2017.01线代A班试卷A答案

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校
学 号
课程名称: 线性代数 A (答案) 试卷类型: A 考试形式: 闭卷 授课专业: 自动化等各专业 考试日期: 2017 年 1 月 13 日 试卷:共 3 页

C. ? 4 ? ?2?1 ? ? 2 ? ?3 2. [ D

D.矩阵 A 的列向量组线性无关

] 设 n 阶矩阵 A 的秩 r ? n ,则 A 的 n 个行向量中 B.任意 r 个行向量均线性无关 D.必有 r 个行向量线性无关

A.任意 r 个行向量均可构成一个最大无关组 C.任一行向量均可由其它 r 个行向量线性表示 3. [ D

班 级

题号 得分 阅卷人









总分

] 设 2 ? 3 矩阵 A 的秩 R( A) ? 2 ,则下列命题中错误的是
T

A.齐次方程 A x ? 0 只有零解

B.齐次方程 A Ax ? 0 必有非零解
T

C.对任意的 2 维向量 b ,方程 Ax ? b 必有无穷多解 D.对任意的 3 维向量 b ,方程 A x ? b 必有唯一解
T

一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)

姓 名


1. 已知 a1i a32 a4 j a25 a53 是 5 阶行列式中一个带负号的项,则 i ? 4 , j ? 1 . 2. 若 3 阶矩阵 A 的 3 个特征值分别为 ?1, ?1, 2 , A 是 A 的伴随矩阵,E 是 3 阶单位矩
? 阵,则 A ? 2 A ? E ?

4. [ B

] 下列结论正确的是 B.若方阵 A, B 相似,则 A, B 必等价 D.若方阵 A, B 相似,则特征向量相同

?

A.若方阵 A, B 相似,则 A, B 必合同 C.若方阵 A, B 等价,则特征值必相同

-2

.



装 订 线 内 不 要 答 题
线

a11 3. 设行列式 a21

a12 a12 ? 10 ,则 a22 a22 0

3a11 3a21 ?2

0 0 ? ?1
1 . 30 .

5. [ C

] 设 n 元实二次型 f ? xT Ax 为正定二次型,则下列结论不成立的是 B. A 也是正定矩阵 D. A ? 0
T

A.矩阵 A 的 n 个特征值均大于零 C.若矩阵 B 是正定阵,则 AB 也是正定阵

2 2 2 4. 二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? x1 ? x2 ? x3 ? 2x1x2 ? 2x1x3 ? 2x2 x3 的秩等于

? x1 ? x2 ? a1 ?x ? x ? a ? 2 3 2 5. 若方程组 ? 有解,则常数 a1 , a2 , a3 , a4 应满足关系式 a1 ? a3 ? a2 ? a4 . x ? x ? a 3 4 3 ? ? ? x4 ? x1 ? a4

三、计算题(共 25 分)

1 ?1 1 x ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 1.(7 分)计算行列式 的值. 1 x ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 1 ?1 x ?1 1 x ?1 1 ?1 1 x ?1 x ?1 x ? 1 ?1 1 ?1 x ? 1 ?1 解:原式 ? ?x x x ?1 1 ?1 1 x ?1 1 ?1 x ?1 1 ?1 1 ?1 1 ?1

二、选择题(每小题 4 分,共 20 分)
?1 1 1 3? ? ? 1. [ A ] 矩阵 A ? (?1 , ?2 , ?3 , ?4 ) 经过初等行变换化为 ? 0 1 1 2 ? ,其中 ?i 是 A ?0 0 1 1? ? ?
的第 i 列向量,则下列一定正确的是 A. ?4 ? ?1 ? ?2 ? ?3 B. ?4 ? 3?1 ? 2?2 ? ?3

………………(4 分)

第 1 页

共 3 页

学 号

1 ?1 0 0 ?x 0 x 0 0

1 x ?1 0 x ?x x ?x ? x x 0 ? x ? x4 . 0 ?x 0 0 ?x 0 ?x

………………(7 分)

? ?12 ?26 ?11 ? ? ? 11 3 ?. 过渡矩阵 P ? ? 6 ? 1 3 2 ? ? ?

………………(5 分)

2.(8 分)已知矩阵 A 的伴随矩阵 A? ? diag (1,1,1,8) ,且满足 ABA ? BA ? 3E ,求

?1

?1

班 级

B.
解:化简矩阵方程

?? 43 ? ? x1 ? ? x1 ? 13 19 ? ? ? ?? ? ? ?1 (2)设向量在前基和后基下的坐标分别是 ? x2 ? , ? x2 ? , P ? ? ?9 ?13 ?30 ? ? x ? ? x? ? ? 7 10 24 ? ? 3? ? 3? ? ? ?? 43 ? ? x1 ? ? x1 ? x1 ? ? 13 19 ? ?? ? ? ?? ? ?1 ? 则坐标变换公式为 ? x2 ? ? P ? x2 ? ? ? ?9 ?13 ?30 ? ? x2 ? . ? x? ? ? x ? ? 7 10 ? ? 24 ? ? 3? ? 3? ? ? ? x3 ?

………(10 分)

ABA ? BA ? 3E ? ( A ? E) BA ? 3E ? ( A ? E ) B ? 3 A
AA? ? A E ? A A? ? A
4

?1

?1

?1

?

A ?2

………………(4 分)

姓 名


四、综合题(共 35 分)
?1 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. (14 分)已知 ?1 ? ? 1 ? , ? 2 ? ? 1 ? ? ? , ? 3 ? ? 1 ? , ? ? ? ? ? ,问 ? 取何值时 ? 1 ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ??2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(1) ? 可由 ?1 , ? 2 , ? 3 线性表示,且表示式唯一; (8 分) (2) ? 可由 ?1 , ? 2 , ? 3 线性表示,表示式不唯一,并写出表示式; (4 分) (3) ? 不能由 ?1 , ? 2 , ? 3 线性表示. (2 分) 解: ? 由 ?1 , ? 2 , ? 3 线性表示,即解非齐次线性方程组 对增广矩阵进行初等行变换



1 ? A ? 2( A? )?1 ? 2diag (1,1,1,8)?1 ? diag (2, 2, 2, ) 4 3 4 ? A ? E ? diag (1,1,1, ? ) ? ( A ? E ) ?1 ? diag (1,1,1, ? ) ) 4 3 4 1 ?1 故 B ? 3( A ? E ) A ? 3diag (1,1,1, ? )diag (2, 2, 2, ) ? diag (6, 6, 6, ?1) . 3 4
………………(8 分) 3.(10 分)在三维向量空间 R 中,取两个基
3

装 订 线 内 不 要 答 题
线

?1? ? 2? ? 3? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 2 ? , ? 2 ? ? 3 ? , ? 3 ? ? ? 7? ?1? ? 3? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ?

? 3? ?5? ? 1? ? ? ? ? ? ? 和 ?1 ? ? 1 ? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 3 ? ? 1 ? ? 4? ?1? ? ?6 ? ? ? ? ? ? ?

?1x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 ? ?

(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵 P ; (5 分) (2) 求坐标变换公式. (5 分)

1 1 0? ?1 ? ? ? (?1 , ? 2 , ? 3 , ? ) ? ? 1 1 ? ? 1 ?? ? 2? ? 1 1 1 ? ? ? ? ?

?1 1 ? 1? ? ?2 ? ? ?? ?? (? ? 1) ? ?0 ? ? 0 0 ?? (? ? 3) ?? (? 2 ? 2? ? 1) ? ? ?
…………(5 分)

?1 2 3 ? ?3 5 1 ? ? ? ? ? ?1 解: (1)令 A ? ? 2 3 7 ? ,B ? ? 1 2 1 ? ,则 P ? A B ? 1 3 ?2 ? ? 4 1 ?6 ? ? ? ? ? ?1 2 3 3 5 1 ? ? ? ( A, B) ? ? 2 3 7 1 2 1 ? ? 1 3 ?2 4 1 ?6 ? ? ? ? 1 0 0 ?12 ?26 ?11 ? ? ? 11 3 ? ?0 1 0 6 ?0 0 1 1 3 2 ? ? ?

(1)当 ? ? 0 且 ? ? ?3 时, R(?1 , ?2 , ?3 ) ? R(?1, ?2 , ?3 , ? ) ? 3 , ? 可由 ?1 , ? 2 , ? 3 线性表示, 且表示式唯一. (2)当 ? ? 0 时, (?1 , ? 2 , ? 3 , ? ) …………(8 分)

?1 1 1 0? ? ? ? 0 0 0 0 ? , R(?1, ?2 , ?3 ) ? R(?1, ?2 , ?3 , ? ) ? 1, ?0 0 0 0? ? ?

第 2 页

共 3 页

学 号

? x1 ? ? ?1? ? ?1? ? ?c1 ? c2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 方程组有无穷多解,通解为 ? x2 ? ? c1 ? 1 ? ? c2 ? 0 ? ? ? c1 ? , ?x ? ?0? ?1? ? c ? 2 ? 3? ? ? ? ? ? ?
因此 ? 可由 ?1 , ? 2 , ? 3 线性表示,表示式为

对 ?2 ? 1 ,解方程组 ( A ? E ) x ? 0 ,得特征向量 单位化为 p2 ? (

?2 ? (1, ?1,1)T
…………………(9 分)

1 1 1 T ,? , ) 3 3 3

? ? ?(c1 ? c2 )?1 ? c1?2 ? c2?3

对 ?3 ? 4 ,解方程组 ( A ? 4 E ) x ? 0 ,得特征向量 …………(12 分) 单位化为 p3 ? (

?3 ? (1, 2,1)T
…………………(11 分)

班 级
(3)当 ? ? ?3 时, (?1 , ? 2 , ? 3 , ? )

? 1 1 ?2 9 ? ? ? ? 0 ?3 3 ?12 ? , R(?1, ?2 , ?3 ) ? 2 , ?0 0 0 6 ? ? ?
…………(14 分)

1 2 1 T , , ) 6 6 6

由于对应不同特征值的特征向量正交,故正交变换矩阵

姓 名


R(?1 , ?2 , ?3 , ? ) ? 3 , ? 不能由 ?1 , ? 2 , ?3 线性表示.

2 2 2 2. (14 分) 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x1 ? ax2 ? x3 ? 2bx1x2 ? 2x1x3 ? 2x2 x3 经过正交变 2 2 换 X ? PY 化为标准型 f ( y1 , y2 , y3 ) ? y2 . ? 4 y3

? 1 ? ? 2 ? P ? ( p1 , p2 , p3 ) ? ? 0 ? ? 1 ?? 2 ?

1 3 1 ? 3 1 3

1 ? ? 6? 2 ? ?. 6? 1 ? ? 6?
2 2

……………………(14 分)



(1)求 a , b 的值; (5 分) (2)求正交变换矩阵 P .(9 分)

3.(7 分)设 A, B 为 n 阶矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,且 A ? B ? E , A ? B ? 0 ,证明:矩阵

装 订 线 内 不 要 答 题
线

A ? B 不可逆.
证明:只要证 A ? B ? 0 即可.

? 1 b 1? ? ? 解: (1)二次型的矩阵为 A ? ? b a 1? ? 1 1 1? ? ?
由标准型知,矩阵 A 的特征值为 ?1 ? 0, ?2 ? 1, ?3 ? 4 ,根据特征值的性质有

A A ? B ? A( A ? B ) ? A2 ? AB

?1 ? a ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 1 b 1 ? ,得 a ? 3, b ? 1. ? A ? b a 1 ? 0 ? ? 1 1 1 ?
(2)对 ?1 ? 0 ,解方程组 ( A ? 0 E ) x ? 0 ,得特征向量 单位化为 p1 ? (

? E ? AB ? B 2 ? AB ? ( B ? A) B ? A ? B B
………………(5 分)

……………(5 分)

2 2 所以 A ? B ( A ? B ) ? 0 ,又由 A ? B ? 1 , A ? B ? 0 知, A ? B ? 0 ,

?1 ? (1,0, ?1)T
…………………(7 分)

故 A ? B ? 0 ,即 A ? B 不可逆.

……………(7 分)

1 1 T , 0, ? ) 2 2

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