安徽省涡阳四中2013届高三第六次月考数学(文)试题

涡阳四中课改部 2013 届高三第 6 次月考 数学(理)试卷
考生注意: 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)
2 1.已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? ? x | log x 4 ? 2? ,则 A ? B ? (

?

?



A. ??2,1, 2? 2.若 tan α=2,则 A.0

B. ?1, 2?

C. ??2, 2? ) 5 D. 4

D. ?2?

2 sin? ? cos? 的值为( sin? ? 2 cos?

3 B. 4

C.1

2 3.下面是关于复数 z= 的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z 的共轭复数为 1+i,p4:z 的 -1+i 虚部为-1,其中的真命题为( A.p2,p3 B.p1,p2 ) C.p2,p4 D.p3,p4 )

4. 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( 6?
π 个单位 3 π D.向右平移 个单位 3
B.向左平移
2 2

π 个单位 6 π C.向左平移 个单位 6
A.向右平移

5. 已知递减的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a9 ,则 a5 ? ( A. -1 B.0 C.-1 或 0 D.4 或 5



6.已知某几何体的三视图如图 3 所示,其中,正视图,侧视图均是由三 角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得 此几何体的体积为( A. ) B.

2 1 π+ 3 2

4 1 π+ 3 6

C.

2 1 π+ 6 6

D.

2 1 π+ 3 2

x2 y2 3 7. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以 a b 2 这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 8 2 12 6 16 4 20 5 8. 函数 y ?

cos6 x 的图象大致为( 2x ? 2? x



1 9. 设函数 f(x)= ,g(x)=-x2+bx.若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1, x y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( A.x1+x2>0,y1+y2>0 C.x1+x2<0,y1+y2>0 ) B.x1+x2>0,y1+y2<0 D.x1+x2<0,y1+y2<0

10. 现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡 片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为( A.232 B.252 C.472 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上. D.484 )

11. 曲线

y ? ex ? x

在点

1? ? 0, 处的切线方程为

? x ? 0, ? 12. 若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x, 则z ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
13. ?a ? x ? 1 ?

? x ? 2 y 的最大值为

.

?

x 的展开式中 x 2 项的系数是 15,则展开式的所有项系数的和是
.
x?1

?

5

.

?2? x ? 1, x ? 0, ? 14. f ? x ? ? ? 若 f ? x0 ? ? 1 ,则 x0 的取值范围是 ? x , x ? 0, ?
15. 如果直线 2ax ? by ? 14 ? 0 ? a ? 0, b ? 0? 和函数 f ? x? ? m
2 2

?1? m ? 0, m ? 1? 的图象恒过同一
b 的取值范围 a

个定点,且该定点始终落在圆 ? x ? a ? 1? ? ? y ? b ? 2 ? ? 25 的内部或圆上,那么

是_______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知向量吗 m ? ? sin 2 x ? ?n, x ? R . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 x ? ?0, ? ,求函数 f ( x ) 值域. 2

? ?

?1 ? 3 1+ cos 2 x ? sin 2 x, 2sin x ? ,设函数 f ( x) ? m ,sin x ? ,n ? ? cos 2 x ? ?2 ? 2 2 ? ? ?

? π? ? ?

18.(本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比 为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 an 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

S2 . b2

1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

19.(本小题满分 12 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约 定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参 加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X-Y|,求随机变量 ξ 的 分布列与数学期望 Eξ.

20.(本小题满分 13 分) 如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明 理由; (3)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30° ,求 AB 的长.

21.(本小题满分 13 分) 1 5 如图 7,在直角坐标系 xOy 中,点 P?1,2?到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离为 .点 M(t,1) ? ? 4 是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

22.(本小题满分 13 分) 1 已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 在 x=- 处的切线的斜率为 1. 2 (1)求 a 的值及 f(x)的最大值; 1 1 1 (2)证明:1+ + +…+ >ln(n+1)(n∈N*) ; 2 3 n (3)设 g(x)=b(ex-x),若 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 b 的取值范围.

6. C【解析】由三视图可知,该几何体的上方是一个直三棱锥(三棱锥的底面是腰长为 1 的等腰直角 三角形,高为 1) 下方是一个半径为 ;

1 2 的半球.故所求几何体的体积为 ? 12 ? 12 ? 2 2

1 1 1 4 V ? ? ? 1? 1? 1 ? ? ? 3 2 2 3

? 2? 2π 1 π?? ? 2 ? ? 6 ?6. ? ? ?
7. D【解析】由离心率为 点组成的 四边形的面积为 16 可得在第一象限的交点坐标为(2,2),代入选项 A、C、D,知选项 D 正确. cos6x 8.D【解析】由函数 y= x - 为奇函数,排除选项 A,当 x 无限大时,y 趋向于 0,排除选项 C,当 2 -2 x x 从正数趋向于 0 时,y 趋向于正无穷大,故选 D. 3 得,a2=4b2,排除选项 B,双曲线的渐近线方程为 y=± x,与椭圆的四交 2

3

9. B【解析】当 y=f(x)的图象与 y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点时,其图象为

? x ? 0, ? 12. 6 【解析】作出不等式组 ? y ? x, 表示的可行域(如下图阴影部分所示,含边界) ,可知当 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
直线 z ? x ? 2 y 经过直线 y ? x和直线x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点 A? 2, 2? 时, z ? x ? 2 y 取得最大 值,且 zmax ? 6 .

13. 64 【解析】易知 1 ?

?

x 的展开式中 x , x 2 项的系数分别是 10,5,所以 ?a ? x ? 1 ? x 的
5
5

?

?

?

2 展开式中 x 项的系数是 5a ? 10 , 所以有 5a ? 10 ? 15 , 解得 a ? 1 , 所以令 ?a ? x ? 1 ?

?

x 中的 x ? 1

?

5

即可得展开式的所有项系数的和,因此有 ?1 ? 1? 1 ? 1

?

?

5

? 2 ? 25 ? 26 ? 64 .

14.

? ??, ?1? ? ?1, ???
?3 4?

【解析】 f ( x0 ) ? 1 ? ?

? ? x0 ? 0, ? x0 ? 0, 或? 解得 x0 ? ?1 或 x0 ? 1 . ? x0 ?2 ? 1 ? 1 ? x0 ? 1, ?

15. ? , ? ?4 3? .将点

【解析】根据指数函数的性质,可知函数 可得 ? ?1, 2? 代入 2ax ? by ? 14 ? 0 , a ? b ? 7 .

f ? x ? ? mx?1 ?1? m ? 0, m ? 1?
由于点

恒过定点

? ?1, 2?

圆上,所以 a 2 ? b2 ? 25 . 由 ? a ? b ? 7,

? 2 2 ? a ? b ? 25,
a

? ?1, 2? 始终落在所给圆的内部或 解得 或 ,这说明点 ? a ? 3, ? a ? 4, ? a, b ? 在以 A?3,4? 和
? ?b ? 4, ? ?b ? 3,
. ?3 4? ?4 , 3? ? ?

B ? 4,3?

为端点的线段上运动,所以 b 的取值范围是

17. 解 : (1)设 ?an ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) d ? 3 . ,
故 an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3
n ?1

.

(2)由(1)可知, Sn ? 所以 cn ? 故 Tn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

1 2 2?1 1 ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ??1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? … ? ? n ? n ? 1 ?? ? 3 ?1 ? n ? 1 ? ? 3 n ? 1 . 3 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

→ → → 19. 解:(1)以 A 为原点,AB,AD,AA1的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标 a → → 系(如图).设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E?2,1,0?,B1(a,0,1),故AD1=(0,1,1),B1E= ? ? → → ?-a,1,-1?,AB1=(a,0,1),AE=?a,1,0?. ? 2 ? ?2 ? a → → 因为AD1· 1E=- ×0+1×1+(-1)×1=0, B 2 所以 B1E⊥AD1.

(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0),

→ 使得 DP∥平面 B1AE.此时DP=(0,-1,z0). 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z).

?ax+z=0, ? → → 因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥AB1,n⊥AE,得?ax ? ? 2 +y=0. a 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=?1,-2,-a?. ? ? a 1 → 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP,有 -az0=0,解得 z0= . 2 2
1 又 DP?平面 B1AE,所以存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= . 2

?2pt=1, ?p=1, ? ? 20.解: (1)由题意知? p 5 得? 2 ?1+2=4, ?t=1. ? ?
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m),

由题意知,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0). ?y2=x1, ? 1 由? 2 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2. ? ?y2=x2, 故 k· 2m=1. 1 所以直线 AB 方程为 y-m= (x-m),即 x-2my+2m2-m=0. 2m ?x-2my+2m2-m=0, ? 由? 2 消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0, ? ?y =x 所以 Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·2=2m2-m. y

1 1+ 2· 1-y2|= 1+4m2· 4m-4m2. |y k |1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= . 1+4m2 1 设△ABP 的面积为 S,则 S= |AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2. 2 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 1 令 u= m-m2,0<u≤ ,则 S=u(1-2u2), 2 1 2 设 S(u)=u(1-2u ),0<u≤ ,则 S′(u)=1-6u2. 2 1 6 6 6 由 S′(u)=0 得 u= ∈?0,2?,所以 S(u)max=S? ?= . ? 6 ? ?6? 9 6 故△ABP 面积的最大值为 . 9 从而|AB|=

法二:用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,左边=1=lne,右边=ln2,所以左边>右边,不等式成立. 1 1 1 ②假设当 n=k 时,不等式成立,即 1+ + +…+ >ln(k+1). 2 3 k 1 1 1 1 1 那么 1+ + +…+ + >ln(k+1)+ , 2 3 k k+1 k+1 由(1) ,知 x>ln(1+x)(x>-1,且 x≠0).

令 x=

k+2 1 1 1 ,则 >ln(1+ )=ln , k+1 k+1 k+1 k+1

k+2 1 所以 ln(k+1)+ >ln(k+1)+ln =ln(k+2), k+1 k+1 1 1 1 1 所以 1+ + +…+ + >ln(k+2). 2 3 k k+1 即当 n=k+1 时,不等式也成立.…………………………………(10 分) 根据①②,可知不等式对任意 n∈N*都成立. (3)因为 f(0)=0,g(0)=b,若 f(x)≤g(x)恒成立,则 b≥0. 由(1) ,知 f(x)max=f(0)=0. ① 当 b=0 时,g(x)=0,此时 f(x)≤g(x)恒成立;


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