河北省大城县第一中学2013届高三3月月考数学 Word版含答案
廊坊市大城县第一中学 3 月月考 数学试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，将答题卷交回．
第 I 卷（选择题，共
60 分）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟。 一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1、 已知正三角形 AOB 的顶点 A,B 在抛物线 A． B． C． D．
上，O 为坐标原点，则
（
）
2、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品 和丙级品的概率分别是 5%和 3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( A．0.95 C．0.92 B．0.97 D．0.08 )
3、设圆
的圆心为 C，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段 AQ 的垂 )．
直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为(
A．
B.
第 - 1 - 页 共 15 页
C.
D.
4、如图，在长方体 的角为 （ ）
中，
，
，则异面直线
与
所成
A.
B.
C.
D.
5、已知函数
，则
的值为（
）
A.
B.
C.
D.
6、已知椭圆
与曲线
的离心率互为倒数，则
（
）
A.16
B.
C.
D.
7、 设
，则
，
，
，
中最大的一个是
（
）
第 - 2 - 页 共 15 页
A.
B.
C.
D.
8、在
中, 等于( )
，
,点
在
上且满足
,则
A．
B．
C．
D． ）
9、以下说法错误的是……………………………………………………………………（
A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
D．空间两条直线所成角的取值范围是
10、已知四面体 OABC 中，OA、OB、OC 两两相互垂直，
，
，D 为四面体 OABC
外一点．给出下列命题：①不存在点 D，使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形；②不存在点 D，使 四面体 ABCD 是正三棱锥；③存在点 D，使 CD 与 AB 垂直并相等；④存在无数个点 D，使点 O 在四面 体 ABCD 的外接球面上．则其中正确命题的序号是（ A.①② B.②③ C.①③ ） D.③④
11、设点
、
、 ）
且
满足
，则
取得最
小值时，点 B 的个数是（
第 - 3 - 页 共 15 页
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.无数个
12、若
2a＋1
<
3－2a
，则实数 a 的取值范围是(
)．
A．(1，＋∞)
B.
C．(－∞，1)
D.
第 Ⅱ 卷（非选择题，共
90 分）
二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分
13、设 取值 范围为 。
，当
时，
恒成立，则实数
的
14、设
为双曲线
的左右焦点，点 P 在双曲线上， ．
的平分线分线段
的比为 5∶1，则双曲线的离心率的取值范围是
15、极坐标方程分别为
和
的两个圆的圆心距为
；
16、已知总体的各个体的值由小到大依次为 2，3，3，7， ， ，12，13.7，18.3，20，且
总体的中位数为
. 若要使该总体的方差最小，则
的取值分别是
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步赚． 17． （本题满分 12 分）
第 - 4 - 页 共 15 页
已知 件：（1） 求出 在
, 上是减函数，在
，是否存在实数
,使
同时满足下列两个条 的最小值是 ，若存在，
上是增函数；（2）
，若不存在，说明理由.
18． （本题满分 12 分）
如图，
平面 AEB，
，
，
，
，
,
，
G 是 BC 的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
19． （本题满分 12 分）
已知双曲线 渐近线交于点 C，点 O 为坐标原点，
的右顶点为 A,右焦点为 F，右准线与 轴交于点 B，且与一条 ， ，过点 F 的直线 与双
曲线右支交于点
．
（Ⅰ）求此双曲线的方程；
（Ⅱ）求
面积的最小值．
20． （本题满分 12 分）
第 - 5 - 页 共 15 页
在锐角△
中， 、 、 分别为角
、
、
所对的边，且
（1）确定角
的大小；
（2）若
,且△
的面积为
,求
的值．
21． （本题满分 12 分）
已知圆 C 与两坐标轴都相切，圆心 C 到直线 （1）求圆 C 的方程.
的距离等于
.
（2）若直线
与圆 C 相切，求
的最小值.
请考生在第 22 、 23 、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做 答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22． （本题满分 10 分）选修 4 一 l ：几何证明选讲
设函数
，
，
，
且以
为最小正周期．
（1）求
；
（2）求
的解析式；
（3）已知
，求
的值．
第 - 6 - 页 共 15 页
23．（本题满分 10 分）如图，已知椭圆
＝1( a＞b＞0)的离心率为
，以该椭圆
上的点和椭圆的左、右焦点 F1、F2 为顶点的三角形的周长为 4(
＋1)，一等轴双曲线的顶点是该
椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、
D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2，证明：k1·k2＝1； (3)是否存在常数λ ，使得|AB|＋|CD|＝λ |AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ 的值；若不存在，请 说明理由．
24．（本题满分 10 分）设函数
.
(I)若曲线
与曲线
在它们的交点
处具有公共切线,求
的值;
(II)当
时,若函数
在区间
内恰有两个零点,求 的取值范围;
(III)当
时,求函数
在区间
上的最大值
廊坊市大城县第一中学 2 月月考数学试题
参考答案
一、选择题
第 - 7 - 页 共 15 页
1、C 2、解析：记抽验的产品是甲级品为事件 A，是乙级品为事件 B，是丙级品为事件 C，这三个事件彼 此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为 P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92. 答案：C 3、D 4、 D 5、B 6、B
7、C【解析】含限定条件的不等式比较大小的问题，最有效的方法为特殊值法，取 大，故选 C. 8、D 9、C 10、D 11、B
，得 最
12、解析 函数 y＝
x
在 R 上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a> 答案 B
.
二、填空题
13、
时，
14、
15、 16、
；
三、解答题
17、解：设
第 - 8 - 页 共 15 页
∵ ∴
在 在
上是减函数，在 上是减函数，在
上是增函数 上是增函数.
∴ 经检验，
∴ 时，
解得 满足题设的两个条件. 为轴建立坐标系 如图所示，
18、解： （Ⅰ）以
则 ， ∴ （Ⅱ）设平面 GED 的一个法向量为
，
， ，
，
，故：
，则
，平面 FED 的一个法向量为
∴
， 二面角
为锐角， 其大小为
．
19、解： （Ⅰ）由题设，
，
，设双曲线的一条渐近线方程为：
，与右准线
的交点
，则
，∴
，
所求双曲线的方程是
第 - 9 - 页 共 15 页
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
，
，设直线 的方程为
，
由 ，且
，设
，则
，
∴
，令
，∴
，而 值为 18． 20、解： （1）由 sinA=2sinC sinA
在
上为减函数，∴当
时 有最大值 1，
面积的最小
得
=2 sinC
C=
- (2)由（1）知 sinC=
又△
的面积为
第 - 10 - 页 共 15 页
21、解.（I）设圆 C 半径为 ，由已知得：
∴ ∴圆 C 方程为 (II)直线
，或 . ，∵
∴
∴
左边展开，整理得，
∴
∵ ∴ ∵ ∴ ∴
，∴
，
，∴
选做题
22、
（2）
，
，所以
的解析式为：
（3）由
得
，即
，
第 - 11 - 页 共 15 页
23、 【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为 c，由题意知： 2a＋2c＝4( 所以 a＝2
2 2 2
，
＋1)， ，c＝2.
又 a ＝b ＋c ，因此 b＝2.
故椭圆的标准方程为
＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为 所以 m＝2，
＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点 ，
因此双曲线的标准方程为
＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则 k1＝ 所以 x－y＝4.
，k2＝
2 2
.
因为点 P 在双曲线 x －y ＝4 上，
因此 k1·k2＝ 即 k1·k2＝1.
·
＝
＝1，
(3)由于 PF1 的方程为 y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得 (2k ＋1)x －8k x＋8k －8＝0， 显然 2k ＋1≠0，显然Δ ＞0.
2
由韦达定理得 x1＋x2＝ 所以|AB|＝
，x1x2＝
.
＝
.
第 - 12 - 页 共 15 页
同理可得|CD|＝
.
则 又 k1·k2＝1，
，
所以
.
故|AB|＋|CD|＝
|AB|·|CD|.
因此存在λ ＝ 24、解:(I) 因为曲线 ,
，使|AB|＋|CD|＝λ |AB|·|CD|恒成立． . 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线,所以 ,且
即
,且
,
解得 (II)记
. ,当 时,
, , 令 当 变化时, ,得 . 的变化情况如下表:
第 - 13 - 页 共 15 页
0 ↗ 极大值
— ↘
0 极小值 ↗
所以函数
的单调递增区间为
;单调递减区间为
,
①当
时,即
时,
在区间
上单调递增,所以
在区间
上的最
大值为 ②当 且 ,即 时, 在区间
; 上单调递增,在区间
上单调递减,所以 当 且
在区间 ,即
上的最大值为
； 在区间 上的最大
时，t+3<2 且 h(2)=h(-1)，所以
值为
；
第 - 14 - 页 共 15 页
第 - 15 - 页 共 15 页