阳春市第一中学2018届高三第六次月考(文数)


阳春市第一中学 2018 届高三第六次月考 数学(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?x | y ? ln( x ?1)? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ,则 (?R B) ? A ? ( A. [2, ??) 2.设复数 z ? B. (1, 2] C. (1, ??) )

D. (??, ?1] ? [2, ??)

i ?1 ( i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数为( ) 2i 1 1 1 1 1 1 A. ? i B. ? i C. ? ? i 2 2 2 2 2 2
3.已知函数 f ( x) ? ?

D. ?

1 1 ? i 2 2

?1 ? 2 | x |, x ? 1,
2 ? x ? 2 x, x ? 1,

若函数 g ( x) ? b ? f (1 ? x) 有 3 个零点 x1 , x2 , x3 ,则

x1 ? x2 ? x3 的取值范围是(
A. (?1,1)

) C. (1 ? 2,1) D. (2 ? 2, 2)

B. (?1, 2)

4.已知数列 ?bn ? 为等比数列,且首项 b1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,则数列 ?b2n?1? 的前 10 项的和为 ( A. )

4 9 (4 ? 1) 3

B.

4 10 (4 ? 1) 3
2

C. (4 ? 1)
9

1 3

D. (4 ? 1)
10

1 3

5.“ x ? m ? 1 或 x ? m ? 1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围 ( ) B. (0, 2) C. [0, 2) D. (0, 2]

A. ?0, 2?

6.图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成绩 依次记为 A 1 , A2 ,……, A 14 ,图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程 序框图,那么程序框图输出的结果是( )

1

A.7

B.8

C .9

D.10 )

7.已知 | a |?| b |? 1 ,且 a ? b ,则 2a ? b 在 a ? b 方向上的投影为(

?

?

?

?

? ?

? ?

A.

3 2 2

B.

2 2

C.

3 3 2

D.

3 2

x2 y 2 8.已知斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )交于 A , B 两点,若 a b
点 P(3,1) 是 AB 的中点,则双曲线 C 的离心率等于( )

A. 2 9.设函数 f ( x) ? e ? e
x ?x

B. 5

C. 2

D.

15 3


?

1 2x ?1
2

,则使得 f (2 x ? 1) ? 1 成立的 x 的取值范围是( B. (??, ? ) ? (1, ??) D. ( ??, ) ? ( , ?? )

A. (??, ) C. (1, ??)

1 2

1 2

1 2

1 2

10.如图是某四棱锥的三视图,其中正视图是边长为 2 的正方形,侧视图是底边长分别为 2 和 1 的直角梯形,则该几何体的体积为( )

2

A.

8 3

B.

4 3

C.

8 2 3

D.

2 2 3

11.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) ? b ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ? )的最大值为 4,最小值为 0, 它经过点 A(0,3) ,B (

11? , 2) , 且它的部分图像如图所示, 则 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 12



A. ( k ? ?

, k? ? ) , k ? Z 4 4 12 ? 12 ? C. ( k ? ? , k ? ? ) , k ? Z 13 6 13 3

?

?

B. ( k ? ?

, k? ? ) , k ? Z 3 6 5? ? , k? ? ) , k ? Z D. ( k ? ? 6 3

?

?

12.已知 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数, 且对任意的实数 x 都有 f '( x) ? ex (2x ? 3) ? f ( x)( e 是自然对数的底数) , f (0) ? 1 , 若不等式 f ( x) ? k ? 0 的解集中恰有两个整数, 则实数 k 的 取值范围是( A. [ ? ) B. ? ?

1 , 0) e2

? 1 ? , 0? 2 ? e ?

C. ( ?

1 , 0] e2

D. ( ?

1 , 0) e2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

1 ? x ? y ? 2 ? 0, y? ? 2 的最大值为 13.已知 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则 z ? x ?1 ? y ? 2 ? 0, ?



P 是线段 B1D1 上的动点,则三棱锥 14.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,点

P ? ABC 的外接球半径的取值范围为



2 15.设 O 为坐标原点, P 是以 F 为焦点的抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上任意一点, M 是线

段 PF 上的点,且 | PM |? 3 | MF | ,则直线 OM 的斜率的最大值为



16.如图半圆 O 的半径为 1, P 为直径 MN 延长线上一点,且 OP ? 2 , R 为半圆上任意一
3

点,以 PR 为一边作等边三角形 PQR ,则四边形 OPQR 面积最大值为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 所对的边,且满足

3 A A B b sin cos ? a sin 2 . 3 2 2 2
(1)求角 B 的大小; (2)设 y ? sin C ? sin A ,求 y 的取值范围. 18.某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:先销售该产品 50 天,统计发现每天的销售量 x 分布在 [50,100) 内,且销售量 x 的分布频率满足:

?n ? 0.5,10n ? x ? 10(n ? 1), n是偶, ? ?10 f ( x) ? ? ? n ? a,10n ? x ? 10(n ? 1), n是奇. ? ? 20
(1)求 a 的值并估计销售量的平均数; (2)若销售量大于等于 80,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随 机抽取 6 天,再从这 6 天中随机抽取 3 天进行统计,求这 3 天不都来自同一组的概率. 19.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAB ? 平面 ABC , AB ? 6 , BC ? 2 3 ,

AC ? 2 6 , D 为线段 AB 上的点,且 AD ? 2 DB , PD ? AC .
(1)求证: PD ? 平面 ABC ; (2)若 ?PAB ?

?
4

,求点 B 到平面 PAC 的距离.

4

20.已知 A(?2,0) , B(2, 0) ,动点 M 满足 ?AMB ? 2? , | AM | ? | BM |? (1)求 | AM | ? | BM | 的值,并写出 M 的轨迹曲线 C 的方程;

???? ?

???? ?

4 . cos 2 ?

???? ?

???? ?

(2) 动直线 l : 且 OP ? OQ , 是否存在圆 x2 ? y 2 ? r 2 y ? kx ? m 与曲线 C 交于 P , Q 两点, 使得 l 恰好是该圆的切线,若存在,求出 r ;若不存在,说明理由.

21.已知函数 f ( x) ? ke x ? x2 (其中 k ? R , e 是自然对数的底数) . (1)若 k ? 2 ,当 x ? (0, ??) 时,试比较 f ( x ) 与 2 的大小; (2) 若函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 ,x2( x1 ? x2 ) , 求 k 的取值范围, 并证明:0 ? f ( x1 ) ? 1.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, 2) 在倾斜角为 ? 的直线 l 上,以 O 为极点, x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线 C 的方程为 ? ? 6sin ? . (1)写出 l 的参数方程及 C 的直角坐标方程; (2)设 l 与 C 相交于 A , B 两点,求

1 1 ? 的最小值. | PA | | PB |

23.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | . (1)当 a ? ?1 时,解不等式 f ( x) ? 7? | x ? 1| ;

) ? 2 (2) 若 f (x

m ? 2n ? 2mn ? 3a( m ? 0 , n ? 0) m ? 2n ? 6 . 的解集为 ? ?1,3? , , 求证:

5

数学(文科)参考答案
一、选择题
1-5: ABDDA 6-10: DADDA 11、12: BC

二、填空题
13.

3 4

14. ? , 3 ? 2

?3 ?

? ?

15.

3 3

16. 2 ?

5 3 4

三、解答题
17.解: (1)由正弦定理知,

3 A A B sin B sin cos ? sin A sin 2 , 3 2 2 2

3 B 3 B B B sin B sin A ? sin A sin 2 ,即 sin A sin cos ? sin A sin 2 , 6 2 3 2 2 2
在 ?ABC 中, sin A ? 0 , sin

B B ? 0 , cos ? 0 , 2 2



3 B B B 3 , cos ? sin ,即 tan ? 3 2 2 2 3
B ? ? (0, ) , 2 2

又 B ? (0, ? ) ,∴ ∴

B ? ? ? ,即 B ? . 2 3 3

(2)依题意 y ? sin C ? sin A ? sin C ? sin( B ? C ) , ∴ y ? sin C ? sin(

?
3

? C ) ? sin C ? (

3 1 1 3 cos C ? sin C ) ? sin C ? cos C 2 2 2 2

? sin(C ? ) , 3
∴ y ? sin(C ?

?

?
3

), 2? 2? ? ? ) ,∴ C ? ? (? , ) , 3 3 3 3

由(1)知 C ? (0, ∴ sin(C ?

?
3

) ? (?

3 3 3 3 , ) ,即 y ? (? , ). 2 2 2 2

18.解: (1)由题知 ?

?10n ? 50, 解得 5 ? n ? 9 , n 可取 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , ?10(n ? 1) ? 100,

6

?n ? 0.5,10n ? x ? 10(n ? 1), n是偶, ? ?10 代入 f ( x) ? ? 中, ? n ? a,10n ? x ? 10(n ? 1), n是奇. ? ? 20
得(

6 8 5 7 9 ? 0.5) ? ( ? 0.5) ? ( ? a) ? ( ? a) ? ( ? a) ? 1 ,解得 a ? 0.15 . 10 10 20 20 20

销售量在 [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 内的频率分别是 0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,销售量的平均数为

55 ? 0.1 ? 65 ? 0.1 ? 75 ? 0.2 ? 85 ? 0.3 ? 95 ? 0.3 ? 81 .
(2)销售量在 [80,90) , [90,100) 内的频率之比为 1:1 ,故各组抽取的天数分别为 3,3,

P( A) ? 1 ?

1 1 9 ? ? . 20 20 10

19.(1)证明:连接 CD ,据题知 AD ? 4 , BD ? 2 , ∵ AC ? BC ? AB ,∴ ?ACB ? 90? ,
2 2 2

∵ cos ?ABC ?
2 2

2 3 3 , ? 6 3

∴ CD ? 2 ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 3 cos ?ABC ? 8 ,∴ CD ? 2 2 ,
2 2 2 ∴ CD ? AD ? AC ,则 CD ? AB ,

又∵平面 PAB ? 平面 ABC ,∴ CD ? 平面 PAB ,∴ CD ? PD , ∵ PD ? AC , AC , CD 都在平面 ABC 内,∴ PD ? 平面 ABC . (2)∵ ?PAB ?

?
4

,∴ PD ? AD ? 4 ,∴ PA ? 4 2 ,

在 Rt ?PCD 中, PC ?

PD2 ? CD2 ? 2 6 ,

∴ ?PAC 是等腰三角形,∴可求得 S?PAC ? 8 2 ,设点 B 到平面 PAC 的距离为 d , 由 VB? PAC ? VP? ABC ,∴

1 1 S ? PD S?PAC ? d ? S ?ABC ? PD ,∴ d ? ?ABC ? 3, 3 3 S?PAC

故点 B 到平面 PAC 的距离为 3. 20.解: (1)设 | AM |? m , | BM |? n , ∵ | AB |? 4 且 | AM | ? | BM |?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

4 2 ,∴ mn cos ? ? 4 , cos 2 ?
7

在 ?ABM 中,由余弦定理得

m2 ? n2 ? 42 ? 2mn cos 2? ? 2mn(2cos2 ? ?1) ? 4mn cos2 ? ? 2mn ,
∵ m ? n ? 2mn ? 4mn cos ? ? 16 ? 32 ,
2 2 2

∴ m ? n ? 4 2 ,即 | AM | ? | BM |? 4 2 , 又 | AM | ? | BM |?| AB | ,所以 M 的轨迹是椭圆,且 a ? 2 2 , c ? 2 ,∴ b ? 4 ,
2

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ?

∴C :

x2 y 2 ? ? 1. 8 4 x2 y 2 ? ? 1, 8 4

(2)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,将 l : y ? kx ? m 代入 C : 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

4km 2m 2 ? 8 ∵ ? ? 0 ,∴ 8k ? m ? 4 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

m2 ? 8k 2 , 1 ? 2k 2

∵ OP ? OQ ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 3m2 ? 8 2 ? ? 0 k ? ,∴ , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 8



8 3m2 ? 8 ? 0 和 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,得 m 2 ? 即可,因为 l 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 相切, 3 8
2

|m| 8 ? , 1? k 2 3 8 2 2 ∴存在圆 x ? y ? 符合题意. 3
∴r ?
x 2 x x 21.解: (1)当 k ? 2 时, f ( x) ? 2e ? x ,则 f '( x) ? 2e ? 2 x ,令 h( x) ? 2e ? 2 x ,

h '( x) ? 2ex ? 2 ,
由于 x ? (0, ??) ,故 h '( x) ? 2e ? 2 ? 0 ,于是 h( x) ? 2e ? 2 x 在 (0, ??) 为增函数,所以
x x

h( x) ? 2ex ? 2 x ? h(0) ? 2 ? 0 ,即 f '( x) ? 2ex ? 2x ? 0 在 (0, ??) 恒成立,
从而 f ( x) ? 2e ? x 在 (0, ??) 为增函数,故 f ( x) ? 2e ? x ? f (0) ? 2 .
x 2 x 2

8

(2)函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,则 x1 , x2 是 f '( x) ? kex ? 2x ? 0 的两个根,即方 程k ?

2x 2x 2 ? 2x 有两个根,设 ? ( x ) ? x ,则 ? '( x ) ? , x e e ex

当 x ? 0 时, ? '( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 单调递增且 ? ( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, ? '( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 单调递增且 ? ( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, ? '( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 单调递增且 ? ( x) ? 0 ;

2x 2 有两个根,只需 0 ? k ? ? (1) ? , x e e 2 故实数 k 的取值范围是 (0, ) . e
要使方程 k ? 又由上可知函数 f ( x ) 的两个极值点 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,
x 由 f '( x1 ) ? ke 1 ? 2x1 ? 0 ,得 k ?

2 x1 , e x1

∴ f ( x1 ) ? ke 1 ? x1 ?
x 2

2 x1 x1 e ? x12 ? ? x12 ? 2 x1 ? ?( x1 ? 1) 2 ? 1 , x1 e

由于 x1 ? (0,1) ,故 0 ? ?( x1 ?1)2 ? 1 ? 1,所以 0 ? f ( x1 ) ? 1. 22.解: (1) l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? , ( t 为参数) , ? y ? 2 ? t sin ?

2 2 2 由 ? ? 6sin ? 得 ? ? 6? sin ? , C 的直角坐标方程是 x ? y ? 6 y ? 0 .

(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程得 t ? t (2cos ? ? 2sin ? ) ? 7 ? 0 ,
2

∵ ? ? (2cos ? ? 2sin ? ) ? 28 ? 0 , t1 ? t2 ? 2sin ? ? 2cos ? , t1t2 ? ?7 ? 0 ,
2

∴ | t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 | ,



(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 |t ?t | 1 1 32 ? 4sin 2? 2 7 ? ? 1 2 ? ? ? , | PA | | PB | | t1t2 | 7 7 7

当 ? ? 45? 时等号成立,因此

1 1 2 7 ? 取最小值 . | PA | | PB | 7

23.解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? 7? | x ? 1| ,得 | x ? 1| ? | x ? 1|? 7 ,

∴?

??1 ? x ? 1, ? x ? 1, ? x ? ?1, 或? 或? ??2 x ? 7, ?2 ? 7, ?2 x ? 7,
9

∴解得 x ? ?

7 7 7 7 或 x ? ,即不等式的解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??) . 2 2 2 2

(2)由 | x ? a |? 2 的解集为 ? ?1,3? 得 a ? 1 ,由均值不等式 m ? 2n ? 2 2mn ,得

2mn ? (

m ? 2n 2 ) , 2

当且仅当 m ? 2n ? 3 时取等号, m ? 2n ? 2mn ? 3 ,得 ( ∴ m ? 2n ? 6 .

m ? 2n 2 ) ? ( m ? 2 n) ? 3 , 2

10


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