平面几何精选--冷老师--(08[1][1].1.280) 题目部分


平面几何精选 164

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01 02

AM = MB,l1∩l3 = E, l1∩l4 = F, l2∩l3 = G, l2∩l4 = H,EH∩AB = C,FG∩AB = D.求证:CM = MD. 双心四边形,外心为 O,外接圆半径为 R,内心为 P,内切圆半径为 r,OI = h.求证: 1 1 1 + = 2 . r ?R + h? 2 ?R-h? 2

03

设 D、E、F 分别为△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 AD 与 EF 垂直相交于 O,又 DE、DF 分别平 分∠ADC, ∠ADB,求证:OD 平分∠BOC.

04

已知△ABC,内心为 I,圆 C1 与边 AB、BC 相切,圆 C2 过 A、C,且 C1 与 C2 外切于点 M.求证:∠AMC 的平分线过 I.

05

△ABC 和△PQR 满足如下条件:A 和 P 分别是线段 QR 和 BC 的中点,QR 和 BC 是∠BAC 和∠QPR 的内 角平分线.求证:AB + AC = PQ + PR.

06

已知 Q 为以 AB 为直径的圆上的一点,Q ≠ A, B,Q 在 AB 上的投影为 H,以 Q 为圆心,QH 为半径的 圆与以 AB 为直径的圆交于点 C、D.证明 CD 平分线段 QH.

07

凸四边形 ABCD 的外接圆圆心为 O,已知 AC ≠ BD,且 AC 与 BD 交于 E.若 P 为 ABCD 内部一点,且 ∠PAB + ∠PCB = ∠PBC + ∠PDC = 90?.求证 O、P、E 三点共线.

08

设⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过交点任作一条割线分别与两圆交于 P、Q,两圆在 P、Q 处的切线交 于 R,直线 BR 交△O1O2B 的外接圆于另一点 S.求证 RS 等于△O1O2B 的外接圆的直径.

09

设 P 为△ABC 的一个内点,PA、PB、PC 分别交边 BC、CA、AB 于 D、E、F.证明 S△PAF + S△PBD + S△PCE = 1 S 成立当且仅当 P 至少位于△ABC 的一条中线上. 2 △ABC

10

与等腰△ABC 两腰 AB 和 AC 都相切的圆?交边 BC 于点 K 和 L,连结 AK,交圆?于另一点 M,点 P 和 Q 分别是点 K 关于点 B 和 C 的对称点.证明△PMQ 的外接圆与圆?相切.

11

已知⊙O 与△ABC 的外接圆、AB、AC 均相切,切点分别为 T、P、Q,I 是 PQ 中点.证明 I 是△ABC 的 内心或旁心.

12

△ABC 的三个角平分线足分别为 X、Y、Z,△XYZ 的外接圆在 AB、BC、CA 上截出了三条线段.证明这 三条线段中有两条的长度和等于另外一条的长度.

13

△ABC 的三个内点 A1、 B1、 C1 分别在从 A、 B、 C 引出的三条高线上. 若 S△ABC = S△ABC1 + S△BCA1 + S△CAB1 , 证明△A1B1C1 的外接圆通过△ABC 的垂心 H.

14

△ABC 的中线 AM 交其内切圆?于 K 和 L.过 K 和 L 作 BC 的平行线,分别再次交?于 X、Y,AX 与 AY 分别交 BC 于 P、Q.证明 BP = CQ.

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? ⌒ C、D 为 AB 的三等分点?C 距 A 近?,绕 A 旋转 后,点 B、C 分别成为 B1、C1,AB1 交 C1D 于 F,E 在 3 ∠B1BA 平分线上,且 DE = BD.证明△CEF 为正三角形.

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设 AH1、BH2、CH3 是锐角△ABC 的三条高线,△ABC 的内切圆与边 BC、CA、AB 分别相切于点 T1、T2、 T3.设直线 l1, l2, l3 分别是直线 H2H3、H3H1、H1H2 分别关于直线 T2T3、T3T1、T1T2 的对称直线.证明 l1, l2, l3 所确定的三角形,其顶点都在△ABC 的内切圆上.

17 18

证明圆外切四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的中点 E、F 与圆心 O 共线. 在锐角△ABC 中,AD、BE、CF 为三条高.证明△AEF、△BDF、△CDE 的三条欧拉线交于一点,且此 交点在△ABC 的九点圆上.

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在四边形 ABCD 中,点 E 和 F 分别在边 AD 和 BC 上,且

AE BF = ,射线 FE 分别交线段 BA 和 CD 延 ED FC

长于 S 和 T.求证△SAE、△SBF、△TCF 和△TDE 的外接圆有一个公共点. 20 点 D、E、F 分别在锐角△ABC 的边 BC、CA、AB 上?均不是端点?,满足 BC∥EF,D1 是边 BC 上一点? 不同于 B、D、C?,过 D1 作 D1E1∥DE,D1F1∥DF,分别交 AC、AB 两边于点 E1、F1,连结 E1F1,再在 BC 上方?与 A 同侧?作△PBC,使得△PBC∽△DEF,连结 PD1.求证 EF、E1F1、PD1 三线共点. 21 设锐角△ABC 的外接圆为?,过点 B、C 作?的两条切线,相交于点 P,连结 AP 交 BC 于点 D,点 E、F 分别在边 AC、AB 上,使得 DE∥BA,DF∥CA.?1? 求证 F、B、C、E 四点共圆;?2? 若记过 F、B、C、 E 的圆的圆心为 A1,类似定义 B1、C1,则直线 AA1、BB1、CC1 三线共点. 22 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,梯形内部有两个圆?1 和?2 满足:圆?1 与三边 DA、AB、BC 相切,圆?2 与三 边 BC、CD、DA 相切.令 l1 是过点 A 的异于直线 AD 的圆?2 的另一条切线,l2 是过点 C 的异于直线 CB 的圆?1 的另一条切线.证明 l1∥l2. 23 △ABC 内部有两点 P、Q,AP、AQ 分别交△ABC 外接圆于 A1、A2,直线 A1A2 ?当 A1 = A2 时此直线为过 A1 的△ABC 外接圆切线?交直线 BC 于 A3,类似定义 B3、C3.证明 A3、B3、C3 三点共线. 24 ABCD 是等腰梯形,其中 AD、BC 为底,一个与 AB、AC 均相切的圆交 BC 于 M、N,DM、DN 与△BCD 内切圆的交点,其中离 D 较近的分别记作 X、Y.求证 XY∥AD. 25 已知△ABC,在 BC、CA、AB 上分别取点 D、E、F 使四边形 AEDF、BDEF、CDEF 均为圆外切四边形.求 证 AD、BE、CF 三线共点. 26 △ABC 的内切圆⊙I 切 BC、CA、AB 于 D、E、F,AD 与⊙I 的另一个交点 X,BX、CX 分别交 OI 于 P、 Q.又记 BC 中点为 M.若 AX = XD,求证:?1? FD∥EQ;?2? AD、EP、FQ 三线共点;?3? ?4? X、I、M 三点共线. 27 ⌒ 点 P 为△ABC 的外接圆上 BC ?不含 A?上的动点.I1、I2 分别为△PAB、△PAC 的内心.求证:?1? △PI1I2 的外接圆过定点;?2? 以 I1I2 为直径的圆过定点;?3? I1I2 的中点在定圆上. BX BI = ; CX CI

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△ABC 中,点 A 关于 BC 的对称点为 D,类似定义 E、F.设△ABC 外心为 O,垂心为 H,外接圆半径为 R.求证 D、E、F 三点共线 ? OH = 2R.

29

AB 为圆?的直径,直线 l 切⊙?于 A.C、M、D 在 l 上满足 CM = DM,又设 BC、BD 交⊙?于 P、Q,⊙ ?切线 PR、QR 交于 R.求证 R 在 BM 上.

30

ABCD 为圆内接四边形,AB∩CD = E,AC∩BD = F.又△AFD 与△BFC 的外接圆交于 F、H.求证∠EHF = 90?.

31

△ABC 中,⊙I1, ⊙I2, ⊙I3 分别是∠A, ∠B, ∠C 所对的旁切圆,I、G 是△ABC 的内心、重心.求证⊙I1, ⊙I2, ⊙I3 的根心在 IG 上.

32

锐角△ABC 中,AB ≠ AC,H 为垂心,M 为 BC 中点.D、E 分别在 AB、AC 上,且 AE = AD,D、H、 E 三点共线.求证 HM 平行于△ABC、△ADE 的外心连线.

33

设△ABC 内接于圆 O,过 A 作切线 PD,D 在射线 BC 上,P 在射线 DA 上,过 P 作圆 O 的割线 PU,U 在 BD 上,PU 交圆 O 于 Q、T 且交 AB、AC 于 R、S.证明,若 QR = ST,则 PQ = UT.

34

圆心为 O1 和 O2 的两个半径相等的圆相交于 P、Q 两点,O 是公共弦 PQ 的中点,过 P 任做两条割线 AB 和 CD ?AB, CD 均不与 PQ 重合?,点 A、C 在圆 O1 上,点 B、D 在圆 O2 上,连结 AD、BC,点 M、N 分 别是 AD、BC 的中点,已知 O1、O2 不在两圆公共部分内,点 M、N 均不与点 O 重合.求证 M、N、O 三 点共线.

35

在△ABC 中, I 为内心, 延长 AI、 BI、 CI 交对边于 D、 E、 F, 连 DF、 DE 交 BI、 CI 于 G、 H ?AB ≠ AC?. 求 E、F、G、H 四点共圆的充要条件.

36

已知四边形 ABCD 外切于圆?,直线 AB、CD 相交于 O,圆?1, ?2 与 AB、CD 都相切,并且圆?1 与 BC 相 切于 K,圆?2 与 AD 相切于 L.已知 O、K、L 三点共线,求证 BC 中点、AD 中点及圆?圆心三点共线.

37

如图,在锐角△ABC 中,高 AA1 与 CC1 交于垂心 H,AA1 与 CC1 所夹锐角的平分线分别交 BA、BC 于 P、 Q,垂心 H 与 AC 中点的连线与∠ABC 的平分线相交于 R.求证 P、B、Q、R 四点共圆.

38

已知圆⊙O1 与⊙O2 外切于点 T,一直线与⊙O2 相切于点 X,与⊙O1 交于点 A、B,且 B 点在线段 AX 的内 ⌒ 部,直线 XT 与⊙O1 交于另一点 S,C 是不包含点 A、B 的 TS 上的一点,过点 C 作⊙O2 的切线,切点为 Y,且线段 CY 与线段 ST 不相交,直线 SC 与 XY 交于点 I.证明 I 是△ABC 的∠A 内的旁切圆的圆心.

39

四边形 ABCD 既可外切于圆,又可内接于圆,并且 ABCD 的内切圆分别与它的边 AB、BC、CD、AD 相 切于点 K、L、M、N,四边形的∠A 和∠B 的外角平分线相交于点 K?,∠B 和∠C 的外角平分线相交于点 L?,∠C 和∠D 的外角平分线相交于点 M?,∠D 和∠A 的外角平分线相交于点 N?.证明,直线 KK?、LL?、 MM?、NN?经过同一个点.

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两圆⊙O1, ⊙O2 相外切于点 M,⊙O2 半径大于⊙O1 的半径,点 A 是⊙O2 上的一点,且满足 O1、O2 和 A 三点不共线,AB、AC 是点 A 到⊙O1 的切线,切点分别为 B、C,直线 MB、MC 与⊙O2 另一个交点分别 为 E、F,点 D 是线段 EF 和⊙O2 以 A 为切点的切线的交点.证明,当点 A 在⊙O2 上移动且保持 O1、O2 和 A 三点不共线时,点 D 沿一条固定直线移动.

41

设 P 是△ABC 内的一个点,直线 AP、BP、CP 与边 BC、CA、AB 分别交于点 D、E、F.现设分别以 BC 和 AD 为直径的圆交于点 L 和 L?,分别以 CA 和 BE 为直径的两圆交于点 M 和 M?,分别以 AB 和 CF 为直 径的圆交于点 N 和 N?.求证 L、L?、M、M?、N、N?共圆.

42 43 44

证明△ABC 的费尔马点、拿破仑点、外心三点共线. ⌒ ⊙O1 与⊙O2 内切于 D,AB、AC 与⊙O2 相切,I 为△ABC 内心,P 为 BC 中点.证明 P、I、D 三点共线. 锐角△ABC 中,以 BC 为直径作⊙O1,⊙A1 与 AB、AC 相切且外切⊙O1 于点 A2,类似定义 B2、C2.证明 AA2、BB2、CC2 三线共点.

45 46

设上题中三线共于点 P,证明,O、I、P 三点共线,其中 O 为外心. △ABC 外接圆为⊙O,延长中线 AD 交⊙O 于 A2,过 D 作 AO 垂线,与点 A2 的切线交于 A3,类似定义 B3、 C3.证明 A3、B3、C3 三点共线.

47

四边形 ABCD 内接于⊙O,AC > BD,延长 AB、DC 交于 E,延长 AD、BC 交于 F,M、N 分别为 AC、BD 中点.求证 MN 1 AC BD = ? - ?. EF 2 BD AC

48

如图,A、C、E 为直线上三点,B、D、F 为另一直线上三点,直线 AB、CD、EF 分别和 DE、FA、BC 相 交.证明交点 L、M、N 三点共线.

49 50

设六边形 ABCDEF 有内切圆,证明 AD、BE、CF 三线共点. 在平行六边形 ABCDEF 中,AC、BD、CE、DF、EA、FB 围成六边形 OPQRST.证明 OR、PS、QT 三线 共点.

51

在△A1A2A3 的形外作△O1A2A3、△O2A3A1、△O3A1A2 使:?i? ∠O1A2A3 = ?, ∠O1A3A2 = ?,? + ? < ∠A1O3A2 = 2?, O3A1 = O3A2;?iii? ∠A3O2A1 = 2?, O2A1 = O2A3.证明 O1A1⊥O2O3.

? ;?ii? 2

52

设 M 为△ABC 所在平面上一点, H、 R 分别为△ABC 的垂心、 外接圆半径. 求证 S = min ?MA 3 + MB 3 + MC
3

3 - R·MH 2 ?. 2

53

ABCD 为圆内接四边形,E 为平面上一点,E 到 AB、BC、CD、DA、AC、BD 垂足为 M、N、P、Q、R、 S.证明 MP、NQ、RS 中点共线.

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ABCD 内接于圆,M1、M2、M3 分别为 AB、BC、CD 中点,AM3∩DM1 = P,已知 AB、CD、PM2 三线共 点,设 BP、CP 分别交圆于另一点 X、Y.求证 XY∥AD.

55

△ABC 三边长为 a, b, c,内心为 I,与 A 相对的旁切圆切 BC 于 A1,B1、C1 类似定义.设 N 为 AA1、BB1、 CC1 的交点,r 为内切圆半径.求证 IN = r ? a + b = 3c 或 b + c = 3a 或 a + c = 3b.

56 57

ABCD 内接于圆,AB∩CD = E,AD∩BC = F,M、N 为 AC、BD 中点,已知 AC = a, BD = b,求

MN . EF

设⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过 A 作一割线交两圆于 P、Q.两圆在 P、Q 处的切线交于 R,BR 交 △O1O2B 外接圆于 S.求证 RS 等于△O1O2B 外接圆直径.

58

△ABC 内心为 I,圆 Oa 过 B、C 且与圆 I 直交,类似定义圆 Ob, 圆 Oc.圆 Oa 与圆 Ob 相交于另一点 C?, 类似定义 B?、A?.证明△A?B?C?外接圆半径为△ABC 内切圆⊙I 半径的 1 . 2

59

△ABC 内切圆分别切边 BC、CA、AB 于 A1、B1、C1,三条高线 AA2、BB2、CC2 的垂足分别为 A2、B2、 C2.A0、B0、C0 分别为 AA2、BB2、CC2 中点.证明 A1A0、B1B0、C1C0 三线共点.

60

两圆⊙A 及⊙C 相交于 B、D 两点,⊙O 内切⊙A 于 E,内切⊙C 于 F,过 D 作⊙O 的两切线 DH、DG, 设△DHE、△DHB、△DHF 外心依次为 O1、O2、O3.求证 O1、O2、O3 三点共线且 O1O2 = O2O3.

61

锐角△A1A2A3 中, AiHi 是高线, 内切圆切三边于 P1, P2, P3, Ti 在线段 HiHi + 1 上?记 H4 = H1?, 且 HiTi = HiPi. 求 证 PiTiPi + 1 ?i = 1, 2, 3?的外接圆共点.

62 63 64

已知平面上不共线的三点 A、B、C 构成锐角三角形,试只用圆规作出过此三点的圆. PAB、PDC 是圆的割线,PEF 也是,PEF 交 BC、AD 于 I、J 如图.求证 1 1 1 1 + = + . PE PF PI PJ

锐角△ABC 中,N 为△ABC 的九点圆圆心,N?为 N 的等角共轭点,O 为△ABC 外心.OA 中垂线交 BC 于 A?,类似定义 B?、C?.证明 A?、B?、C?共线于 l 且 l⊥ON?.

65

设凸四边形 ABCD 的两组对边所在直线交于 E、 F 两点, 两条对角线的交点为 P, 过 P 作 PO⊥EF = O. 求 证∠BOC = ∠AOD.

66

已知⊙O1 与⊙O2 外切于点 T, 一直线与⊙O2 相切于点 X, 与⊙O1 交于点 A、 B, 且点 B 在线段 AX 的内部, ⌒ 直线 XT 与⊙O1 交于另一点 S,C 是不包含点 A、B 的 TS 上的一点,过点 C 作⊙O2 的切线,切点为 Y, 且线段 CY 与线段 ST 不相交,直线 SC 与 XY 交于点 I.证明:?1? C、T、I、Y 四点共圆;?2? I 是△ABC 的∠A 内的旁切圆的圆心.

67

设 D、E、F 分别是△ABC 边 BC、CA、AB 上的内点,并且△AEF、△BFD 与△CDE 的内切圆半径都等 于△ABC 内切圆半径的一半.证明 D、E、F 恰为△ABC 各边中点.

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圆 O、圆 I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆,圆 O 半径为 R,圆 I 半径为 r,圆 I 分别切 AB、AC、BC 于 点 F、E、D,若 M 为△DEF 的重心,试求 IM 的值?其中 R ≠ 2r?. OM

69

过△ABC 的顶点 B、C 的一圆与边 AB、AC 分别交于 B1、C1,△ABC 与△AB1C1 的垂心分别为 H1、H2.求 证 BB1、CC1、HH1 三线共点.?设 P 为 BB1 和 CC1 的交点?.

70

设 A0, A1, …, A5 是圆周? 上顺序排列的六个点,对于 k = 0, 1, 2,过点 A2k 作平行于直线 A2k + 2A2k + 4 的直 线,交圆? 于 A2k?,直线 A2k?A2k + 3 与 A2k + 2A2k + 4 交于点 A?2k + 3.如果直线 A2kA2k + 2 ?k = 0, 1, 2?三线共点, 证明,直线 A2kA?2k + 3 ?k = 0, 1, 2?也三线共点.

71

点 K 是△ABC 的塞瓦线 AD 的点, 点 X 在线段 KC 上, 使得∠ABK = ∠XBC. 现知 KX· BD = CX· CD. 证 明∠BAX = ∠BCX.

72

如图,点 P、Q 是△ABC 的外接圆上?异于 A、B、C?的两点,点 P 关于直线 BC、CA、AB 的对称点分别 是 U、V、W,连接 QU、QV、QW 分别与直线 BC、CA、AB 交于点 D、E、F.求证:?1? U、V、W 三点 共线;?2? D、E、F 三点共线.

73

凸四边形 ABCD 的对角线交于点 M,点 P、Q 分别是△AMD 和△CMB 重心,R、S 分别是△DMC 和△ MAB 的垂心.求证 PQ⊥RS.

74

已知 E、F 是△ABC 两边 AB、AC 的中点,CM、BN 是 AB、AC 边上的高,连线 EF、MN 相交于 P 点.又 设 O、H 分别是△ABC 的外心和垂心,连接 AP、OH.求证 AP⊥OH.

75 76

设 H 为△ABC 的垂心,D、E、F 为△ABC 的外接圆上三点使得 AD∥BE∥CF,S、T、U 分别为 D、E、 F 关于边 BC、CA、AB 的对称点.求证 S、T、U、H 四点共圆. 在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,设 O1、O2 分别是△ABD、△ACD 外心,O?是经过 A、O1、O2 三点的圆 的圆心,记△ABC 的九点圆圆心为 Ni,作 O?E⊥BC = E.求证 NiE∥AD.

77

设△ABC 的边 AB 中点为 N,∠A > ∠B,D 是射线 AC 上一点,满足 CD = BC,P 是射线 DN 上一点,且 与点 A 在边 BC 同侧,满足∠PBC = ∠A,PC 与 AB 交于点 E,BC 与 DP 交于点 T.求表达式 的值. BC EA - TC EB

78 79

△ABC 中,BD 和 CE 为高,CG 和 BF 为角平分线,I 是内心,O 为外心.求证 D、I、E 三点共线 ? G、 O、F 三点共线. △ABC 中,∠A, ∠B 为锐角,CD 为高,O1、O2 分别为△ACD 和△BCD 内心.问,△ABC 满足怎样的充 要条件,使得 A、B、O1、O2 四点共圆.

80

△ABC 的外心是 O,三条高线 AH、BK、CL 垂足分别为 H、K、L.A0、B0、C0 分别是 AH、BK、CL 中 点,I 为内切圆圆心,内切圆切△ABC 三边 BC、CA、AB 于 D、E、F.证明 A0D、B0E、C0F、OI 四线共 点.

81

已知△ABC,过点 B、C 的⊙O 与 AC、AB 分别交于点 D、E,BD 与 CE 交于 F,直线 OF 与△ABC 外接 圆交于 P.证明,△PBD 的内心就是△PCE 的内心.

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设 A、B 为圆? 上两点,X 为? 在 A 和 B 处切线的交点,在圆? 上选取两点 C、D 使得 C、D、X 依次位 于同一直线上,且 CA⊥BD,再设 F、G 分别为 CA 和 BD、CD 和 AB 的交点,H 为 GX 的中垂线与 BD 的交点.证明:X、F、G、H 四点共圆.

83

凸四边形 ABCD 的一组对边 BA 和 CD 的延长线交于 M,且 AP 不平行于 BC,过 M 作截线交另一组对边 所在直线于 H、L,交对角线所在直线于 H?、L?.求证 1 1 1 1 + = + . MH ML MH? ML?

84

P 为△ABC 内任意一点,AP、BP、CP 的延长线交对边 BC、CA、AB 于点 D、E、F,EF 交 AD 于 Q.试 证 PQ ≤ ?3-2 2 ?AD.

85

设 P 为锐角△ABC 内部一点,且满足条件 PA·PB·AB + PB·PC·BC + PC·PA·CA = AB·AC·BC, 试确定 P 点的几何位置,并证明你的结论.

86

□ABCD 对角线相交于点 O,圆?以 O 为圆心,与线段 AD、CD 分别交于 E、F,AB 的延长线与?交于 H,
CB 的延长线与?交于 G.设 K 是 EG 与 FH 的交点.S 是 AG 与 CH 的交点.求证 D、K、S 三点共线.

87

已知四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 与 CD 相交于点 P,AD 与 BC 交于点 Q,对角线 AC、BD 的交点为 R, 且 OR 与 PQ 交于点 K.求证∠AKD = ∠BKC.

88

圆外切四边形 ABCD 对边 AB 与 CD 交于点 F, AD 与 BC 交于点 E, 设 CC1⊥BF = C1, EE1⊥BF = E1, AA1 ⊥BC,FF1⊥BC.证明:?1? △BC1F1 与△BA1E1 有相同的内心 I;?2? 设 BB1⊥CF = B1,BB2⊥AE = B2, △B1F1C 的内心为 I1,△B2A1C 的内心为 I2,则 I、O、I1、I2 四点共圆.

89

定直线 l1, l2 交于点 O,A 为 l2 上定点,射线 OP 上一动点 M,设圆?过 OM,且圆心 K 在 MA 上,过 A 作 MA 的垂线交圆?于 E、F,交射线 OP 于 M1,在 OP 的反向延长线上取 N 使 ON = OM1,当 M 运动时, 证明△NEF 的外接圆过定点.

90

△ABC 中,AA?⊥BC = A?, BB?⊥AC = B?, CC?⊥AB = C?.证明△AB?C?、△BC?A?、△CA?B?的欧拉线交于△ ABC 的九点圆上同一点 P.

91

给定锐角△ABC,过 A 作 BC 的垂线,垂足为 D,记△ABC 的垂心为 H,在△ABC 的外接圆上任取一动 点 P,延长 PH 交△APD 的外接圆于 Q.求 Q 点的轨迹.

92

凸四边形 ABCD,⊙O1 过 AB 且与 CD 相切,⊙O2 过 CD 且与 AB 相切,⊙O1 和⊙O2 交于 E、F.证明, 若 BC∥AD,则 EF、AC、BD 三线共点.

93

设点 A 是⊙O 外一点,过点 A 作⊙O 的切线,切点分别为 B、C,⊙O 的切线 l 与 AB、AC 分别交于 P、 Q,过点 P 且平行于 AC 的直线与 BC 交于点 R.证明,无论 l 如何变化,QR 恒过一定点.

94

⌒ △ABC 内心为 I,A 对应的旁心为 Ia,IIa 分别交 BC、⊙ABC 于 A?、M,N 为 ABM 的中点,NI、NIa 分别 交⊙ABC 于 S、T.求证 S、A?、T 三点共线.

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设△ABC 内切圆与 BC、CA、AB 相切于 D、E、F,一圆与△ABC 内切圆切于 D,并与△ABC 外接圆切于 K,点 M、N 类似定义.求证 DK、EM、FN 相交于△DEF 的欧拉线上.

96 97

已知圆内接四边形 ABCD,求证 |AB-CD| + |AD-BC| ≥ 2 |AC-BD|. 设△ABC 是非等腰的锐角三角形,O、H 是△ABC 的外心和垂心,⊙O 是其外接圆,lA、lB、lC 是⊙O 在 A、B、C 处的切线,过 H 作 OH 的垂线 l 分别交 lA、lB、lC 于 A1、B1、C1,A1 关于 A 的对称点为 A2,类 似定义 B2、C2.求证 A2、B2、C2 三点共线.

98 99

P 是正△ABC 内一点,证明 |∠PAB-∠PAC| ≥ |∠PBC-∠PCB|. 圆内接四边形 ABCD 内有一点 P 满足∠APD = ∠ABP + ∠DCP.P 在 AB, BC, CD 上射影为 E、F、G.证 明△EFG∽△APD.

100 设凸四边形 ABCD 外切于⊙O,圆心 O 在对角线 BD 上的射影为 M.求证 BD 平分∠AMC. 证:设⊙O 在 ABCD 四边切点为 A1、B1、C1、D1. 101 设 D、E、F 分别是△ABC 内切圆与三边的切点,Q 为过 DE、EF、FD 中点圆圆心,求证△ABC 内心、 外心、Q 三点共线. 102 平面上给定三点 A、B、C,动点 D 使 A、B、C、D 共圆,IA、IB、IC、ID 分别是 A、B、C、D 关于△BCD、 △ACD、△ABD、△ABC 西姆松线,当点 D 移动时,求 IA、IB、IC、ID 交点轨迹. 103 四边形 ABCD 中,P 是两条对角线交点,M 是两对对边中点连线的交点,O是两对对角线中垂线的交点,

H是△APD 与△BPC 垂心连的交点.证明 M 是 OH 中点.
104 X 是△ABC 中直线 BC 上动点,C 在 B、X 间,△ABX 与△ACX 内切圆交于 P、Q.求证 PQ 过定点. 105 圆心为 O1 和 O2 的两个半径相等的圆相交于 P、Q 两点,D 是公共弦 PQ 的中点,过 P 任作两条割线 AB 和 CD ?AB、CD 均不与 PQ 重合?,点 A、C 在圆 O1 上,点 B、D 在圆 O2 上,连结 AD 和 BC,点 M、N 分别是 AD、BC 中点.已知 O1 和 O2 不在两圆的公共部分内,点 M、N 均不与点 O 重合.求证 M、N、O 三点共线. 106 在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,设 O1、O2 分别是△ABD、△ACD 的外心,O?是经过 A、O1、O2 三点 的圆的圆心.求证 O?D⊥BC ? AD 恰好经过△ABC 的九点圆心. 107 设锐角△ABC 的外接圆为?,过点 B、C 作?的两条切线,相交于点 P,连 AP 交 BC 于点 D,点 E、F 分 别在边 AC、AB 上,使得 DE∥BA, DF∥CA.?1? 求证 F、B、C、E 四点共圆;?2? 若记过 F、B、C、E 的圆的圆心为 A1,类似地定义 B1、C1,则 AA1、BB1、CC1 三线共点. 108 一条直线 l 与具有圆心 O 的圆?不相交,E 是 l 上的点,OE⊥l,M 是 l 上不同于 E 的点,从 M 作 w 的两 条切线切?于点 A 和 B,C 是 MA 的点,使得 EC 垂直于 MA,D 是 MB 上的点,使得 ED 垂直于 MB,直 线 CD 交 OE 于 F.求证点F的位置不依赖于点 M 的位置. 109 H 为△ABC 垂心,AH 2 + BH 2 + CH 2 = 7,AH·BH·CH = 3,求当△ABC 有最大面积时各边的长.

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110 △ABC 内切圆与 BC 切于 K,AD 是 BC 边上的高,M 为 AD 中点,MK 与△ABC 内切圆交于 K、N.求证 △BNC 外接圆与△ABC 内切圆切于 N. 111 已知△ABC 内一点 P,设 D、E、F 分别为 P 在 BC、CA、AB 上投影,假设 AP 2 + PD 2 = BP 2 + PE 2 = CP
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+ PF 2.设△ABC 的三个旁心分别为 IA、IB、IC.求证 P 是△IAIBIC 的外心. 1 ,△KLM 在△ABC 内部.记∑表示 A 到 KL、 4

112 平面内两个等边三角形 ABC 和 KLM 的边长分别是 1 和

LM、MK 的距离和.试求当∑取最大值时,△KLM 的位置. 113 设圆 S1 和圆 S2 相交于 A、B 两点,经过 A 的直线交圆 S1 于 C,交圆 S2 于 D,点 M、N、K 分别在线段 CD、 BC、BD 上,且 MN∥BD, MK∥BC,分别过 N、K 作 BC、BD 的垂线,分别交圆 S1、圆 S2 于 E、F,且 E、 A 在直线 BC 的异侧,F、A 在直线 BD 的异侧.证明∠EMF = 90?. 114 已知△ABC,点 X 是直线 BC 上的动点,且点 C 在点 B、X 之间,又△ABX、△ACX 的内切圆有两个不同 的交点 P、Q.证明 PQ 经过一个不依赖于 X 的定点. 115 凸四边形的四个角分别为 2?, 2?, 2?, 2?,四条边分别为 l, m, n, k.求证它的面积 S= ?l + n-m-k? 2 ?l + m + n + k? 2 - . 4?cot ? + cot ? + cot ? + cot ?? 4?tan ? + tan ? + tan ? + tan ??

116 设⊙O1 与⊙O2 交于 P、Q 两点,过点 P 任作两条直线 APB 和 CPD,其中点 A、C 在⊙O1 上,点 B、D 在 ⊙O2 上,M、N 分别是 AD、BC 中点,O 为 O1O2 中点,∠APC = θ 为锐角.设 h 为点 O 到 MN 的距离, K 为 PQ 中点.求证 h = OK cos θ. 117 在△ ABC 和△A?B?C?中,∠A ≥ ∠ B ≥ ∠C,∠A? ≥ ∠B? ≥ ∠ C?.求证 12 . aa? + bb? + cc? 118 在△ABC 的三边中点 D、E、F 向内切圆引切线,设所引的切线分别与 EF、FD、DE 交于 I、L、M.求 证 I、L、M 三点共线. 119 给定双心四边形 ABCD 外接圆⊙O 及内心 I,并给定 A 点?在⊙O 上?,求作 B、C、D 三点. 120 已知△ABC 的三边分别交⊙O 于 X、X?、Y、Y?、Z、Z?.若△AYZ、△BXZ、△CXY 的外接圆交于一点 M, △AY?Z?、△BX?Z?、△CY?Z?的外接圆交于一点 M?.求证 OM = OM?. 121 设 H 为△ABC 的垂心,D、E、F 为△ABC 的外接圆上三点,使 AD∥BE∥CF,S、T、U 分别为 D、E、 F 关于边 BC、CA、AB 的对称点.求证 S、T、U、H 四点共圆. 122 △ABC 中,点 X 是直线 BC 上动点,且点 C 在 B、X 之间,又△ABX、△ACX 的内切圆有两个不同的交点 P、Q.证明 PQ 经过一个不依赖于点 X 的动点. 123 已知平面上一个半径为 R 的定圆⊙O,A、B 是⊙O 上两个定点,且 A、B、O 不共线,C 为异于 A、B 的 点,过点 A 作⊙O1 与直线 BC 切于点 C,过点 B 作⊙O2 与直线 AC 切于点 C,⊙O1 与⊙O2 相交于 DC ? 异于 C 点?.证明:?1? CD ≤ R;?2? 当点 C 在⊙O 上移动时,且与 A、B 不重合时,直线 CD 过一定点. 1 1 1 + + ≥ haha? tbtb? mcmc?

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124 AB 为圆?的直径,l 为过 A 的切线,C、M、D 为直线 l 上依次排列的三个点,且 CM = MD,直线 BC、 BD 分别交?于 P、Q.求证在 BM 上存在一点 R 使 RP 和 RQ 均与?相切. 125 ⊙O 为△ABC 的外接圆,三边满足 2BC = AB + AC,M、N 各是 AB、AC 的中点,G、I 各是△ABC 的重 心、内心.试证直线 GI 与△AMN 的外接圆必相切. 126 已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 分别在△A1B1C1 的边 B1G、GA1、A1B1 上使得∠ABC = ∠A1B1C1, ∠BCA = ∠B1C1A1, ∠CAB = ∠C1A1B1.证明△ABC 和△A1B1C1 的垂心与△ABC 的外心一样远. 127 已知 P 是△ABC 内一点,过 P 作 BC、CA、AB 的垂线,其垂足分别为 D、E、F,又 Q 是△ABC 内的一 点,且使得∠ACP = ∠BCQ, ∠BAQ = ∠CAP.证明∠DEF = 90?的充要条件是 Q 为△BDF 的垂心. 128 已知锐角△ABC 的垂心为 H, 内心为 I, 且满足 AC ≠ BC, CH、 CI 分别与△ABC 的外接圆交于点 D、 L. 证 明∠CIH = 90?的充要条件是∠IDL = 90?. 129 已知圆内接四边形 ABCD, 直线 AD 和 BC 交于点 E, 且点 C 在点 B、 E 之间,对角线 AC 和 BD 交于点 F, 设点 M 是边 CD 的中点, 点 N 是△ABM 的外接圆上的不同于 M 的点, 且满足 N 在一条直线上. 130 设点 O 是锐角△ABC 的外心,分别以△ABC 三边的中点为圆心作过点 O 的圆,这三个圆两两的异于 O 的交点分别为 K、L、M.证明点 O 是△KLM 的内心. 131 在边长为 a, b, c, 各边所对的内角为?, ?, ?的△ABC 内有点 P 和 Q 使得∠BPC = ∠CPA = ∠APB = 120?, ∠ BQC = 60? + ?, ∠CQA = 60? + ?, ∠AQB = 60? + ?.证明 ?AP + BP + CP? 3·AQ·BQ·CQ = ?abc? 2. 132 E 为圆内接四边形内任意一点,E 在直线 AiAj 上的垂足为 Pi, j ?1 ≤ i < j ≤ 4?,则 p1, 2 P3, 4、P1, 3 P3, 4、 P1, 4 P2, 3 的中点 X、Y、Z 共线. 133 设△ABC 边 AB、AC 上的旁切圆切点为 C1、B1,内切圆圆心为 O,AO 交外接圆于点 P,PQ⊥AP 交 BC 于 Q.求证 OQ∥B1C1. 134 作一个过点 B、C 的圆和△ABC 的内切圆相切.证明,切点和 A 点的高的中点,以及 BC 上的内切圆切点 共线. 135 P、Q 在△ABC 中,且满足 PA + BC = PB + CA = PC + AB, QA-BC = QB-CA = QC-AB.证明 P、Q 与 内心 I 三点共线. 136 凸四边形 ABCD 对边延长线交于 E、F.证明,角 A 和角 C 平分线的交点、角 B 和角 D 平分线的交点、 角 E 和角 F 外角平分线的交点共线. 137 ⊙O1 与⊙O2 交于 A、B 两点,过 A 作任一割线与两圆交于 P、Q.两圆在 P、Q 外切线交于 R,直线 BR 交⊙?O1O2B?于另一点 S.求证 RS 等于⊙?O1O2B?直径长. 138 已知△ABC,过三边中点 D、E、F 作△ABC 内切圆切线与 EF、DF、DE 交于 L、M、N.求证 L、M、N 三点共线. AN AM = . 证明点 E、 F、 BN BM

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139 双心四边形 ABCD,AC∩BD = E,内、外心为 I、O.求证 I、O、E 三点共线. 140 凸四边形 ABCD 的对角线交于点 M,点 P、Q 分别是△AMD 和△CMB 的重心,R、S 分别是△DMC 和△ MAB 的垂心.求证 PQ⊥RS. 141 设 I 是△ABC 的内心,且⊙I 与 AB、BC 分别切于点 X、Y,XI 与⊙I 交于另一点 T,X?是 AB、CT 的交点, L 在线段 X?C 上,且 X?L = CT.证明,当且仅当 A、L、Y 三点共线时 AB = AC. 142 设△ABC 为非等腰锐角三角形,O 为其外心,△ABC 内点 P 满足∠PAB = ∠PBC, ∠PAC = ∠PCB,Q 在直线 BC 上,满足 QA = QP.求证∠AQP = 2∠OQB. 143 在△ABC 中,圆?B 与?C 分别是与边 AC 和 AB 相切,而与其余二边延长线相切的旁切圆.圆?B?与?B 关于 边 AC 的中点对称;圆?C?与?C 关于边 AB 的中点对称.证明,经过圆周?B?与?C?交点的直线平分△ABC 的周界. 144 设凸四边形 ABCD 中,∠BAC + ∠BDC = 180?,点 A 到 BC 的距离小于 D 到 BC 的距离,P 是 AC 与 BD 的交点.求证? AC 2 AP·CD ? > . BD DP·AB

145 设点 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 上的点,并且△AEF、△BFD、△CDE 的内切圆都与△ DEF 的内切圆外切.求证 AD、BE、CF 三线共点. 146 凸四边形 ABCD 的外接圆圆心为 O,已知 AC ≠ BD,且 AC 与 BD 交于 E,若 P 为 ABCD 内部一点,且 ∠PAB + ∠PCB = ∠PBC + ∠PDC = 90?.求证 O、P、E 三点共线. 147 AB、AC 为⊙O 切线,ADE 为一条割线,M 为 DE 中点,P 为一动点,满足 M、O、P 三点共线,⊙P 为 以 P 点为圆心、PD 为半径的圆.证明,C 点在△BMP 外接圆与⊙P 的根轴上. 148 已知圆内接四边形 ABCD,直线 AD 和 BC 交于点 E,且点 C 在点 B、E 之间,对角线 AC、BD 交于 F, 设点 M 为边 CD 的中点,点 N 是△ABM 的外接圆上的不同于 M 的点,且满足 N 三点共线. 149 △ABC 中 I 为内心,AI、BI、CI 交对边于 D、E、F.求证,过 D、E、F 的圆被△ABC 所截的两弦长之 和等于第三条弦长. 150 锐角△ABC 中,BC > AC > AB,AC 上的点 E 与 BC 上的点 D 满足 AE = BD,CD + CE = AB,BE 交 AD 于 K.求证 KH = 2IO. 151 △ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 中点,CM、BN 为高,EF 交 MN 于 P,O、H 分别为三角形的外心与垂 心.求证 AP⊥OH. AN AM = .证明,E、F、 BN BM

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152 凸五边形 ABCDE 满足∠BAC = ∠CAD = ∠DAE, ∠ABC = ∠ACD = ∠ADE, P 是 BD 和 CE 的交点. 证 明,AP 平分线段 CD. 153 已知△ABC,∠C < ∠A < 90?,D ? AC,且 BD = BA,△ABC 内切圆与 AB、AC 分别切于 K、L.设 J 是 △BCD 内心.证明,KL 平分线段 AJ. 154 锐角△ABC 中,H 为垂心,D ? AB,E ? AC,且 DE 平分 BH 与 CH 的夹角?锐角?,AK 是△ADE 外接圆 的直径.证明 HK 经过 BC 边中点. 155 △ABC 中, AB > AC, O 为△ABC 外心, MN⊥AO 且 M ? AB, N ? AC, BN、 CM、 AP 三线共点于 K ?L ? BC?, H 是△AMN 的垂心.?1? 证明△MNP 外接圆经过定点;?2? 设 BC = a,△ABC 外接圆半径为 R,证明,A 到 HK 的距离 d ≤ 4R 2-a 2 . hb ≤ 3. ma

156 在△ABC 中,ma, mb, mc, ha, hb, hc 分别为 BC、CA、AB 上的中线长和的高长,求证: ∑ 157 设锐角△ABC 的三边长为 a, b, c,R、r 为其外接圆和内切圆半径.证明: r ≤ R 2?2a 2-?b-c? 2 ?+ ?2b 2-?c-a? 2 ? + ?2c 2-?a-b? 2 ? . ?a + b??b + c??c + a?

158 在△ABC 中,D 在 BC 上,E 在 AC 上,F 在 AB 上,有 p△DEF ≥ min {p△CDE, p△BDF, p△AEF },其中 p△XYZ 表示△XYZ 的周长. 159 试证明,对于任意△ABC,都存在唯一一对点 P、Q,使得 P、Q 关于△ABC 互为等角共轭,且满足 PA + QA = PB + QB = PC + QC. 160 圆内接四边形 ABCD 的外接圆圆心为 O,AB∩CD = E,AC∩BD = F,OF 交△DAE 的外接圆于 T.则△ TAC、△TBD 的内心重合,且 T 在△BCE 的外接圆上. 161 圆?1 过△ABC 的 B、C 两点,圆?2 与边 AB、AC 相切,且与?1 内切于点 T,设 I 为△ABC 内心,BI∩CT = R,CI∩BT = Q.设?2 内切 AB、AC 于 N、M,MN∩BC = P.求证:?1? ∠BTI = ∠CTI;?2? P、Q、R 三点共线. 162 对于△ABC,记 N?为九点圆圆心 N 的等角共轭点,设 OA、OB、OC 是△BOC、△COA、△AOB 的外接圆 圆心,设 A?、B?、C?分别为 A、B、C 关于 BC、CA、AB 的对称点.求证:?1? AOA、BOB、COC 三线共点 于 N?;?2? △AOA?、△BOB?、△COC?、△AB?C?、△BC?A?、△CA?B?外接圆共点于 Q,且 Q 是关于△ABC、 N?的反演点. 163 设△ABC 内切圆切 BC、AB、AC 于 D、F、E,AD 与内切圆交于与 D 不同的另一点 T,TD 中点为 M,TC、 TB 交内切圆于 U、V ?不同于 T?.求证 O、M、U、V 四点共圆. 164 设 L 在△ABC 的边 AB 上,延长 CA 至 K 使∠CKB = △AMK 的外心为 O,则 OL⊥BC. 1 1 ∠CLB,延长 CB 至 M 使∠CMA = ∠CLA.设 2 2


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