k 2 2ak , ). 2 2 1 ? a k 1 ? a2k 2 ??? ? ?2a 2 k 2 2ak ? B(a,0),? BT ? (( , )) 2 2 1 ? a k 1 ? a2k 2

??? ? ?x ? a 由? 得 s (a, 2ak ),? OS ? (a, 2ak ). ? y ? k ( x ? a)

??? ??? ?2a 2 k 2 ? 4a 2 k 2 ? ? ? 0 即 ?2a 2 k 2 ? 4a 2 k 2 ? 0 由 BT ? OS ,可得 BT ? OS ? 1 ? a2k 2

? k ? 0, a ? 0,? a ? 2
经检验,当 a ? 2 时,O,M,S 三点共线. 故存在 a ? 2 ,使得 O,M,S 三点共线.

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故 SM ? BT . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 K>0,可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? a )
? x2 2 ? ? y ?1 得(1 ? a 2 b 2 ) x 2 ? 2a 2 k 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 ? 0 由 ? a2 ? y ? k ( x ? a) ?

设点 T ( xT , yT ) ,则有 xT ? (?a) ? 故 xT ?

a4k 2 ? a2 . 1 ? a2k 2

a ? a2k 2 2ak a ? a2k 2 2ak , 从而yT ? k ( xT ? a ) ? 亦即T ( ? ). 2 2 2 2 2 2 a?a k 1? a k 1 ? a k 1 ? a2k 2 yT 1 ? B(a, 0),? k BT ? ? ? 2 , 故k SM ? a 2 k xT ? a a k

?x ? a 由? 得S(a,2ak),所直线 SM 的方程为 y ? 2ak ? a 2 k ( x ? a ) ? y ? k ( x ? a)

O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 2ak ? a 2 k (?a) .

? a ? 0, K ? 0,? a ? 2
故存在 a ? 2 ,使得 O,M,S 三点共线.

24.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分)

已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 2

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
?????4 分

x2 y 2 所以椭圆方程为 ? ? 1。 4 3
(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

x2 y 2 3 ,代入 ? ? 1得 4 3 2

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k ) 2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2

???8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k ) 2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

y F ? y E ? k ( xF ? xE ) ? 2 k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
??12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

25.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点 的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

=λ ,求点 M

的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已 知得

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 , ? ?a ? c ? 7
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 16 7
OP OM
2 2

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ? ? ?4, 4? 。由已知

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 2 2 16( x ? y )

当0 ? ? ? 分。 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的 4

部分; 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆; 27.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 5 ,顶点到渐近线的 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? 2 a b 2

距离为

2 5 。 5

(I)求双曲线 C 的方程; (II)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一、 二象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面积的取值范围。 28. (本小题满分 14 分)

??? ?

??? ?

1 3

已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a 2 b2

离心率 e ?

5 2 5 , 顶点到渐近线的距离为 . 2 5

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第 一,二象限.若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2], 求△AOB 面积的取值范围. 解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点 (O, a ) 到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

??? ?

??? ?

1 3

2 5 , 5



ab a 2 ? b2

?

2 5 ab 2 5 ,即 ? , 5 c 5

? ab 2 5 ?a ? 2, , ? ? 5 ? ?c ?c ?b ? 1, 5 y2 ? , 由? ? 得 ∴双曲线 C 的方程为 ? x 2 ? 1. ? 2 4 ?a 2 2 2 ?c ? 5, ?c ? a ? b ? ? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?2 x. 设 A(m, 2m), B ( ?n, 2n), m ? 0, n ? 0. 由 AP ? ? PB 得 P 点的坐标为 (

??? ?

??? ?

m ? ? n 2(m ? ? n) , ), 1? ? 1? ?

将 P 点坐标代入

y2 (1 ? ? n) 2 ? x 2 ? 1, 化简得 mn ? . 4 4?

设∠AOB ? 2? ,? tan( 又

?

1 1 4 ? ? ) ? 2,? tan ? ? ,sin ? ? ,sin 2? ? . 2 2 2 5

? | OA |? 5m4 | OB |? 5n?

? S? AOB ?


1 1 1 | OA |? OB |? 2? ? 2mn ? (? ? ) ? 1. | sin 2 2 ?
1 1 1 (? ? ) ? 1, ? ? [ , 2], 2 ? 3

S (? ) ?

8 9 , S (2) ? , 3 4 1 8 当 ? ? 1 时,△AOB 的面积取得最小值 2,当 ? ? 时,△AOB 的面积取得最大值 ∴△AOB 3 3. 8 面积的取值范围是 [2, ]. 3
由 S '(? ) ? 0得? ? 1, 又S(1)=2,S( ) ? 解答二(Ⅰ)同解答一 (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 | k |? 2, m ? 0.

1 3

由{

y ? kx ? m y ? 2x y ? kx ? m y ? ?2 x

得 A 点的坐标为 (

m 2m , ), 2?k 2?k ? m 2m , ). 2?k 2?k

由{

得 B 点的坐标为 (

由 AP ? ? PB 得 P 点的坐标为 (

??? ?

??? ?

m 1 ? 2m 1 ? ( ? ), ( ? )), 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k

将 P 点坐标代入

y2 4m 2 (1 ? ? ) 2 ? x 2 ? 1得 ? . 4 4 ? k2 ?
1 1 1 | OQ |? XA | ? | OQ |? x8 |? m?( xA ? xB) | | 2 2 2

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m).

S? AOB ? S? AOQ ? S? BOQ ?
=

1 m m 1 4m 2 1 1 m( ? )? ? ? (? ? ) ? 1. 以下同解答一. 2 2 2?k 2?k 2 4?k 2 ?

33.(2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍 之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。

解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d ? 4 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 3︳x-2︳ 由题设 当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 6 ?

1 x, 2

化简得

x2 y 2 ? ? 1. 36 27

当 x ? 2 时 由①得 (3 ? x) 2 ? y 2 ? 3 ? x, 化简得 y ? 12 x
2

x2 y 2 ? ? 1 在直线 x=2 的右 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1 : 36 27
侧部分与抛物线 C2 : y 2 ? 12 x 在直线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点)所组成 的曲线,参见图 1 (Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C1 , C2 的交点都是 A(2, 2 6 ) , B(2, ?2 6 ) ,直线 AF,BF 的斜率分别为 k AF = ?2 6 , k BF = 2 6 . 当点 P 在 C1 上时,由②知

PF ? 6 ?

1 x. 2



当点 P 在 C2 上时,由③知

PF ? 3 ? x



若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k AF ,或 k≥ k BF ,即 k≤-2 N( x 2 , y 2 )都在 C ∣MF∣= 6 1 上,此时由④知

, 6 时,直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M( x1 , y1 )

1 x 2 2 1 1 1 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 x1 )+ (6 x 2 )=12 - ( x1 + x 2 ) 2 2 2
∣NF∣= 6 -

1 x1 2

? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ? 108 ? 0 则 x1 , y1 是这个方程的两根, ?1 ? ? ? 36 27
所以 x1 + x 2 =

24k 2 12k 2 1 *∣MN∣=12 ( x1 + x 2 )=12 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2

因为当 k ? 2 6, 或k ? 2 6时, k 2 ? 24,

MN ? 12 ?

12k 2 12 100 ? 12 ? ? . 2 1 3 ? 4k 11 ?4 k2

当且仅当 k ? ?2 6 时,等号成立。 (2) k AE ? k ? k AN , ?2 6 ? k ? 2 6 时, 当 直线 L 与轨迹 C 的两个交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 分 别 在 C1 , C2 上 , 不 妨 设 点 M 在 C1 上 , 点 C2 上 , 则 ④ ⑤ 知 ,

MF ? 6 ?

1 x1 , NF ? 3 ? x2 2

设直线 AF 与椭圆 C1 的另一交点为 E ( x0 , y0 ), 则x0 ? x1 , x2 ? 2.

MF ? 6 ?

1 1 x1 ? 6 ? x0 ? EF , NF ? 3 ? x2 ? 3 ? 2 ? AF 2 2

所以 MN ? MF ? NF ? EF ? AF ? AE 。而点 A,E 都在 C1 上,且

k AE ? ?2 6, 有(1)知 AE ?

100 100 , 所以 MN ? 11 11

若直线 ? 的斜率不存在,则 x1 = x2 =3,此时

1 100 MN ? 12 ? ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 2 11
综上所述,线段 MN 长度的最大值为

100 11

35.(2009 天津卷理) (本小题满分 14 分) 以知椭圆

x2 y 2 过点 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?c, 0)和F2 (c, 0)(c ? 0) , a 2 b2

E(

a2 , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A ? 2 F2 B 。 c

(1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线 AB 的斜率; (3) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H ( m, n)(m ? 0) 在

? AF1C 的外接圆上,求

n 的值 m

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分 14 分

由已知设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则它们的坐标满足方程组 ? 消去 y 整理,得 (2 ? 3k ) x ? 18k cx ? 27 k c ? 6c ? 0 .
2 2 2 2 2 2

? y ? k ( x ? 3c)
2 2 2 ? 2 x ? 3 y ? 6c

依题意, ? ? 48c 2 (1 ? 3k 2 ) ? 0,得 ?

3 3 ?k? 3 3



x1 ? x2 ?

18k 2 c 2 ? 3k 2



x1 x2 ?

27 k 2 c 2 ? 6c c 2 ? 3k 2



由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以

x1 ? 3c ? 2 x2



9k 2 c ? 2c 9k 2 c ? 2c 联立①③解得 x1 ? , x2 ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
将 x1 , x2 代入②中,解得 k ? ?

2 . 3
3c 2

(III)解法一:由(II)可知 x1 ? 0, x2 ? 当k ? ?

2 时,得 A(0, 2c) ,由已知得 C (0, ? 2c) . 3

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

2 2? c? c?? ? x ? ? 直线 l 与 x 轴 2 2 ? 2?

当k ?

2 n 2 2 时,同理可得 ? ? . 3 m 5
3c 2

解法二:由(II)可知 x1 ? 0, x2 ? 当k ? ?

2 时,得 A(0, 2c) ,由已知得 C (0, ? 2c) 3

由椭圆的对称性可知 B, F2 ,C 三点共线,因为点 H(m,n)在 ?AF1C 的外接圆上, 且 F1 A // F2 B ,所以四边形 AF1CH 为等腰梯形.

由直线 F2 B 的方程为 y ?

2( x ? c) ,知点 H 的坐标为 (m, 2m ? 2c) .

因为 AH ? CF1 ,所以 m 2 ? ( 2m ? 2c ? 2c) 2 ? a 2 ,解得 m=c(舍) ,或 m ? 则n ?

5 c. 3

2 2 n 2 2 . c ,所以 ? 3 m 5 2 n 2 2 时同理可得 ? ? 3 m 5

当k ?

36.(2009 四川卷理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ,右准线方程为 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? 2 a b 2

x ? 2。
(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且 F2 M ? F2 N ? 程。 本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理 运算能力。

????? ???? ?

2 26 ,求直线 l 的方 3

( 0) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1 (?1, 0) 、 F2 1, 。
若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1. 将 x=-1 代入椭圆方程得 y ? ?

2 。 2

不妨设 M (?1,

2 2 , ) 、 N ? 1, ( ? ) 2 2

uuuu uuuv v 2 2 ? F2 M ? F2 N ? (?2, ) ? (?2, ? ) ? (?4, 0) . 2 2 uuuu uuuv v ? F2 M ? F2 N ? 4 ,与题设矛盾。
? 直线 l 的斜率存在。
设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1) 。 设 M (x1,y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

联立

{

x2 ? y 2 ?1 2 y=k(x+1) ,消 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。
?4k 2 2k ,从而 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

由根与系数的关系知 x1 ? x2 ?

又? F2 M ? ( x1 ? 1, y1 ) , F2 N ? ( x2 ? 1, y2 ) ,

?????

???? ?

化简得 40k 4 ? 23k 2 ? 17 ? 0 解得 k 2 ? 1或者k 2 ? ?

17 40

? k ? ?1. ? 所求直线l的方程为y ? x ? 1或者y ? ? x ? 1

38.(2009 年上海卷理) (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小 题满分 8 分。

已知双曲线 c :

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2, 0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 2

(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

解: (1)双曲线 C 的渐近线 m :

x ? 2 y ? 0............2分 2

? 直线 l 的方程 x ? 2 y ? 3 2 ? 0 ??????..6 分
直线 l 与 m 的距离 d ?

3 2 ? 6 ???.8 分 1? 2

(2)设过原点且平行与 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2k 1? k 2

? kx0 ? y0 ? 3 2 ? ? 6, (1) 则? 1? k 2 ? ? x0 ? 2 y0 ? 2, (2)
由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 , 设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 当k ?
2

2 2 , t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ? 0????????????..13 分 2

将 y0 ? kx0 ? t

2 代入(2)得 (1 ? 2k 2 ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t 2 ? 1) ? 0

(*)

?k ?

2 , t ? 0,?1 ? 2k 2 ? 0, ?4kt ? 0, ?2(t 2 ? 1) ? 0 2

? 方程(*)不存在正根,即假设不成立
故在双曲线 C 的右支上不存在 Q,使之到直线 l 的距离为 6 ?????.16 分 40.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 上的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3), (0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x ? y ? 1 上的点, N 是点 M 在
2 2

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆 3 2

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA?BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的
轨迹方程;

(20)(本小题 12 分)

为 (?1, 0)

时上式取等号, MC ? MD 的最大值为 4 .

(II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B ( xB , yB )

所以

xQ xN ? yQ y N ? xN ? xQ ? 1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为

2 xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
2 2 xN ? y N ? 1 ,结合①,②得

2 2 xP ? y P ?

1 (( xQ ? xN ) 2 ? ( yQ ? y N ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ y N )) 4 1 ? (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) 4 3 ? ? xP 4

40.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 上的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3), (0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x ? y ? 1 上的点, N 是点 M 在
2 2

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆 3 2

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA?BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的
轨迹方程;

(20)(本小题 12 分)

为 (?1, 0)

时上式取等号, MC ? MD 的最大值为 4 .

(II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B ( xB , yB )

所以

xQ xN ? yQ y N ? xN ? xQ ? 1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为

2 xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
2 2 xN ? y N ? 1 ,结合①,②得

2 2 xP ? y P ?

1 (( xQ ? xN ) 2 ? ( yQ ? y N ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ y N )) 4 1 ? (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) 4 3 ? ? xP 4

40.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 上的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3), (0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x ? y ? 1 上的点, N 是点 M 在
2 2

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆 3 2

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA?BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的
轨迹方程;

(20)(本小题 12 分)

为 (?1, 0)

时上式取等号, MC ? MD 的最大值为 4 .

(II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B ( xB , yB )

所以

xQ xN ? yQ y N ? xN ? xQ ? 1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为

2 xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
2 2 xN ? y N ? 1 ,结合①,②得

2 2 xP ? y P ?

1 (( xQ ? xN ) 2 ? ( yQ ? y N ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ y N )) 4 1 ? (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) 4 3 ? ? xP 4

40.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 上的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3), (0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x ? y ? 1 上的点, N 是点 M 在
2 2

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆 3 2

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA?BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的
轨迹方程;

(20)(本小题 12 分)

为 (?1, 0)

时上式取等号, MC ? MD 的最大值为 4 .

(II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B ( xB , yB )

所以

xQ xN ? yQ y N ? xN ? xQ ? 1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为

2 xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
2 2 xN ? y N ? 1 ,结合①,②得

2 2 xP ? y P ?

1 (( xQ ? xN ) 2 ? ( yQ ? y N ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ y N )) 4 1 ? (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) 4 3 ? ? xP 4

40.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 上的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3), (0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x ? y ? 1 上的点, N 是点 M 在
2 2

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆 3 2

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA?BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的
轨迹方程;

(20)(本小题 12 分)

为 (?1, 0)

时上式取等号, MC ? MD 的最大值为 4 .

(II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B ( xB , yB )

所以

xQ xN ? yQ y N ? xN ? xQ ? 1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为

2 xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
2 2 xN ? y N ? 1 ,结合①,②得

2 2 xP ? y P ?

1 (( xQ ? xN ) 2 ? ( yQ ? y N ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ y N )) 4 1 ? (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) 4 3 ? ? xP 4


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