2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分46 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

开卷速查(四十六)

立体几何中的向量方法

(一)——证明平行与垂直
A 级 基础巩固练

1.如图,在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD, E,F 分别是 PC,PD 的中点,PA=AB=1,BC=2.求证: (1)EF∥平面 PAB; (2)平面 PAD⊥平面 PDC.

证明:(1)以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 1? 1? ?1 ? ∴E?2,1,2?,F?0,1,2?,
? ? ? ?

1 ? → → =? → =(0,2,-1), ?- ,0,0?,PB EF =(1,0,-1),PD 2
? ?

→ =(0,0,1),AD → =(0,2,0),DC → =(1,0,0), AP → =(1,0,0). AB

→ =-1AB → ,∴EF → ∥AB → ,即 EF∥AB, ∵EF 2 又 AB?平面 PAB,EF?平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. →· → =(0,0,1)· (2)∵AP DC (1,0,0)=0, →· → =(0,2,0)· AD DC (1,0,0)=0, → ⊥DC → ,AD → ⊥DC → ,即 AP⊥DC,AD⊥DC. ∴AP 又 AP∩AD=A,∴DC⊥平面 PAD. ∵DC?平面 PDC,∴平面 PAD⊥平面 PDC.

2.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂 直,AB= 2,AF=1,M 是线段 EF 的中点.求证: (1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF.

证明:(1)以 C 为坐标原点,CD,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴 的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设 AC∩BD= N,连接

NE. 则点 N,E 的坐标分别为? → =?- ∴NE
? ? ? 2 2 ? ?,(0,0,1). , 2 ,0? ? 2

2 2 ? ?. ,- 2 2 ,1?
? 2 2 ? ?, , 2 ,1? ? 2

又点 A,M 的坐标分别是( 2, 2,0),? → =?- ∴AM
? ?

2 2 ? ?. ,- 2 2 ,1?

→ =AM → 且 NE 与 AM 不共线. ∴NE ∴NE∥AM. 又∵NE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. 2 2 ? → =? ?- ,- ,1?, (2)由(1)知AM 2 2 ? ? → =(0, 2,1). ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1),∴DF →· → =0.∴AM → ⊥DF →. ∴AM DF → ⊥BF →. 同理可证AM 又 DF∩BF=F,DF,BF?平面 BDF, ∴AM⊥平面 BDF. B级 能力提升练

3. 在四棱锥 PABCD 中, PD⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 为正方形, PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论.

解析:(1)证明:如图,以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, a ? ? 设 AD=a, 则 D(0,0,0)、 A(a,0,0)、 B(a, a,0)、 C(0, a,0)、 E?a,2,0?、
? ? ?a a a? P(0,0,a)、F?2,2,2?. ? ?

a a? → → =? ?- ,0, ?,DC EF =(0,a,0). 2 2
? ?

→· → =0,∴EF → ⊥DC → ,即 EF⊥CD. ∵EF DC a a a? → =? ?x- ,- ,z- ?, (2)设 G(x,0,z),则FG 2 2 2? ? 若使 GF⊥平面 PCB,则 a a a? →· → =? ?x- ,- ,z- ?· 由FG CB 2 2 2? (a,0,0) ? a? ? =a?x-2?
? ?

=0, a 得 x=2; a a a? →· → =? ?x- ,- ,z- ?· 由FG CP 2 2 2 (0,-a,a)
? ?

a2 ? a? = 2 +a?z-2? ? ?

=0, 得 z=0.
?a ? ∴G 点坐标为?2,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. ? ?

4.如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥ DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60° . (1)求证:AC⊥平面 BDE; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定 M 的位置,使得 AM∥ 平面 BEF,并证明你的结论. 解析:(1)∵DE⊥平面 ABCD,∴DE⊥AC. ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. 从而 AC⊥平面 BDE.

(2)∵DA,DC,DE 两两垂直,

∴建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示. ∵BE 与平面 ABCD 所成角为 60° , ED 即∠DBE=60° ,∴DB= 3. ∵正方形 ABCD 的边长为 3, ∴BD=3 2,∴DE=3 6,AF= 6. 则 A(3,0,0),F(3,0, 6),E(0,0,3 6),B(3,3,0),C(0,3,0). → =(0,-3, 6),EF → =(3,0,-2 6). ∴BF 设 平 面 BEF 的 法 向 量 为 → =0, ?n· BF n = (x , y , z ) , 则 ? → =0, ?n· EF 即

? ?-3y+ 6z=0, ? 令 z= 6,则 n=(4,2, 6). ? ?3x-2 6z=0,

点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0), → =(t-3,t,0). 则AM →· ∵AM∥平面 BEF,∴AM n=0. 即 4(t-3)+2t=0,解得 t=2. 1 此时,点 M 为(2,2,0),BM=3BD,符合题意.


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