教育部课题2011入学高二(3、4)班必修2教学随笔

2011 入学高二(3、4)班必修 2 教学随笔
柱、锥、台、球的结构特征 一、⑴、收心 暑假玩的愉快,于是心散了。又到读书的日子了,该收收心且收心要快,马上进入学习 状态。 ⑵、作息时间要有规律。 暑假里许多同学可能日夜颠倒黑白不分,通宵、不按时吃饭。我不知道同学们有没有假 期综合症,读书的日子又到了,希望同学们有规律的作息。因为身体是革命的本钱。 ⑶、制定学习计划。 不规矩无以成方圆,无计划不能成大事。我希望同学们制定一个操作性强的计划,这计 划是可以实现的也是做得到的。 制定计划有个技巧就是把大目标分解成几个小目标, 一个个 的实现。 ⑷、只有自己才能救自己 世上没有神仙,没有救世主。我只是尽力教你们。我是外因,你们自己是内因。外因只 有通过内因才会产生作用。 二、分类 大千世界,无“所”不有。你想得到的物体(几何体)有,你想不到的物体(几何体)也 有。我们如果要研究它们,首先要干什么? 首先要给它们分类。如何分类? 我们可以有大到小、有粗到细、一层层的分下去。类比于:

? ?欧洲 ? ? ?西半球?北美 ??? ? ? ? ? ? ? ?杭州市 ? ? ? ? ? ? ?浙江省?温州市 ? ? ? ? ?台州市 ? ? ? ? ??? 全球? ? ? ? ? ? ? ?东半球?中国?广东省 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?日本、韩国等等 ? ? ?
还有不同分法吗? 答:分类标准不同,分法不同。

? ? ? ?杭州市 ? ? ? ? ? ? ?浙江省?温州市 ? ? ? ? 台州市 ? ? ? ? ??? 中国? ? ? ? ? ? ? ? ? ?广东省 ? ? ??? ? ?北半球? ? ? ? ? ? ?俄罗 全球? ? ? ?朝鲜 ? ? ? 日本 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 巴西 ? ? ? ?南半球?澳大利亚 ??? ? ? ?
但如果宏观分类,则分成规则几何体、不规则几何体。我们先要学习规则几何体。

? ? ? ?三棱柱 ? ? ? ? ? ? ?棱柱?四棱柱 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?三棱锥 ? ? ? ? ? ?多面体?棱锥?四棱锥 ? ? ? ??? ? ? ? ? ?规则几何体? ? ? ?三棱台 ? 空间几何体? ? ? ? ?棱台?四棱台 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圆柱 ? ? ? ? ?圆锥 ? ? ?旋转体?圆台 ? ? ? ?球 ? ? ? ? ? ?不规则几何体 ?

换个角度进行分类

? ?棱柱 ?柱体? ?圆柱 ? ? ?棱锥 ? 棱台 ? 空间几何体?锥体? ?圆锥 ? 圆台 ? ?球 ? ? ?
柱:是建筑物中垂直的主结构件,承托在它上方物件的重量。 锥:一头尖锐,可以扎窟窿的工具 二、 同学们学到这里要有这样的感觉那就是数学是自然的不别扭的。 不管是空间几何体 的几何特征还是概念比如上底面、 下底面、 侧棱都不需要去死记硬背的, 而是自然而然的事。 如果同学们觉得不自然说明你与数学不亲密很疏远。

空间几何体的三视图 一、概念
世间万物纷争复杂犹如云雾缭绕,雾里看花,怎么也看不清楚。单单就说物 体的影子是怎么来的你能理出头绪吗?我们的思路改如何发展下去? 我们知道复杂物体可以分解成简单物体。比如举几个例子: 1、简单组合体就可以由棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球构成。 2、分子有原子组成,原子有质子、中子、电子组成。分子又组成物体。 所以复杂投影可以分解成几种简单且基本的投影。复杂投影相当于分子,基本投 影相当于原子。 那基本投影有哪几个呢? 中心投影和平行投影

于一点 ?中心投影:投影线相交 ? ?斜投影 ? 投影的分类? ? 影绘制空间图形的 ?平行投影?正投影(本节主要学习利用正投 ?三视图了解该空间图形 ? 的特征) ? ?
二、

z
正 图 视 侧 图 视

换个角度理解:1、正 视图和侧视图是 z 轴方向 2、侧视图、俯视图 y 轴方 向 3、正视图和俯视图 x 轴方向

x
俯 图 视

O _

y

三、总结
今天我们讲三视图,三视图可是大有文章可做。 人类认识事物有这样的规律。 一.感觉阶段 感觉是事物直接作用于感觉器官时对事物的个别属性的反映。 二.知觉阶段 这是对直接作用于感觉器官的对象和现象的各种不同属性和部分的总和所发生的反映。 感觉是知觉的基础。 三.表象阶段 表象是当前没有作用于感觉器官的对象和现象在头脑中产生映象。 表象是对过去的知觉 进行加工和概括的结果。 以上三个阶段总称感性认识阶段。 感性认识是认识的初级阶段, 是人们对事物的各个片 面、现象和外部联系的反映。感性认识包括密切相联、依次发展的三种形式:感觉、知觉、 表象。它的特点是直接性和形象性,是经验的。 我举个例子, 今天我们同学反映就是一个圈围绕着一条直线旋转形成一个轮胎, 同学们 想象不出来, 因为现场没有轮胎。 这说明什么?同学们对空间想象能力的认识还超不出表象 阶段。我们有感觉阶段、有知觉阶段,但上升不了表象阶段。 以下阶段称为理性认识阶段,分为两个子阶段。 知性思维阶段,理性思维认识阶段。什么意思?我举个例子。 就是瞎子摸象的例子,但略有改变。我们人类认识事物时我们就相当于一个瞎子,因为 眼睛是没用的。比如研究分子、原子、电子,这些微观事物,或遥远的星系这些宏观事物。 同学们可能会说有显微镜、望远镜啊,说的难听点这些是近视眼,并且近视的度数很高,大 概有近视 1000 度。我们人类认识事物相当于一群瞎子在认识一头大象。而一头大象生活在 一定的时空中,从出生到死亡,我们是选一个时空的一个片段,比如三岁时的大象,是静止 的, 但实际上大象在时空中从出生到死亡一直在变化。 刚开始认识时, 会说这个事物好高啊, 好大啊、怎么推也推不到,好重啊。这些是感性认识,是经验。积累了许多感性认识就是经 验。于是四个瞎子分别研究大象的四只脚,一个瞎子研究尾巴,一个瞎子研究头,等等。也 就是把一头大象分成许多部分进行研究,这就是知性认识,但知性认识是事物的局部认识。 它得到的是脚怎样的性质,尾巴怎样的性质、头怎样的性质,这是一到多的认识,也就是把 一个整体分成许多部分。我们得到的是许多局部认识。这些是知性阶段。最后我们把对局部 的分析进行综合就可以得到事物的整体认识, 这是多到一。 也就是把许多局部或部分综合起 来得到整体。得到大象是什么。知性是得到脚是什么,尾巴是什么,头是什么。并且知性认 识是认识事物在时空中一个时刻的一个部分认识。 合起来就是理性认识。 这就是理性思维阶 段。

这些跟三视图有什么关系。 对于一个事物说的简单点就是从六个方向进行认 识,上下、左右、前后。也就是把事物分解成六个部分,对每个部分进行认识,

这像知性认识。 要注意三视图的前提是我们已经越过了感性认识阶段。要对事物 进行知性认识了。但高中又降低要求,不从六方向从三个方向进行认识。同学们 看书, 从哪三个方向认识?我们能不能达到理性认识,就是把三视图还原成一个 物体。 中心投影、平行投影不改变什么?不改变平行性,线段比。 大小关系,侧视图和正视图高度一样,俯视图与正视图长度一样,侧视图与 俯视图宽度一样。 通用技术课,讲劳动技能比如维修汽车的零件。
百度知道: 我现在在学机戒制图,但是觉得迷茫,不知道现在学的有什么用,我现在学的那 些螺丝等等什么的要不要记啊? 首先我要告诉你学机械制图是很有用处的, 除非你不做机械行业. 学这个不紧要把一些 国际标准记住,再就是还要多练习哦,就是要在电脑上进行制图练习哦.就拿我学的汽车来 说,学机械制图看上去没有什么用,但只要从事汽车设计,或者是汽车维修还是有用的,最 少能看懂零件图啊,通过三视图就知道了这零件长什么样了啊,也就知道怎么维修了啊.如 果你厉害点那也就只了怎样设计零件了哦. 怎么会说没有用呢?只不过是刚学的时候由于理 论多,比较容易混淆而已,没事的,那理论巩固了,再多练习哦 朋友,多学东西还是有用的哦!书到用时方恨少!

空间图形的直观图
一、思考 1:把一个矩形水平放置,从适当的角度观察,给人以平行四边形的感觉,如图. 比较两图,其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生变化? 以上是什么意思? 也就是第一个矩形是把平面(黑板)当成平面,所以看过去矩形就是矩形。如果把平 面(黑板)当成空间,那在这个空间中有个水平的平面,那矩形在这个平面内放置会是什么 图形?把平面当成平面所以图形没有给我们立体感, 把平面当成空间那画出的图形就会给我 们立体感。

二、思考 2:把一个直角梯形水平放置得其直观图如下,比较两图,其中哪些线段之间 的位置关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生变化?什么意思? 也就是第一个直角梯形是把平面(黑板)当成平面,所以看过去直角梯形就是直角梯 形。如果把平面(黑板)当成空间,那在这个空间中有个水平的平面,那直角梯形在这个平 面内放置会是什么图形?把平面当成平面所以图形没有给我们立体感, 把平面当成空间那画 出的图形就会给我们立体感。

思考 1 与思考 2 哪个立体感强?有时候立体感不强是因为旁边没有线、面当陪衬。 1、 如果学生觉得水平放置的平面图形所在的水平平面没有立体感, 你可以画个长方形, 拿出一个角示范。 三、问题提出 1.把一本书正面放置,其视觉效果是一个矩形即把平面(黑板)当成平面画出图形;把 一本书水平放置, 其视觉效果还是一个矩形吗?即把平面当成了空间, 在这个空间内有个水 平的平面,书在这个平面上,图该如何画?。这涉及水平放置的平面图形的画法问题. 2.对于柱体、锥体、台体及简单的组合体,在平面上应怎样作图才具有强烈的立体感? 这涉及空间几何体的直观图的画法问题. 3、通俗说法原图形即事物的本来面目,直观图即是处理后的图。

空间几何体的表面积与体积
0、若是教室是天堂,考上重点有希望。 1、初中是记住公式去套,到了高中有什么要求提高? 高中是不但考结果更考过程。表面积、体积的公式的来龙去脉要搞懂,也考表面积、体 积的来龙去脉。 2、不规则几何体转化为规则几何体 3、注意求表面积时规则和不规则各计算几次? 4、爱因斯坦连光速是多少也记不住,人家问你是大科学家怎记不住?他说已经知道的 东西记它干嘛,用到查一下就可以了。 有句名言:人脑是用来思考的,不是用来储存的。爱因斯坦连光速的只都记不住那! 他说书上有,我用不着记它。 所以高考一些几何体的表面积公式和体积公 式不需要记忆。 5、空间问题要转化为平面问题。 6、例 3 如图,圆柱的底面直径与高都等于 球的直径,求证: (1)球的体积等于圆柱体积的 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 反思:曾经一个伟大的数学家要求死后在墓 碑上刻上圆柱容球图形。同学们觉得这结论很简 单,怎么刻这个图形?你知道这个数学家是谁 吗?他就是古希腊的阿基米德。在几千年前如此 简单的知识却是世界上只有顶尖的数学家才能知 道。我们人类是一天比一天聪明。 牛顿的运动三大定律在牛顿时代也是只有世界上顶尖的物理学家才能发现和研究,现 在都已经进入高中课本。 爱因斯塔的相对论刚发现时世界上只有 5、6 个人懂,现在又几千万人懂相对论,只过

去了几十年。而且相对论在高中是选修内容,这说明一些高中同学也懂相对论。 我们人类是一天比一天聪明。

2.1.1 平面
一、必修 2 第一章复习参考题情况 懂的已经懂了,会的已经会了,不懂的还是不懂,不会的还是不会。如果集体讲解无法 改变这种情况。大概懂、会的占三分之二。如果想改变这种情况只能是一对一辅导,请同学 们课外到我办公室一对一辅导。 二、引言 上一章我们是从整体的角度对许多几何体进行了认识, 这一章我们主要是从局部角度对 几何体进行认识。局部角度就是从构成几何体的基本元素:点、直线、面来认识。我们从整 体到局部,从局部到整体,这也是符合认识的规律。 比如:从小到大,我们先是知道正方体、长方体的。比如我们教育子女。“宝宝,这是 正方体,这是长方体。”我们不会这样教的。“宝宝,这是点,这是直线,这是面。” 初中学习了点、直线概念。到高中我们首先要学习平面概念 三、⑴、学习数学有什么用? 荷兰数学家弗赖登塔尔的,他说: “与其说是学习数学,还不如说是学习‘数学化’ ;与 其说是学习公理系统,还不如说是学习‘公理化’ ;与其说是学习形式体系,还不如说是学 习‘形式化’” 。 数学教育家米山国藏指出: “学生进入社会后,几乎没有机会应用它们在初中或高中所 学到的数学知识,因而这种作为知识的数学,通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了,然 而不管从事什么业务工作, 那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法, 却长期地在他们 的生活和工作中发挥着重要作用。 ” 所以学习数学,数学忘记了,但数学化不会忘记,学习公理,公理忘记了,但公理化不 会忘记,学习形式体系,形式体系忘记了,但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形 式化一辈子都对你产生影响。 ⑵、中国人的思维缺陷 1、不证而论 比如不懂逻辑学上的“充足理由律” ,给出论点来往往不证而论,只有论点,没有论据。 2、以“经典、经验”作为论据 总结:中国数学是经验型的,结构松散毫无逻辑,中国人做事也不讲逻辑。 西方人思维优点 擅长逻辑, 比如平面几何的公理系统, 从几个公理出发当成原点推出定理、 性质、 推论。 或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论,每一步都有论据,这论据要么是公 理要么是定理、 性质、 推论。最后形成严密的公理化系统, 注意是严密,或严密的逻辑系统。 逻辑学就是发达于西方 学习数学有点就是学习西方人如何思维。 参考文章: 《中国人思维的五大缺陷》作者:芦笛 ⑶、什么是公理?那就是不证自明非常显然的事实,公理是我们证明的原点或起点,从 原点或起点出发到达我们要到的地方。证明先从公理开始。证明的起点是显而易见的事实, 这事实就是公理。公理是去证别人而自己是不能证明的。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、⑴在平面中直线与直线之间的位置关系有几种事实?注意是事实。事实是什么意

思?即它是客观存在的,这种事实是不以人的主观努力而改变的,不以人的意志而转移的, 不管人有没有在,它总是存在着,就算人类灭亡了,它也依旧存在。我们人类只不过是发现 它们,不是发明它们。 答:相交或平行。 ⑵、 在空间中直线与直线的位置关系有几种事实?注意是事实。 这种事实是不以人的主 观努力而改变的,不以人的意志而转移的,不管人有没有在,它总是存在着,就算人类灭亡 了,它也依旧存在。我们人类只不过是发现它们,不是发明它们。 答:异面直线。 就像刚出生的婴儿要取个名字,以及给名字内含,于是要定义。且名字要取得形象和直 观。异面直线是我们刚发现的新事物,注意:数学上的名字不会无缘无故取的,每个名字都 有内含和历史。。 ) ⑶、如何定义?不在一个平面内的两条直线称异面直线可以吗? 答:不可以。不在一个平面内那就在另一个平面内。所以是不在任何一个平面内。 1、在平面中直线和直线的位置关系只有两个儿子,在空间中有且只有三个儿子,没有 第四个儿子。我只有一个儿子。 2、正面:不在任何一个平面内即不共面。反面:在一个平面内即共面。 二、1、问平面图形的结论都可以推广到空间中来吗? 答:一般要经过证明,在平面中结论是正确的,在空间中不一定。比如在平面中同事垂 直于一条直线的两条直线平行在空间中是不成立的。 三、 两条异面直线所成的角研究思路就是把空间问题转化为平面问题, 可以转化的原因 是等角定理。

文科班如何高考中榜?
今年我校文科本科 20 几人, 所以在文科班想考本科的算每班 15 人。 根据浙江省高考命 题组长的意思,如果学生只会理解概念、公式然后去套,那只能考个高职或专科。我希望想 考本科的要超越这种东西。我们文科班算每班 43 人。一些人还不理解概念和公式,所以谈 不上去套。对于这样的同学,第一步去理解概念和公式,第二步去套。我上课尽力都抽出时 间上些习题课。因为许多同学问这节课题目是如何出的。星期一习题课。我上课的第一个目 的就是让同学先理解概念和公式,在习题课中学习如何去套,考本科的要如何超越这个套。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
一、⑴在平面中直线与直线之间的位置关系有几种事实?注意是事实。事实是什么意 思?即它是客观存在的,这种事实是不以人的主观努力而改变的,不以人的意志而转移的, 不管人有没有在,它总是存在着,就算人类灭亡了,它也依旧存在 。我们人类只不过是发现 它们,不是发明它们。 ⑵、 在空间中直线与直线的位置关系有几种事实?注意是事实。 这种事实是不以人的主 观努力而改变的,不以人的意志而转移的,不管人有没有在,它总是存在着,就算人类灭亡 了,它也依旧存在 。我们人类只不过是发现它们,不是发明它们。 (3)、在空间中直线与平面的位置关系有几种事实?注意是事实。这种事实是不以人的 主观努力而改变的,不以人的意志而转移的,不管人有没有在,它总是存在着,就算人类灭 亡了,它也依旧存在 。我们人类只不过是发现它们,不是发明它们。 在平面中直线和直线的位置关系只有两个儿子, 在空间中有且只有三个儿子, 没有第四 个儿子。我只有一个儿子。 问:在空间中直线与平面的位置关系有几个儿子?有且只有几个儿子?

(4)、在空间中平面与平面的位置关系有几种事实?注意是事实。这种事实是不以人的 主观努力而改变的,不以人的意志而转移的,不管人有没有在,它总是存在着,就算人类灭 亡了,它也依旧存在 。我们人类只不过是发现它们,不是发明它们。 即在空间中平面与平面的位置关系有几个儿子?有且只有几个儿子? (5)当我们发现一个新事物时就像刚出生的婴儿要取名要赋予名字以内涵。

直线与平面平行的判定
总结:记住概念、公式然后去套有生搬硬套和活套。 一、我们知道直线与平面的位置关系有三个儿子。同学们大儿子很重要,二儿子和小儿 子先放一边。我们这节课就是如何判断这个东西是不是它的大儿子。 二 1、同学们,虽然这个定理是从生活生产实践中总结出来也是非常显然非常明显的, 是我们发现的,但它不是公理而是定理,因为我们可以把它证明出来。 同学们有没有发现西方人没事找事做, 吃饱了撑着?正因为西方人的这种刨根究底的精 神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验,没有证明的迹象。 2、同学们,我们判断线面平行的思路是把空间问题转化为平面问题即线面平行转化为 线线平行。

平面与平面平行的判定
一 1、平面与平面的位置关系有两个儿子,大儿子很重要,我们这节课是如何判断你是 不是它大儿子。 2、你会脱离长方体这个模型自己构造一个立体图来分辨吗?】 3 面面平行,通常可以转化为线面平行来处理. 基本思路:线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行。空间问题最终转化为平面问题。 同学们,虽然这个定理是从生活生产实践中总结出来也是比较非常显然比较非常明显 的,是我们发现的,但它不是公理而是定理,因为我们可以把它证明出来。 同学们有没有发现西方人没事找事做, 吃饱了撑着?正因为西方人的这种刨根究底的精 神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验,没有证明的迹象。

2.2.3 直线与平面平行的性质
一、我们知道直线与平面的位置关系有三个儿子,大儿子很重要。其他二儿子和三儿子 次之。 前面节课我们探讨了如何判断某个人是不是它大儿子, 这节课我们主要学习它的大儿 子又什么性质。 同学们,虽然这个定理是从生活生产实践中总结出来也是比较非常显然比较非常明显 的,是我们发现的,但它不是公理而是定理,因为我们可以把它证明出来。 同学们有没有发现西方人没事找事做, 吃饱了撑着?正因为西方人的这种刨根究底的精 神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验,没有证明的迹象。 二、例 2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行这个平面,求证:另一条也平行这 个平面。 同学们这个结论实在是太明显太显然了, 比公理 3 还显然, 但注意它不是公理而是可以 证明出来的性质, 这在平时的证明中可以当定理使用。 注意我们证明题目时的论据都是来自 于教材,教材之外的不会考到,虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做, 吃饱了撑着?正因为西方人的这种刨根究底的精 神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验,没有证明的迹象。

2.2.4 平面与平面平行的性质
一、我们知道平面与平面的位置关系有两个儿子,即大儿子和二儿子。上节课我们探讨 了如何判断某个人是不是它大儿子。 二儿子不太重要。 现在我们来探究这个大儿子有什么性 质。 二、例 1、求证:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等 同学们这两个个结论实在是太明显太显然了, 比公理还显然, 但注意它不是公理而是可 以证明出来的性质, 这在平时的证明中可以当定理使用。 注意我们证明题目时的论据都是来 自于教材,教材之外的不会考到,虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做, 吃饱了撑着?正因为西方人的这种刨根究底的精 神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验,没有证明的迹象。

3.1.1 直线倾斜角与斜率
一、 同学们知道在麦克尔-哈特的历史上影响最大的 100 人 吗?当今有了互联网同学们 只要百度下就可以了,笛卡尔名列 65。同学们,做人就要改变世界。 笛卡尔是谁? 勒内· 笛卡儿(,1596 年 3 月 31 日-1650 年 2 月 11 日) ,生于法国安德尔-卢瓦尔省的 图赖讷拉海(现笛卡尔,因笛卡儿得名) ,1650 年 2 月 11 日逝世于瑞典斯德哥尔摩,是法 国著名的哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献,因将几何坐 标体系公式化而被认为是解析几何之父。 他还是西方现代哲学思想的奠基人, 是近代唯物论 的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人,开拓了 所谓“欧陆理性主义”哲学。 在笛卡尔之前,几何和代数是老死不相往来,各自分开。是笛卡尔让几何代数联系在一 起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明,几何问题可以归结成代数问题,也可以通 过代数转换来发现、证明几何性质。 比如点有个坐标,但直线由点组成,所以直线是否有代数形式,这很新鲜的。我们知道在 几何中两直线由相交、平行,那反应在代数上会是怎么回事,也是很新鲜的。在几何 中有圆,那圆的代数形式是怎样的,在几何中直线与圆有好几种关系,这几种关系如果从 代数角度讲会有新鲜的结论吗? 二、1、当我们求倾斜角是钝角的斜率公式时, ? 不是倾斜角,是 ? 是倾斜角。 2、当我们把倾斜角分成四类求斜率时我们先从锐角推导出斜率公式,我们猜测对其他 三种情况斜率公式也成立这是为什么? 答:大自然是有秩序的是和谐的,上帝创造世界不是乱来的而是按规矩来创造的。如果 其他三种情况也有自己的斜率公式那大自然的秩序就被破坏了,这样的大自然是不美好的

3.2.1 直线的点斜式方程
一、我们知道,在笛卡尔之前,几何和代数是老死不相往来,各自分开。是笛卡尔让几 何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明,几何问题可以归结成代数 问题,也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 其实笛卡尔曾经有个伟大构想,那就是:把一切问题归结为数学问题,把一切数学问题 归结为代数问题,把一切代数问题归结为方程,最后得到关于一个未知数的方程。只要把这 个方程解出来, 就解决了任何问题。 我们知道按当代科技这个构想是不能实现的。 比如化学、

生物学科。就算是数学也不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标,但直线由点组成,所以直线是否有代数形式,这很新鲜的。我们知道 在几何中两直线由相交、平行,那反应在代数上会是怎么回事,也是很新鲜的。在几何中有 圆,那圆的代数形式是怎样的,在几何中直线与圆有好几种关系,这几种关系如果从代数角 度讲会有新鲜的结论吗? 这节课我们讲直线的代数形式,那就是直线的方程。这是很新鲜的东西,在笛卡尔之前 是没有的。 二、确定一条直线需要什么条件,要几个条件? 1、一定点+一方向(倾斜角或斜率) 2、两点确定以直线。 三、在我们学校对于 x ? x?,y ? y? 表示直线是不能理解的,老师要通过函数的概念及 画图来理解。对于 y ? y? 是什么意思?即无论 x 取什么,函数值都= y? ,在图像上都标几个 x 的值。

直线的两点式方程
一、我们知道,在笛卡尔之前,几何和代数是老死不相往来,各自分开。是笛卡尔让 几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明,几何问题可以归结成代 数问题,也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 二、其实笛卡尔曾经有个伟大构想,那就是:把一切问题归结为数学问题,把一切数 学问题归结为代数问题,把一切代数问题归结为方程,最后得到关于一个未知数的方程。只 要把这个方程解出来,就解决了任何问题。我们知道按当代科技这个构想是不能实现的。比 如化学、生物学科。就算是数学也不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标,但直线由点组成,所以直线是否有代数形式,这很新鲜的。我们知 道在几何中两直线由相交、平行,那反应在代数上会是怎么回事,也是很新鲜的。在几何中 有圆,那圆的代数形式是怎样的,在几何中直线与圆有好几种关系,这几种关系如果从代数 角度讲会有新鲜的结论吗? 这节课我们讲直线的代数形式,那就是直线的方程。这是很新鲜的东西,在笛卡尔之前 是没有的。

3.2.3 直线的一般式方程
研究人员发现有些人患有和数学有关的焦虑症。 北京时间 11 月 5 日消息,据国外媒体报道,一项研究显示,害怕数学可激活和生理痛 有关的大脑区域。美国芝加哥大学研究人员伊恩-里昂斯和西恩-贝洛克在《公共科学图书馆 -综合》杂志上撰文说,一个人对一项数学任务的焦虑越高,和检测内脏威胁有关的大脑区 域就越活跃。 这些研究报告的作者说,以前的研究显示,社会排斥或创伤性精神崩溃等其他心理压 力类型也可引起生理痛的感觉。 但他们在这项新研究中分析了和预感一个诱发焦虑事件有关 的疼痛反应,而不是和压力事件本身有关的疼痛。这些研究人员表示,他们的结果表明数学 任务本身并不令人痛苦,但对它的思考却令某些人很不开心。 他们在名为《数学伤害》的研究报告中说: “数学可能很难。对那些患有高度数学焦虑

症的人而言,数学和紧张、忧虑和恐惧有关。有趣的是,这种关系不会体现在数学成绩中, 这意味着数学本身不会造成伤害,是对数学的预感令人不快。我们的研究显示,激活疼痛网 络使人产生期待一个可怕事件令人痛苦的直觉。 这些结果可提供一个潜在的神经机制, 解释 高度数学焦虑症患者倾向于避免数学和数学有关情形的原因。 我们提供了表明数学焦虑主观 体验本质的最早神经证据。 ”(孝文) 美国科学家最新研究:怕数学的人学数学真会头疼 有些人特别害怕数学,一想到数学题就觉得头疼。美国芝加哥大学研究人员发现,这不 是错觉,这些人有数学焦虑,而数学焦虑能引起生理性头疼。 芝加哥大学心理学教授沙恩·贝洛克和同事征募 14 名成年志愿者。测试结果显示,这 些志愿者一般情况下没有过度焦虑, 只在遇到数学相关情况时焦虑程度加剧。 研究人员提出 一系列要求评估志愿者的数学焦虑程度,包括让他们接收数学课本、走向数学课教室、了解 毕业的数学成绩要求等。 随后,研究人员让志愿者验证一些数学等式是否成立,譬如 12 乘以 4 再减去 19 等于 29。再让他们做一些简短的填字游戏,得到多个字母,譬如 yrestym,判断重新排列这些字 母顺序能否得到拼写正确的单词。 与此同时,研究人员借助功能性磁共振成像技术观察志愿者大脑活动。结果显示,对数 学的预期即想到要做数学题, 令志愿者大脑作出的反应类似于生理性疼痛; 数学焦虑程度越 高, 这种预期对大脑后侧岛叶刺激越大。 岛叶是大脑半球的五大脑叶之一, 位于外侧裂深部, 主要负责记录对身体的直接威胁、疼痛经历等。 研究人员在由美国《科学公共图书馆综合卷》10 月 31 日发表的论文中称,有趣的是, 当志愿者解答数学题时,数学焦虑程度与岛叶或大脑其他神经区域活跃度不存在关联, “这 显示,令人头疼的并非数学本身,而是对数学的预期” 。 研究人员认为, 对那些有数学焦虑的人而言, 可能在坐下参加数学考试前较长一段时间 就开始觉得头疼。 先前研究结果显示, 数学焦虑程度较高的人容易回避与数学相关的情况, 不愿意从事与数学 相关的职业。芝加哥大学的研究显示,这些回避源于疼痛焦虑。 研究人员说: “这是首次获得神经层面的证据,显示数学焦虑这种主观经验的本质。 ” 研究人员认为, 数学焦虑不仅代表数学能力较差, 还说明有数学焦虑者一想到做数学题 确实会产生消极的心理乃至生理反应。这种反应需要像其他恐惧症一样引起重视。 美国每日科学网站援引贝洛克的话报道, 对于有数学焦虑的孩子, 教师和家长不能简单 地对他们搞题海战术,而应灵活地采取多种办法,帮助孩子缓解焦虑情绪。他说,考试前在 纸上写下这种数学焦虑有助缓解担忧、恐惧,取得好成绩。 据新华社

3.3.1 两条直线的交点坐标
一、同学们在平面几何中会有两条直线相交,但这相交只是定性的描述,我们不知道它 相交在哪里即平面几何只是定性研究, 自从笛卡尔发明解析几何我们就可以知道如果从代数 角度来分析在平面几何中两直线相交在代数上是怎回事, 它有新鲜的结论吗?且能正确定位 相交的位置吗?,相交位置可以计算出来吗? 二、同学们在平面几何中会有两条直线相交、平行、重合,但这相交、平行、重合只是 定性的描述即平面几何只是定性研究, 自从笛卡尔发明解析几何我们就可以知道如果从代数 角度来分析在平面几何中两直线相交、平行、重合在代数上是怎回事,它有新鲜的结论吗? 且可以精确的计算和判断吗?。

4.1.1 圆的标准方程

一、在初中圆是属于平面几何内容,在笛卡尔之前,几何、代数相互分离,老死不相往 来,笛卡尔后代数、几何结合在一起。那我们从代数角度研究圆看看,看看有什么不同新鲜 的结论或与平面几何中圆的知识有什么不同的风景。 二、变化中的不变性。 三、为什么被称为圆的标准方程? 1、 “标准”意思①衡量事物的准则:技术~ㄧ实践是检验真理的唯一~。 ②本身合于准则,可供同类事物比较核对的事物:~音ㄧ~时。 ③指样榜;规范。 2、说明还有其他方程。 四、解题就是思维如何发生发展?为什么要这样发生发展?

4.1.2 圆的一般方程
一、在初中圆是属于平面几何内容,在笛卡尔之前,几何、代数相互分离,老死不相往 来,笛卡尔后代数、几何结合在一起。那我们从代数角度研究圆看看,看看有什么不同新鲜 的结论或与平面几何中圆的知识有什么不同的风景。 二、1: 判断下列方程分别表示什么图形 ⑴x2+y2-2x+4y-4=0 ⑵x2+y2-2x+4y+5=0 ⑶x2+y2-2x+4y+6=0 这就是为什么称为圆的标准方程的意思。标准就是:①衡量事物的准则:技术~ㄧ实践 是检验真理的唯一~。 ②本身合于准则,可供同类事物比较核对的事物:~音ㄧ~时。 ③指样榜;规范。 三、为什么称为标准方程?为什么称为一般方程? 答:因为任何圆的标准方程都可以化为这种形式,这是一般的意思。一般相对于特殊而 言。 把圆的一般方程转化为标准方程的过程中, 同学们要注意是使用了配方法。 考试更多的 是考过程不是结果结论不容易记住,记住结论学习负担也重。 四、总结:如果 A 的轨迹是圆则 M 的轨迹也是缘,如果 A 的轨迹是直线则 M 的轨迹 也是直线,如果 A 的轨迹是抛物线则 M 的轨迹也是抛物线。M 随着 A 的运动而运动,M 的 轨迹由 A 的轨迹确定,与 A 轨迹的类型形同。 五、一种奇怪的数学学习现象 根据学校给我们两个班的高考目标, 我们班是文科班普通班是没有本科目标的, 但高考 试卷 150 分,难题 30 分是区别北大、清华、浙大这样的学校的。120 分的容易题、中档题 我们上课都听得懂,但就是高考考试的时候解答不出来,而每门考 120 分,那是可以上重点 的。我们是高考考重点的题目上课听得懂,但就是高考时考不出来。学校给我们两个班的高 考指标是没有考本科的,所以同学们要努力考本科。 原因:我们是假懂、假会不是真懂、真会,更谈不上要“通”即融会贯通。

4.2.1 直线与圆的位置关系
一、我们知道,在笛卡尔之前,几何和代数是老死不相往来,各自分开。是笛卡尔让 几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明,几何问题可以归结成代 数问题,也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。

其实笛卡尔曾经有个伟大构想,那就是:把一切问题归结为数学问题,把一切数学问 题归结为代数问题,把一切代数问题归结为方程,最后得到关于一个未知数的方程。只要把 这个方程解出来,就解决了任何问题。我们知道按当代科技这个构想是不能实现的。比如化 学、生物学科。就算是数学也不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标,但直线由点组成,所以直线是否有代数形式,这很新鲜的。我们知 道在几何中两直线由相交、平行,那反应在代数上会是怎么回事,也是很新鲜的。在几何中 有圆,那圆的代数形式是怎样的,在几何中直线与圆有好几种关系,这几种关系如果从代数 角度讲会有新鲜的结论吗? 这节课我们讲直线的代数形式,那就是直线的方程。这是很新鲜的东西,在笛卡尔之 前是没有的。 二、解析几何是 17 世纪最伟大的数学成果之一,它的产生有着深刻的原因. 首先,生产力的发展对数学提出了新的要求,常量数学的局限性越来越明显了.例如, 航海业的发展, 向数学提出了如何精确测定经纬度的问题; 造船业则要求描绘船体各部位的 曲线,计算不同形状船体的面积和体积;显微镜与望远镜的发明,提出了研究透镜镜面形状 的问题;随着火器的发展,抛射体运动的性质显得越来越重要了,它要求正确描述抛射体运 动的轨迹,计算炮弹的射程,特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行,要求用数学方 法确定行星位置. 所有这些问题都难以在常量数学的范围内解决. 实践要求人们研究变动的 量.解析几何便是在这样的社会背景下产生的. 总结:在当时以前的几何是定性研究不是定量研究,不是精确的计算。同学们平面几 何或立体几何中有精确的计算吗?没有。 其次,解析几何的产生也是数学发展的大势所趋,因为当时的几何与代数都相当完善 了.实际上,几何学早就得到比较充分的发展, 《几何原本》建立起完整的演绎体系,阿波 罗尼奥斯的《圆锥曲线论》则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究.但几何学仍存在两个 弱点, 一是缺乏定量研究, 二是缺乏证题的一般方法. 而当时的代数则是一门注重定量研究、 注重计算的学科.到 16 世纪末,韦达(F.Vieta, 1540—1603)在代数中有系统地使用字母, 从而使这门学科具有了一般性. 它在提供广泛的方法论方面, 显然高出希腊人的几何方法. 于 是,从代数中寻求解决几何问题的一般方法,进行定量研究,便成为数学发展的趋势.实际 上,韦达的《分析术引论》(In artem analyticem isagoge)等著作中的一些代数问题,便是为解 几何题而列出的. 在初中平面几何中我们学习了直线与圆的位置关系。我们知道初中的平面几何是属于 笛卡尔时代之前的数学知识。 当笛卡尔把几何与代数联系起来时, 我们看看用代数角度研究 直线与圆的位置关系看看有什么新鲜的结论或有什么不同的风景, 又多了些什么, 并且直线 与圆的位置关系可以精确的计算吗?这在平面几何中是不可能的事情, 就算有也是比较肤浅 的,比如直接给出 d、r。 我们知道笛卡尔之前几何、代数是相互分离,老死不相往来的。 三、⒈比起笛卡尔之前的平面几何,在笛卡尔时代,圆心到直线的距离与圆的半径却 是可以精确的计算,在笛卡尔之前的平面几何中是不可能的 ⒉这个就是新鲜的结论和不同的风景,比起笛卡尔之前的平面几何这是多了的判断方 法。 ⒊虽然这种判断方法在笛卡尔之前的平面几何中有,但在笛卡尔时代却是可以精确计 算的,在笛卡尔之前的平面几何中是做不到的。 ⒋同学们,当几何、代数结合后直线与圆的位置关系可以精确的计算,比如精确的求 出直线与圆的交点坐标。在平面几何中即笛卡尔之前是不可能的

⒌同学们注意只有在笛卡尔时代直线与圆才可以这样精确计算,在笛卡尔之前即平面 几何中这样子是不可能的

4.2.24.2.2 圆与圆的位置关系
一、我们知道,在笛卡尔之前,几何和代数是老死不相往来,各自分开。是笛卡尔让几 何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明,几何问题可以归结成代数 问题,也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 其实笛卡尔曾经有个伟大构想,那就是:把一切问题归结为数学问题,把一切数学问题 归结为代数问题,把一切代数问题归结为方程,最后得到关于一个未知数的方程。只要把这 个方程解出来, 就解决了任何问题。 我们知道按当代科技这个构想是不能实现的。 比如化学、 生物学科。就算是数学也不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标,但直线由点组成,所以直线是否有代数形式,这很新鲜的。我们知道 在几何中两直线由相交、平行,那反应在代数上会是怎么回事,也是很新鲜的。在几何中有 圆,那圆的代数形式是怎样的,在几何中直线与圆有好几种关系,这几种关系如果从代数角 度讲会有新鲜的结论吗? 这节课我们讲直线的代数形式,那就是直线的方程。这是很新鲜的东西,在笛卡尔之前 是没有的。 解析几何是 17 世纪最伟大的数学成果之一,它的产生有着深刻的原因. 首先,生产力的发展对数学提出了新的要求,常量数学的局限性越来越明显了.例如, 航海业的发展, 向数学提出了如何精确测定经纬度的问题; 造船业则要求描绘船体各部位的 曲线,计算不同形状船体的面积和体积;显微镜与望远镜的发明,提出了研究透镜镜面形状 的问题;随着火器的发展,抛射体运动的性质显得越来越重要了,它要求正确描述抛射体运 动的轨迹,计算炮弹的射程,特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行,要求用数学方 法确定行星位置. 所有这些问题都难以在常量数学的范围内解决. 实践要求人们研究变动的 量.解析几何便是在这样的社会背景下产生的. 总结:在当时以前的几何是定性研究不是定量研究,不是精确的计算。同学们平面几 何或立体几何中有精确的计算吗?没有。 其次,解析几何的产生也是数学发展的大势所趋,因为当时的几何与代数都相当完善 了.实际上,几何学早就得到比较充分的发展, 《几何原本》建立起完整的演绎体系,阿波 罗尼奥斯的《圆锥曲线论》则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究.但几何学仍存在两个 弱点, 一是缺乏定量研究, 二是缺乏证题的一般方法. 而当时的代数则是一门注重定量研究、 注重计算的学科.到 16 世纪末,韦达(F.Vieta, 1540—1603)在代数中有系统地使用字母, 从而使这门学科具有了一般性. 它在提供广泛的方法论方面, 显然高出希腊人的几何方法. 于 是,从代数中寻求解决几何问题的一般方法,进行定量研究,便成为数学发展的趋势.实际 上,韦达的《分析术引论》(In artem analyticem isagoge)等著作中的一些代数问题,便是为解 几何题而列出的. 在初中平面几何中我们学习了圆与圆的位置关系。我们知道初中的平面几何是属于笛 卡尔时代之前的数学知识。 当笛卡尔把几何与代数联系起来时, 我们看看用代数角度研究圆 与圆的位置关系看看有什么新鲜的结论或有什么不同的风景, 并且圆与圆的位置关系可以深 入的精确的计算吗?这在平面几何中是不可能的事情, 在平面几何中判断圆与圆的位置关系 是比较肤浅的,比如直接给出圆心距和半径。我们知道笛卡尔之前几何、代数是相互分离, 老死不相往来的。 二、问:因为在笛卡尔前代数与几何分离,所以判断两圆位置关系只有几何法即初中

的结论。 笛卡尔后代数和几何联系在一起, 所以除了单单几何法还有什么新鲜的判断方法或 不同的风景吗?有没有多了个新的判定方法? 三、问两圆方程相减得到什么? 答:得到是一条直线,那这条直线到底是什么东西? 答:叫做两个圆的根轴。根轴的特征是:上面任意一个点到两圆的切线长相等。

四、几何方法虽然是古老方法,但可以精确计算圆心距和半径却是从笛卡尔开始。 在平面几何中不可能有代数方法, 这是笛卡尔的功劳。 是相对于几何法多了的新方法。

高考考什么?
我是没有艺术细胞的。 我看不出达芬奇的蒙娜丽莎的画好在哪里, 但它是历史上最有名 的画之一。如果你不会欣赏名画,那名画在你面前就是张废纸,你有可能把它扔掉或当卫生 纸或糊窗帘。这样的故事媒体上经常报道。 数学犹如艺术,需要鉴赏能力。数学也是副名画。许多同学觉得上课听不懂,那是因为 数学这幅名画你不会欣赏,就像我欣赏不了蒙娜丽莎这幅名画。 对艺术的欣赏或鉴赏能力是需要些天赋, 但后天可以培养。 如果画家教我蒙娜丽莎画好 在哪里,我想我是听得懂的,但没有画家为我讲解。 对数学的欣赏或鉴赏能力我们比起理科班可能弱了点,但只要努力还是可以培养的。 高考考什么? 谁对数学这门艺术欣赏的最深刻鉴赏的最透彻,那你高考就能考的分数越高。 我再打个比喻,我们欣赏的音乐是通俗音乐,其实音乐有高雅,有通俗,有曲高和寡, 有流行天下。通俗的音乐我们可以欣赏,但高雅的音乐我们不一定会欣赏还会说真难听。世 界音乐之都奥地利的维也纳国家音乐厅演唱的歌曲你欣赏的了吗?我们国家有国家大剧院, 里面的音乐你欣赏的了吗? 但坚持学习慢慢也就会欣赏了。

4.3.1 空间直角坐标系
一、我们知道笛卡尔之前代数和几何是相互分离,老死不相往来。是笛卡尔让代数和几

何联系在一起。那笛卡尔是通过什么让几何和代数联系在一起?那就是通过平面直角坐标 系, 赋予点坐标。 这是让平面几何和代数联系在一起。 我们知道几何分平面几何、 立体几何。 那如果让立体几何与代数联系在一起该怎办呢?那就是通过空间直角坐标系。 什么是空间直 角坐标系? 二、作用:让几何与代数联系在一起。把几何问题转化为代数问题,用代数知识解决几 何问题。 三、总结 1、构造一个长方体来理解。坐标的绝对值是长方体的长、宽、高。或则 2、 “4”“5”就是灯泡在水平面 XOY 上的投影的横坐标与纵坐标。 、 “3”是高度。 四、 注: 长方体的八个顶点每个顶点出发的三条两两垂直的棱都可以建立空间直角坐标 系。右手空间直角坐标系就是以最里面的那个顶点出发的三条棱。 五、注:叙述不用这么复杂,即以 O、M 为空间对角线构造一个长方体。M、M’的横 坐标纵坐标一样。竖坐标要么是高度要么是深度,化空间问题为平面问题化不熟悉为熟悉。 六、注:叙述不用这么复杂,即以 O、M 为空间对角线构造一个长方体。M、M’的横 坐标、纵坐标一样,竖坐标要么是高度要么深度。化空间问题为平面问题化不熟悉为熟悉。 七、叙述不用这么复杂。1、构造一个长方体来理解。2、M 的横坐标、纵坐标就是 M’ 的横坐标、纵坐标。M 的竖坐标要么是高度要么是深度。化空间问题为平面问题化不熟悉 为熟悉。 八、注:叙述不用这么复杂,先在 XOY 平面上画出点(5,4) ,再上升或下降 6 个单位 即要么高度要么深度。化空间问题为平面问题化不熟悉为熟悉。 九、总结:理解学习空间直角坐标系中点的坐标的含义可以从两个角度来理解学习。 1、构造一个长方体来理解和学习。 2、空间中点的横坐标、纵坐标就是点在 XOY 平面上投影的横坐标、纵坐标,于是化 空间问题为平面问题,化不熟悉为熟悉。平面解析几何的公式、定理依旧成立。竖坐标要么 是高度要么是深度。 十、在 XOY 平面上与平面直角坐标系的一样,高度是正的深度是负的。 十一、本课总结:此节课表面上看起来难,实际上不难。教材为什么难?因为叙述只能 用书面专业用语不能口头语既讲话,像写小说只能书面语不能讲话。


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