河北省大城县第一中学2013届高三3月月考数学 Word版含答案

廊坊市大城县第一中学 3 月月考 数学试题
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束,将答题卷交回.

第 I 卷(选择题,共

60 分)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟。 一、选择超:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1、 已知正三角形 AOB 的顶点 A,B 在抛物线 A. B. C. D.

上,O 为坐标原点,则





2、某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品 和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级)的概率为( A.0.95 C.0.92 B.0.97 D.0.08 )

3、设圆

的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂 ).

直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为(

A.

B.
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C.

D.

4、如图,在长方体 的角为 ( )

中,



,则异面直线



所成

A.

B.

C.

D.

5、已知函数

,则

的值为(



A.

B.

C.

D.

6、已知椭圆

与曲线

的离心率互为倒数,则





A.16

B.

C.

D.

7、 设

,则







中最大的一个是





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A.

B.

C.

D.

8、在

中, 等于( )



,点



上且满足

,则

A.

B.

C.

D. )

9、以下说法错误的是……………………………………………………………………(

A.直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是

B.直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是

C.平面内两个非零向量的夹角的取值范围是

D.空间两条直线所成角的取值范围是

10、已知四面体 OABC 中,OA、OB、OC 两两相互垂直,



,D 为四面体 OABC

外一点.给出下列命题:①不存在点 D,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形;②不存在点 D,使 四面体 ABCD 是正三棱锥;③存在点 D,使 CD 与 AB 垂直并相等;④存在无数个点 D,使点 O 在四面 体 ABCD 的外接球面上.则其中正确命题的序号是( A.①② B.②③ C.①③ ) D.③④

11、设点



、 )



满足

,则

取得最

小值时,点 B 的个数是(

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A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.无数个

12、若

2a+1

<

3-2a

,则实数 a 的取值范围是(

).

A.(1,+∞)

B.

C.(-∞,1)

D.

第 Ⅱ 卷(非选择题,共

90 分)

二、坡空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分.共 20 分

13、设 取值 范围为 。

,当

时,

恒成立,则实数



14、设

为双曲线

的左右焦点,点 P 在双曲线上, .

的平分线分线段

的比为 5∶1,则双曲线的离心率的取值范围是

15、极坐标方程分别为



的两个圆的圆心距为



16、已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7, , ,12,13.7,18.3,20,且

总体的中位数为

. 若要使该总体的方差最小,则

的取值分别是

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步赚. 17. (本题满分 12 分)

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已知 件:(1) 求出 在

, 上是减函数,在

,是否存在实数

,使

同时满足下列两个条 的最小值是 ,若存在,

上是增函数;(2)

,若不存在,说明理由.

18. (本题满分 12 分)

如图,

平面 AEB,









,



G 是 BC 的中点.

(Ⅰ)求证:



(Ⅱ)求二面角

的大小.

19. (本题满分 12 分)

已知双曲线 渐近线交于点 C,点 O 为坐标原点,

的右顶点为 A,右焦点为 F,右准线与 轴交于点 B,且与一条 , ,过点 F 的直线 与双

曲线右支交于点



(Ⅰ)求此双曲线的方程;

(Ⅱ)求

面积的最小值.

20. (本题满分 12 分)

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在锐角△

中, 、 、 分别为角





所对的边,且

(1)确定角

的大小;

(2)若

,且△

的面积为

,求

的值.

21. (本题满分 12 分)

已知圆 C 与两坐标轴都相切,圆心 C 到直线 (1)求圆 C 的方程.

的距离等于

.

(2)若直线

与圆 C 相切,求

的最小值.

请考生在第 22 、 23 、 24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本题满分 10 分)选修 4 一 l :几何证明选讲

设函数







且以

为最小正周期.

(1)求



(2)求

的解析式;

(3)已知

,求

的值.

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23.(本题满分 10 分)如图,已知椭圆

=1( a>b>0)的离心率为

,以该椭圆

上的点和椭圆的左、右焦点 F1、F2 为顶点的三角形的周长为 4(

+1),一等轴双曲线的顶点是该

椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、

D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1·k2=1; (3)是否存在常数λ ,使得|AB|+|CD|=λ |AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ 的值;若不存在,请 说明理由.

24.(本题满分 10 分)设函数

.

(I)若曲线

与曲线

在它们的交点

处具有公共切线,求

的值;

(II)当

时,若函数

在区间

内恰有两个零点,求 的取值范围;

(III)当

时,求函数

在区间

上的最大值

廊坊市大城县第一中学 2 月月考数学试题

参考答案
一、选择题

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1、C 2、解析:记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件 C,这三个事件彼 此互斥,因而抽验产品是正品(甲级)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92. 答案:C 3、D 4、 D 5、B 6、B

7、C【解析】含限定条件的不等式比较大小的问题,最有效的方法为特殊值法,取 大,故选 C. 8、D 9、C 10、D 11、B

,得 最

12、解析 函数 y=

x

在 R 上为减函数,

∴2a+1>3-2a,∴a> 答案 B

.

二、填空题

13、

时,

14、

15、 16、



三、解答题

17、解:设

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∵ ∴

在 在

上是减函数,在 上是减函数,在

上是增函数 上是增函数.

∴ 经检验,

∴ 时,

解得 满足题设的两个条件. 为轴建立坐标系 如图所示,

18、解: (Ⅰ)以

则 , ∴ (Ⅱ)设平面 GED 的一个法向量为



, ,



,故:

,则

,平面 FED 的一个法向量为



, 二面角

为锐角, 其大小为



19、解: (Ⅰ)由题设,



,设双曲线的一条渐近线方程为:

,与右准线

的交点

,则

,∴



所求双曲线的方程是

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(Ⅱ)由(Ⅰ)得:



,设直线 的方程为



由 ,且

,设

,则





,令

,∴

,而 值为 18. 20、解: (1)由 sinA=2sinC sinA



上为减函数,∴当

时 有最大值 1,

面积的最小



=2 sinC

C=

- (2)由(1)知 sinC=

又△

的面积为

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21、解.(I)设圆 C 半径为 ,由已知得:

∴ ∴圆 C 方程为 (II)直线

,或 . ,∵





左边展开,整理得,



∵ ∴ ∵ ∴ ∴

,∴



,∴

选做题

22、

(2)



,所以

的解析式为:

(3)由



,即



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23、 【答案】解:(1)设椭圆的半焦距为 c,由题意知: 2a+2c=4( 所以 a=2
2 2 2



+1), ,c=2.

又 a =b +c ,因此 b=2.

故椭圆的标准方程为

=1.

由题意设等轴双曲线的标准方程为 所以 m=2,

=1(m>0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点 ,

因此双曲线的标准方程为

=1.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),

则 k1= 所以 x-y=4.

,k2=
2 2

.

因为点 P 在双曲线 x -y =4 上,

因此 k1·k2= 即 k1·k2=1.

·



=1,

(3)由于 PF1 的方程为 y=k1(x+2),将其代入椭圆方程得 (2k +1)x -8k x+8k -8=0, 显然 2k +1≠0,显然Δ >0.
2

由韦达定理得 x1+x2= 所以|AB|=

,x1x2=

.



.
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同理可得|CD|=

.

则 又 k1·k2=1,



所以

.

故|AB|+|CD|=

|AB|·|CD|.

因此存在λ = 24、解:(I) 因为曲线 ,

,使|AB|+|CD|=λ |AB|·|CD|恒成立. . 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线,所以 ,且



,且

,

解得 (II)记

. ,当 时,

, , 令 当 变化时, ,得 . 的变化情况如下表:
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0 ↗ 极大值

— ↘

0 极小值 ↗

所以函数

的单调递增区间为

;单调递减区间为

,

①当

时,即

时,

在区间

上单调递增,所以

在区间

上的最

大值为 ②当 且 ,即 时, 在区间

; 上单调递增,在区间

上单调递减,所以 当 且

在区间 ,即

上的最大值为

; 在区间 上的最大

时,t+3<2 且 h(2)=h(-1),所以

值为


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