陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 向量的加法和减法例题讲解素材 北师大版必修4

例题讲解:向量的加法和减法
本单元重点要求学生掌握向量的几何与加减运算和数乘运算, 故要安排范例与足够的练 习, 使学生对向量的线性运算有相当的掌握. 向量共线论证与平面向量分解是用向量证明几 何命题基础,也应配备适当例题,提高学生这方面能力,开始还要给出一些辨识相等向量的 图形和使用向量各种表示记号的训练. 例 1.如图 5-4 已知梯形 ABCD 中,两底角∠A =∠B=60°,E 为 AB 中点,且 ED∥BC, 适当添加箭头后,写出分别与向量 AE 、 AD 、 DE 相等的向 量. 由已知可断定(?)图中 3 个正三角形全等. 故与 AE 相等的向量有 DC 、 EB . 与 AD 相等的向量有 EC . 与 DE 相等的向量有 CB .

例 2.用五边形 ABCDE,作出下列向量: (1) AB , BC , CD , DE ; (3) AB + CD + DB + BE ; 如图 5-5 (1)略 (2)即 AC (3)原式= AE ? CB 过 B 作 BF ∥ AE 原式= CB ? BF ? CF (4)原式= AE ? AB ? BC ? AE ? AC = AE + CA = CE 还可以写更复杂的已知向量的线性组合让学生练,但也要适可而止. (2) AB + BC ; (4) AE ? AB ? BC .

?

?

例 3.如图 5-6,

ABCD 中 E、F 分别是 BC、CD 的中点,若记 AE ? e , AF ? f ,试

1

用 e 、 f 表示向量 AB 、 AC 、 AD 和 DB 从图中可知由 e 、 f 可先求出 DB =2 FE =2 e -2 f 若记 AB = x , AD = y

1 1 x , BE = y 2 2 1 1 而有 x + y = e , y ? x ? f 2 2
则 DF = 联立以上二式,可得 AB = x = 而 AD ? y ?

4 2 e? f 3 3

4 2 f ? e 3 3

∴ AC = AB ? AD ?

2 e? f 3

?

?

例 4.证明三角形中位线定理. 已知:图 5-7 中 D、E 分别是边 AB、AC 的中点, 求证:DE∥

1 1 BC 且 DE= BC. 2 2

证明:D、E 分别为 AB、AC 的中点

AD ?

1 1 AB , AE ? AC 2 2
1 1 AC ? AB = BC 2 2

DE ? AE ? AD ?
∴ DE∥

?

?

1 1 BC 且 DE= BC. 2 2

例 5.图 5-8,△ABC 中,点 C 分 OA 边为 1∶3,点 D 分 OB 边为 2∶3,AD 与 BC 交于点

P,延长 OP 交 AB 于 E,求 E 点分 AB 所成的比,
解:记 OA ? a , OB ? b ,则 OC =

2 1 a , OD ? b 5 4

∵ 点 P 在直线 AD 上,存在 t ? R 使 AP ? t AD = t OD ? OA ∴ OP ? OA ? AP ? ?1 ? t ?OA ? tOD

?

?

P

2

∴ OP =(1-t ) a +

2 tb 5



相仿由点 P 在 BC 上可得 OP =(1-m) b + 比较①、② 求出 t = ∴ OP =

1 ma ② 4

5 , 6
③ ④

1 1 a+ b 6 3

又由点 E 在 AB 上可有 OE ? S a ? ?1 ? S ?b ∵ OE 与 OP 共线, OE = ? OP = 比较④、⑤可得 S = ∴ OE ?

?
6

a?

?
3

b



1 3

1 2 a? b 3 3

∴ AE ? OE ? OA ? ∴ 则

2 2 b ? a ? AB 3 3

?

?

AE ?

2 AB 3

AE : EB =2∶1

而点 E 分 AB 边的比为 2∶1

3


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