[文数答案]炎德英才大联考2012长沙一中高三3次月考

炎德 · 英才大联考 长沙市一中 2 三) 0 1 2 届高三月考试卷 (
一、 选择题 题暋号 1 B

数学 ( 文科 ) 参考答案
2 A 3 B 4 B 5 A 6 C

7 A

8 D

2 2 2 2 n + n a + b + c 3 3 1 9. 暋暋1 0. 暋暋1 1. 1 6 毿 暋暋1 2. 暋暋1 3. 暋暋1 4. 3 6 3暋暋1 5. 暋暋1 6. 栚栜 2 2 3 2 4

二、 填空题
三、 解答题

答暋案

( ) 解: 1 7. 1 栙栚 位置的数据分别为 1 2、 0. 3. ………………………………………………………………… ( 3分) ( ) 第三 、 四、 五组参加考核人数分别为 3、 2 2、 1. ………………………………………………………… ( 6分) ( ) , { 设上述 6 人为 a, 其中第四 组 的 两 人 分 别 为 d, 则 从 6 人 中 任 取 2 人 的 所 有 情 形 为: 3 b, c, d, e, e) a b, f( 记“ 为事件 A, 则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种 . ……………… ( 2 人中至少有一名是第四组 暠 9分) 9 3 故 人中至少有一名是第四组的概率为 3 所以 P( A) = = , 2 . ………………………………… ( 1 2分) 1 5 5 5
2 2 2 ( 曕F( x) =f( x) 曚( x) +f x) =c o s x-s i n x+1+2 s i n x c o s x f

, 共有 1 a c, a d, a e, a b c, b d, b e, b c d, c e, c d e, d e 5 种 .………………………………………… ( 7分) f, f, f, f, f}

( ) 解: 1 8. 1 曔f 曚( x) =c o s x-s i n x, …………………………………………………………………………… ( 2分) ( =1+s i n 2 x+c o s 2 x=1+ 2 s i n 2 x+ 曕当2 x+ 毿) , ……………………………………………………………… ( 5分) 4

( ) , 2 曔f( x) =2 曚( x) 曕s i n x+c o s x=2 c o s x-2 s i n x, 曕c o s x=3 s i n x. ………………………………… ( 9分) f ( ) 解: 当点 E 为 B 1 9. 1 C 的中点时 , E F 与平面 P A C 平行 . 又E 而P F煠 平面 P A C, C灱 平面 P A C, ( 曕 t a n x毿) t a n x-1 1 = =- . ……………………………………………………………………… ( 1 2分) 4 1+ t a n x 2

毿 最小正周期为 T=2 =毿.………………………………………………………………………………… ( 6分) 2

毿 毿 毿 , 即 F( =2 k 毿 + 时, x= k 毿 + ( k暿Z) x) m a x =1+ 2, 4 2 8

……………………………………………… ( 曔 在 曶P B C 中, E、 F 分别为 B C、 P B 的中点 , 曕E F曃P C, 3分) 曕E F曃 平面 P A C.………………………………………………………………………………………… ( 6分) …………………………………………………………………………………………… ( 曕D O曂 面 P A C, 8分) …………………………………………………………… ( 曕曄D P O 是直线 PD 与平面 P A C 所成的角 . 9分) 3 易知 D …………………………………………………………………………………… ( O= , PD=2, 1 0分) 2

( ) 过点 D 作 D 垂足为 O, 2 O 曂A C, 曔P A曂 面 A B C D, D O灱 面 A B C D, 曕P O曂D O,

O D 3 ………………………………………………………………………………… ( 分 ) 曕s i n 曄D P O= = . 1 1 PD 4
3 曕PD 与面 P A C 的成角的正弦值为 . ……………………………………………………………… ( 1 2分) 4 炎德 · 英才大联考文科数学参考答案 ( 一中版 ) -1 暋

( ) , 解: 设等差数列 { 的公差为 d, 则a 解得 a 2 0. 1 a d=4, 3 a d=1 8, d=-2 ……………… ( 3分) n} 1 +2 1 +3 1 =8 ( S +S S S -( S S a d n+2 n+2 n+1 ) n+1 n) a n+2 n+1 ( ) 由 n 2 -S = = =-1<0 n+1 = 2 2 2 2 ( ) …………………………………………………………………………… ( 曕 a n-1 =-2 n+1 0. 5分) n =8-2

S +S n+2 得 n 故数列 { 条件满足 栙 . …………………………………………………………… ( <S S 9分) n+1 , n} 2
9 2 8 1 2 , 又S 则当 n=4 或 5 时 , n +9 n=- ( n- ) + ( n暿N* ) S 0, n =n 有最大值 2 2 4 即S 对炐 故数列 { 满足条件 栚 . 0, 烐M 暿R, n暿N+ , S S n 曑2 n 曑M 恒成立 . n}

1 ( ) 解: 过 S 作SH 曂R 2 1. 1 T 于H, S曶R SH ·R T. S T= 2

综上 , 数列 { 同时满足条件 栙栚 . …………………………………………………………………… ( S 1 3分) n} 由题意 , 曶R S T 在月牙形公园里 , R T 与圆 Q 只能相切或相离 ;

则有 R R T 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形 , T曑4, SH 曑2,

当且仅当 R 上面两个不等式中等号同时成立 . ……………………………………… ( T 切圆 Q 于 P 时 , 2分) 1 2 ( ) 此时 , 场地面积的最大值为 S曶R 暳4暳2=4 k m .……………………………………………… ( 5分) S T= 2

( ) 以 AD 为直径向左边作半圆 , 此半圆包含弓形 , 半圆的内 2 AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形 ,

AD 切圆 Q 于 P 时的情形 , ……………………………………………………………………………… ( 7分)
1 ( 设 曄B 则有 S四 边 形ABCD = 1 暳2暳2暳s P A= 毴, i n 毴暳2+ 暳2暳2暳s i n( 毿-2 毴) =4( s i n 毴+s i n 毴 c o s 毴) 0< 毴< 2 2
2 令 y=s 则y i n 毴+s i n 毴 c o s 毴, 曚=2 c o s 毴+c o s 毴-1.

接等腰梯形的面积的最大值不小于弓形内接等腰梯 形 的 面 积 的 最 大 值 , 要 求 场 地 面 积 的 最 大 值, 只需考虑

毿) . 2

1 毿 又 毿 时, 毿 毿 时, 毿 若y 函 数 y=s 曚=0, c o s 毴= , 毴= , 毴暿 ( 0, ) 曚>0, 毴暿 ( , ) 曚<0, i n 毴+s i n 毴 c o s 毴 在毴= y y 2 3 3 3 2 3 处取得极大值也是最大值 ,
2 ) 故毴= 毿 时 , 场地面积取得最大值为 3 3( k m .……………………………………………………… ( 1 3分) 3

( ) ] , ] 解: 由题意可得 : …………………………………… ( 2 2. 1 x) =c o s x, x暿 [ 0, 毿 x) =1, x暿 [ 0, 毿 . 2分) 1( 2( f f ( ) 2 x) = 1( f

{

) 1-x , x暿 [ -1, 0 ì ? ? ) …………………………………………………………………… ( 1, x暿 [ 0, 1 x) -f x) =í . 4分) 2( 1( f ?2 ] ? x, x暿 [ 1, 4
2 2 ) ) , 当 x暿 [ 时, -1, 0 1-x 曑 k( x+1 曕 k曒1-x, 曕 k曒2;

2 ) , ) 1, x暿 [ -1, 1 x x暿 [ -1, 0 , , ……………………………………………… ( x) = 2 3分) 2( f , [ , ] ] 0 x暿 0 4 x, x暿 [ 1, 4

{

炎德 · 英才大联考文科数学参考答案 ( 一中版 ) -2 暋

1 , ) ) , 当 x暿 [ 时, 0, 1 1曑 k( x+1 曕 k曒 曕 k曒1; x+1

2 x 1 6 2 ] ) , , 当 x暿 [ 时, 1, 4 x 曑 k( x+1 曕 k曒 曕 k曒 . x+1 5

1 6 综上所述 , k曒 . 5

2 ( ) ) , 令f 3 曚( x) =-3 x +6 x=-3 x( x-2 曚( x) =0 得 x=0 或 x=2. f

] 即存在 k=4, 使得 f( 是[ 上的 “ x) -1, 4 4 阶收缩函数 暠 . ……………………………………………… ( 6分) 函数 f( 的变化情况如下 : x)

x 曚( x) f x) f(

( ) -曓 , 0 炵

0 0 0

( ) 0, 2 + 炶

2 0 4

( 2, +曓 ) 炵

3 2 ( , ) 当b曑2 时 , 在[ 上单调递增 , 因此 , 枴) x) 0, b] x) =f( x) =-x +3 x x) =f( 0 =0. 2( 1( f( f f 3 2 , 因为 f( 是[ 上的 “ 二阶收缩函数 暠 所以 , x) =-x +3 x 0, b]

令 f( x) =0 得 x=0 或 x=3. …………………………………………………………………………… ( 8分)

( ) 对 x暿 [ 恒成立 ; 栙f x) -f x) 曑2 x-0 0, b] 2( 1(

, 使得 f 栚 存在 x暿 [ 0, b] x) -f x) >x-0 成立 .…………………………………………………… ( 9分) 2( 1(
3 2 3 2 恒成立 , 由 -x 栙即: -x +3 x 曑2 x 对x暿 [ 0, b] +3 x 曑2 x 解得 0曑x曑1 或 x曒2. 3 2 要使 -x 恒成立 , 当且仅当 0< +3 x 曑2 x 对x暿 [ 0, b] b曑1. 2 , ) 存在 x暿 [ 使得 x( 栚即: 0, b] x -3 x+1 <0 成立 .

3- 5 3+ 5 所以 , 2 ) 由 x( 只需b>3- 5. x -3 x+1 <0 解得 x<0 或 <x< . 2 2 2

( ) 显然当 x=0 时 , 不成立 . ………………… ( 0, x) -f x) =4, x-0=x, x) -f x) 曑2 x-0 1 2分) 2( 1( 2( 1( f f ( ) 显然当 x=0 时 , 不成立 . x) -f x) =4-f( b) >4, x-0=x, x) -f x) 曑2 x-0 2( 1( 2( 1( f f

( ] 当 2< 在[ 上单调递增 , 在[ 上单调递减 , 因此 , 枹) b曑3 时 , x) 0, 2 2, b] x) =f( 2) =4, x) =f( 0) = 2( 1( f( f f

综合 栙栚 可得3- 5< b曑1. …………………………………………………………………………… ( 1 1分) 2

( ] 当b>3 时 , 在[ 上单调递增 , 在[ 上 单 调 递 减, 因 此, 枺) x) 0, 2 2, b] x) =f( 2) =4, x) =f( b) <0, 2( 1( f( f f 3- 5 } 所以b 的取值范围是 { b | < b曑1 . ……………………………………………………………… ( 1 3分) 2

炎德 · 英才大联考文科数学参考答案 ( 一中版 ) -3 暋


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