第5讲 不等式的性质与解法

第5讲

不等式的性质与解法

一、知识概要 不等式在中学数学地位及其重要,因此学习它是有必要的, 本讲的主要内容为不等式性 质与不等式的解法,不等式性质主要有对称性,传递性可加性,可乘性,加法法则,乘法法则, 开方法则,倒数法则等(熟悉即可),另外我们需要掌握比较实数的大小常用的手段(作商与 做差) 。中学数学常见的不等式求解的形式主要有:有理不等式,无理不等式,指对数不等式, 绝对值不等式, 不同形式的不等式其解法有所不同。 解不等式的本质就是一个同解变形的过 程,在具体解题中,会经常涉及到分类整合,数形结合数学思想,同时需要注意不等式与方 程,函数及其他知识的联系,本讲的主要学习目标是:灵活运用不等式性质解题,熟悉不等 式求解的常用方法,并能领悟经典方法所蕴含的数学思想。 二、解题指导 1.不等式的性质 例 1.已知 0 ? a ? b , x ? ,则 x, y 的大小如何? a?b ? b , y ? b ? b?a ,

a b c a b b a 例 2.设 a, b ? 0 且 a ? b ,比较 a b 与 a b 的大小, 比较 a b c 与 (abc)

a ?b ? c 3

的大小,

例 3.已知 3 ? 13 ? 17 , 5 ? 7 ? 11 ,试比较实数 a , b 的大小.
a b a a b b

例 4.若正数 a, b, c 满足不等式组:

? 11 ? 6 c ? a ? b ? 2c ? 5 ?3 ? a ? c ? b ? a ,试比较 a, b, c 的大小. 3 ?2 11 ?5 ?2 b ? a ? c ? 4 b ?

2.不等式的解法 (1)数轴标根法解高次不等式 例 6 .解不等式 x( x ? 1)( x2 ? 1)( x ? 2)( x ? 5) ? 0 .

例 7.解不等式

2 x 2 ? 10 x ? 11 ? 1. x2 ? 6 x ? 8

(2) 利用函数单调性解不等式 例 8.函数 f ( x) ?

x2 ? 1 ? ax , a ? 0 .

①解不等式 f ( x) ? 1 ; ②求 a 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??? 上单调函数.

例 9.已知函数 f ( x) ?

1 x ,试解不等式 ? log 1 x ?1 2? x 2

1 ? 1 ? f ? x( x ? ) ? ? . 2 ? 2 ?

(3) 代数恒等变换解不等式 例 10.解不等式 3x ? 5 ? x ? 2

例 11.解不等式 log2 ( x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1) ? 1 ? log2 ( x4 ? 1) .(200 年高中联赛)

(4)不等式恒成立与能成立问题 例 12.若在闭区间 ?0,1? 上不等式,(1 ? px)(1 ? x) ? x3 ? x2 ? 3x ? 1 ? (1 ? qx)(1 ? x) 恒 成立,试求 p 与 q 的取值范围.

例 13.函数 f ( x) ?

(k ? 1) x 2 ? (k ? 3) x ? (2k ? 8) 的定义域用D表示, 则使 f ( x) ? 0 , (2k ? 1) x 2 ? (k ? 1) x ? (k ? 4)

对于任意 x ? D 均成立的实数 k 的集合是什么?

三、习题演练 1. 若 a ? 0且 a ? 1 , p ? loga (a5 ? a ? 1) , q ? loga (a2 ? a ? 1) ,则 p, q 关系如 何?

2. 解不等式 e ? e
x

?x

? 1 ? x ? x ? ?1 .

3. 解不等式 3 ? x ?

x ?1 ?

1 2

4. 解不等式 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ?

2000 1999

5.解不等式

4 x2 (1 ? 1 ? 2 x )2

? 2x ? 9

6.若 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 4 ? a 对一切实数 x 恒成立,求 a 的取值范围。


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