余弦定理 第1课时 余弦定理(2) 作业 高中数学 必修5 苏教版 含答案

学业分层测评(四) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.在△ABC 中,若 B=60° ,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的 长为 . 【解析】 在△ABD 中,∠ABD=60° ,AB=1,BD=2,由余弦定理得 AD2 =3,故 AD= 3. 【答案】 3 2. 如图 123 所示, 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与 灯塔 B 的距离为 km. 图 123 【解析】 ∵CA=CB=a, ∠ACB=180° -20° -40° =120° , ∴AB2=AC2+CB2-2×AC×CBcos ∠ACB, 即 AB2=a2+a2+a2=3a2, ∴AB= 3a. 【答案】 3a 3.如图 124 所示,某人向正东方向走了 x 千米,然后向右转 120° ,再朝 新方向走了 3 千米,结果他离出发点恰好 13千米,那么 x 的值是 . 图 124 【解析】 由余弦定理:x2+9-3x=13,整理得 x2-3x-4=0,解得 x=4 或 x=-1(舍去). 【答案】 4 . 4.在钝角△ABC 中,a=1,b=2,则最大边 c 的取值范围为 【解析】 在钝角△ABC 中,由于最大边为 c, 所以角 C 为钝角.所以 c2>a2 +b2=1+4=5,即 c> 5,又因 c<a+b=1+2=3,所以 5<c<3. 【答案】 ( 5,3) 5.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状 是 . 【解析】 设直角三角形三边为 a,b,c,且 a2+b2=c2,则(a+x)2+(b+x)2 -(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0, ∴c+x 所对的最大角变为锐角. 【答案】 锐角三角形 b2+a2-c2 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 S△ABC= , 4 则角 C 的大小为 . 【导学号:92862017】 【解析】 b2+a2-c2 ∵S△ABC= , 4 1 1 ∴2absin C=4×2abcos C, ∴tan C=1,又 C∈(0,π), π ∴C=4. 【答案】 π 4 . 7.在△ABC 中,AB=7,BC=5,AC=6,则 A→ B· B→ C 等于 【解析】 由余弦定理得 cos B= AB2+BC2-AC2 72+52-62 19 = =35. 2· AB· BC 2×7×5 → → → → → → 19 ∴AB· BC=-BA· BC=-|BA|· |BC|· cos B=-7×5×35=-19. 【答案】 -19 8.在△ABC 中,若 sin2A≤sin2B+ sin2C - sin Bsin C ,则 A 的取值范围 是 . 【解析】 由正弦定理,得 a2≤b2+c2-bc, 即 b2+c2-a2≥bc, ∴2bccos A≥bc, 1 ∴cos A≥2. π? ? 又 A∈(0,π)且 y=cos x 在(0,π)上是减函数,故 A∈?0,3?. ? ? 【答案】 二、解答题 12 9.△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,cos A=13. π? ? ?0,3? ? ? → → (1)求AB· AC; (2)若 c-b=1,求 a 的值. 12 由 cos A=13,得 sin A= 2 5 ?12? 1-?13? =13. ? ? 【解】 1 又2bcsin A=30, ∴bc=156. → → 12 (1)AB· AC=bccos A=156×13=144. 12? ? (2)a2=b2+c2-2bccos A=(c-b)2+2bc(1-cos A)=1+2×156×?1-13?= ? ? 25,∴a=5. 10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,并且 a2=b(b+c). (1)求证:A=2B. (2)若 a= 3b,判断△ABC 的形状. 【解】 (1)证明:由 a2=b(b+c)得 a2=b2+bc, a2+c2-b2 b+c sin B+sin C 又 cos B= 2ac = 2a = 2sin A , ∴2sin Acos B=sin B+sin C =sin B+sin(A+B) 即 sin B=sin(A-B), ∴B=A-B 或 A-B=π-B, ∴A=2B 或 A=π 不成立, 故 A=2B. a (2)∵a= 3b,∴b= 3. 又由 a2=b(b+c)可得 c=2b, ∴cos B= a2+c2-b2 3b2+4b2-b2 3 = = 2 2ac 2, 4 3b 所以 B=30° ,A=2B=60° ,C=90° , ∴△ABC 为直角三角形. [能力提升] 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面 1 积为 3 15,b-c=2,cos A=-4,则 a 的值为 【解析】 1 . 【导学号:92862018】 1 15 在△ABC 中,由 cos A=-4可得 sin A= 4 , 15 bc× =3 15, ? ?2 4 所以有?b-c=2, 1 ? ?a =b +c -2bc×???-4???, 2 2 2 ?a=8, 解得?b=6, ?c=4. 【答案】 8 2.如图 125,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD, BC=2BD,则 sin C= . 图 125 【解析】 设 AB = a ,则 AD = a , BD = 4 2a2-3a2 2a 2 2a 4a , BC = 2BD = , cos A = 3 3 AB2+AD2-BD2 = 2AB·

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