高考数学一轮复习 考点热身训练 第三章三角函数、解三角形(单元总结与测试)

2014 年高考一轮复习考点热身训练: 第三章三角函数、解三角 形(单元总结与测试)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.下列说法正确的是( ) (A)第二象限的角比第一象限的角大 (B)若 sinα =

1 ? ,则α = 2 6

(C)三角形的内角是第一象限角或第二象限角 (D)不论用角度制还是弧度制度量一个角,它们与扇形所对应的半径的大小无关 2.已知函数 y=cos(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π )的部分图象如图所示,则( )

2? 3 2? (B)ω =1,φ =3 2? (C)ω =2,φ = 3 2? (D)ω =2,φ =3
(A)ω =1,φ =

3.(2012·福州模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,ω >0,|φ |<

? )的图象如图所示,为 2

了得到 g(x)=sin3x 的图象,则只要将 f(x)的图 象( )

? 个单位长度 4 ? (B)向右平移 个单位长度 12 ? (C)向左平移 个单位长度 4 ? (D)向左平移 个单位长度 12 ? ? 1 4.曲线 y=2sin(x+ )cos (x- )与直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1、 P2、 P3、 …, 4 4 2
(A)向右平移 则|P2P4|等于( ) (A)π (B)2π 5.已知 sin(π -α )=-2sin( (A) (C)3π (D)4π )

2 5

(B)-

2 5

? +α ),则 sinα ·cosα =( 2 2 2 1 (C) 或(D)5 5 5

1

6.(2012· 长沙模拟) 若 a、 b、 c 是△ABC 的三边, 直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相离, 则△ABC 一定是( (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 7.(易错题)若α , β ∈(0, ), cos (α - )=

2

2

)

? 2

? 2

3 ? 1 , sin( -β )=- , 则 cos(α +β )的值等于( 2 2 2 (D) 3 2

)

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2
2

1 (C) 2
)

8.(2012·三明模拟)函数 y=sin 2x 是( (A)周期为π 的奇函数 (C)周期为

(B)周期为π 的偶函数 (D)周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

9.已知 tanα 和 tan(

? 2 -α )是方程 ax +bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是( 4

)

(A)b=a+c (B)2b=a+c (C)c=b+a (D)c=ab 10.如图所示, 为测一树的高度, 在地面上选取 A、 B 两点, 从 A、 B 两点分别测得树尖的仰角为 30°, 45°, 且 A、B 两点间的距离为 60 m,则树的高度为( )

(A)(30+30 3 )m (C)(15+30 3 )m

(B)(30+15 3 )m (D)(15+15 3 )m

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.(2012·南京模拟)已知角α 的终边经过点 P(x,-6),且 tanα =- 12.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |< f(0)=_______.

? )的图象如图所示,则 2

3 ,则 x 的值为_______. 5

2

13.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= =________.

1 CD,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为 3- 3 ,则∠BAC 2

14.定义一种运算:(a1,a2) ? (a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数 f(x)=( 3 ,2sinx) ? (cosx,cos2x)的图 象向左平移 n(n>0)个单位长度,所得图象对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为____ ___. 15.(2012·龙岩模拟)已知函数 y=Asin(ω x+φ )+m(A>0,ω >0,|φ |< 正周期为

? ? ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是_________. 2 3

? )的最大值为 4,最小值为 0,最小 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

5? sin( +?) 2 5 2 16.(13 分)已知 sinα = ,求 tan(?+?)+ 的值. 5? 5 cos( -?) 2
17.(13 分)已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等差数列,且 2cos2B -8cosB+5=0,求角 B 的大小,并判断△ABC 的形状. 18.(13 分) (2012·漳州模拟)已知函数 f ? x ? ? 2 3sinxcosx ? 2cos(x ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数 f(x)在区间 [?

? ? )cos(x ? ). 4 4

? ? , ] 上的值域. 12 2

19.(13 分)(2012·宜春模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0, |φ |<

? )的部分图象如图所示: 2

(1)求函数 f(x)的解析式并写出其所有对称中心; (2)若 g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 P(4,0)对称,求 g (x)的单调递增区间. 20.(14 分)以 40 千米/时的速度向北偏东 30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球,气球顺风向正 东飘去,3 分钟后气球上升到 1 千米处,从探测船上观察气球,仰角为 30°,求气球的水平飘移速度. 21.(14 分) (预测题)已知锐角△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,tanA= (1)求 A 的大小; (2)求 cosB+cosC 的取值范围.

3bc . b +c 2-a 2
2

3

答案解析 1.【解题指南】根据三角函数的定义和角的定义逐一分析即可. 【解析】选 D.排除法可解.第一象限角 370°不小于第二象限角 100°,故 A 错误;当 sinα = 可能α =

5 ? π ,所以 B 错误;当三角形一内角为 时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故 C 错 6 2 T 7? ? ? 7? ? 2? ? ? ? , ? T ? ?, ?? ? 2, 又 ? 2 ? ? ? , ?? ? ? . 4 12 3 4 12 2 3

1 时,也 2

误,D 正确. 2.【解析】选 D.∵

3.【解析】选 B.由函数 f(x)的图象知 A=1,

T=4 ? (

5? ? 2 2? 2? ? ) ? ?,?? ? ? ? 3, 12 4 3 T 2? 3

? 3? ? f ? x ? ? sin(3x ? ?), 又f ( ) ? 0即sin( ? ?) ? 0, 4 4 ? ? ? ? 又 | ? |? ,?? ? ,? f ? x ? ? sin(3x ? ) ? sin[3(x ? )], 2 4 4 12 ? 向右平移 个单位长度,即得g ? x ? ? sin3x的图象,故选B. 12
4.【解析】选 A.2sin(x+

? ? ? ? 2 )cos(x- )=2sin (x+ )=1-cos[2(x+ )]=1+sin2x,其最小正周期为π ,又 4 4 4 4 ? +α )? sinα =-2cosα ,又 2
4

|P2P4|显然是一个周期,故选 A. 5.【解析】选 B.由 sin (π -α )=-2sin (

sin α +cos α =1,所 以 cos α =

2

2

2

1 2 2 ,则 sinα cosα =-2cos α =- ,故选 B. 5 5

6.【解析】选 D.由题设知 即 a +b <c ,即 a +b -c <0, 于是 cosC ?
2 2 2 2 2 2

c a 2 ? b2

? 1,

a 2 ? b2 ? c2 ? 0, 2ab
? ? 和 -β 的度数,再根据条件作出判断,进 2 2

所以 C 为钝角,故△ABC 为钝角三角形. 7.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得α - 而求得 cos(α +β ). 【解析】选 B.∵α ,β ∈(0,

? ), 2 ? ? ? ? ? ? ?- ? ?- ? ,- ? -? ? , 4 2 2 2 2 4

由 cos (α - 可得α -

3 ? ? 1 )= 和 sin ( -β )= ? , 2 2 2 2

? ? ? ? =± , -β =- , 2 6 2 6 ? ? ? ? 当α - =- , -β =- 时, 2 6 2 6 ? α +β =0 与α ,β ∈(0, )矛盾; 2 ? ? ? ? ? 当α - = , -β =- 时,α =β = , 2 6 2 6 3 1 此时 cos (α +β )= ? . 2 1 ? cos4x 8.【解析】选 D. y ? sin 2 2x ? , 2 ? ∴函数是周期为 的偶函数,故选 D. 2
9.【解题指南】利用根与系数的关系得到 tanα 和 tan( 公式得到 a,b,c 的关系.

? -α )与系数 a,b,c 的关系,再利用正切的两角和 4

? b ? tan?+tan( -?)=- ? ? 4 a , 【解析】选 C. ? ? c ? tan?tan( -?)= ? 4 a ?

5

b - ? ? ? tan =tan[( -?)+?]= a = 1, c 4 4 1- a b c ?- = 1- , ?-b=a-c, ? c=a+b. a a
10.【解析】选 A.在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m, sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? , 2 2 2 2 4
PB AB ? , sin30? sin15?

由正弦定理得:

1 ? 60 2 ? PB ? ? 30 6? 2 4

?

6? 2 ,

?

∴树的高度为 PBsin45°= 30

?

6? 2 ×

?

2 =(30+30 3 )m. 2

11.【解题指南】利用三角函数的定义直接求出 x. 【解析】根据题意知 tan?= 答案:10 12.【解析】由图象知最小正周期 T ? ( 故ω =1, 又 x=

-6 3 所以 x=10. =- , x 5 2 13? ? 2? ? ) ? 2? ? , 3 4 4 ?

3? 时,f(x)=2, 4

3? ? +φ )=2,可得φ =- +2kπ ,k∈Z 4 4 ? ? 又∵|φ |< ,∴φ =- . 2 4 ? ? 所以 f(x)=2sin(x- ) ,f(0)=2sin(- )=- 2 . 4 4
即 2sin( 答案:- 2 13.【解析】由∠ADB=120°知∠ADC=60°, 又因为 AD=2,所以 S△ADC= 所以 DC=2( 3 -1), 又因为 BD=

1 AD·DC·sin60°=3- 3 , 2

1 DC,所以 BD= 3 -1, 2
6

过 A 点作 AE⊥BC 于 E 点,

则 S△ADC=

1 DC·AE=3- 3 , 2

所以 AE= 3 ,又在直角三角形 AED 中,DE=1, 所以 BE= 3 ,在直角三角形 ABE 中,BE=AE, 所以△ABE 是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°, 在直角三角形 AEC 中,EC=2 3 -3, 所以 tan∠ACE=

AE 3 = =2+ 3, EC 2 3-3

所以∠ACE=75°, 所以∠BAC=180°-75°-45°=60°. 答案:60° 【方法技巧】巧解三角形 解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成,这种方法是最基本的,也是很重要的方法 .有些三角 形问题,除了常规方法外,还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想,往往可以构造设计一个恰当的 三角形,借助于平面几何、解三角形等知识去解决. 14.【解题指南】根据新定义写出三角函数关系式并化简三角函数式,再根据性质求得最小值.

? 5? ),所以函数 f(x)的图象向左平移 个单 6 12 5? 位长度后为 y=-2cos2x 的图象,该函数为偶函数,所以 n 的最小值为 . 12 5? 答案: 12 2? 15.【解析】由题意可得 A=2,m=2, ? ? ? 4, T
【解析】由新定义可知 f(x)= 3 cos2x-sin2x=2cos(2x+ ∴y=2sin(4x+φ )+2. 又直线 x=

? 是其图象的一条对称轴, 3

? ? 5? ? 4 ? ? ? ? k? ? (k ? Z),?? ? k? ? (k ? Z). 3 2 6 ? ? 又 | ? |? ,?? ? , 2 6
∴所求函数解析式为 y=2sin(4x+ 答案:y=2sin(4x+

? )+2 6

? )+2. 6

16.【解析】∵sinα =

2 5 >0, 5

∴α 为第一或第二象限角.

7

当α 是第一象限角时, cos?= 1-sin 2 ?=

5 , 5

5? +?) cos? 2 tan(?+?)+ =tan?+ 5? sin? cos( -?) 2 sin? cos? 1 5 = + = = . cos? sin? sin?cos? 2 sin(
当α 是第二象限角时, cos?=- 1-sin 2 ?=- 原式=

5 , 5

1 5 =- . sin?cos? 2

【变式备选】已知α 为锐角,且 tan( +?)=2. (1)求 tanα 的值;

? 4

sin2?cos?-sin? 的值. cos2? ? 1+tan? 【解析】 ?1? tan( +?)= , 4 1-tan? 1+tan? 所以 =2, 1-tan? 1 1+tanα =2-2tanα ,所以 tan?= . 3
(2)求

sin2?cos?-sin? 2sin?cos 2?-sin? = cos2? cos2? 2 sin?(2cos ?- 1) sin?cos2? = = =sin?. cos2? cos2?

? 2?

1 ,所以 cosα =3sinα , 3 1 2 2 又 sin α +cos α =1,所以 sin 2 ?= , 10
因为 tanα = 又α 为锐角,所以 sin?=

10 , 10

所以

sin2?cos?-sin? 10 = . cos2? 10

17.【解析】∵2cos2B-8cosB+5=0, 2 ∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. 2 ∴4cos B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB=

1 3 或 cosB= (舍去). 2 2
8

∵0<B<π ,∴B=

? . 3

∵a、b、c 成等差数列,∴a+c=2b.

a 2+c 2-b 2 ? cosB= = 2ac
2 2

a 2+c 2-(

a+c 2 ) 1 2 = , 2ac 2

化简得 a +c -2ac=0,解得 a=c. ∴△ABC 是等边三角形. 【一题多解】本题还可用下面的方法求解: ∵2cos2B-8cosB+5=0, 2 ∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. 2 ∴4cos B-8cosB+3=0. 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.

1 3 或 cosB= (舍去). 2 2 ? ∵0<B<π ,∴B= . 3
解得 cosB= ∵a、b、c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin ∴sinA+sin(

2? -A)= 3 , 3 2? 2? ∴sinA+sin cosA-cos sinA= 3 . 3 3
化简得

? = 3. 3

3 3 ? sinA+ cosA= 3 ,∴sin(A+ )=1. 2 2 6
? ? = . 6 2

∵0<A<π ,∴A+ ∴A=

? ? ,C= .∴△ABC 是等边三 角形. 3 3 ? ? 18.【解析】 f ? x ? ? 3sin2x ? 2sin(x ? )cos(x ? ) 4 4

? ? 3sin2x ? sin(2x ? ) 2 ? ? 3sin2x ? cos2x ? 2sin(2x ? ). 6
(1)函数 f(x)的最小正周期 T ? 由 2x ?

? ? k? ? 得对称轴方程为 x ? ? k? ? , k ? Z, ? , k ? Z. 6 2 2 3

2? ? ?; 2

9

? ? ? ? 5? ? x ? , 所以 ? ? 2x ? ? , 12 2 3 6 6 ? ? ? 所以当2x ? ? 即x ? 时,f ? x ?max ? 2, 6 2 3 ? ? ? 3 当2x ? ? ? 即x ? ? 时,f ? x ?min ? 2 ? (? ) ? ? 3, 6 3 12 2 ? 所以f ? x ? 的值域是 ? ? ? 3, 2 ? .

? 2 ?因为 ?

19.【解题指南】(1)先由图象直接得 A,求得周期 T 进而求得ω ,代入点求得φ ,这样得解析式求得对称中 心. (2)利用对称中心为 P(4,0) ,求得 g(x)的解析式,再求单调递增区间. 【解析】(1)由图可得,A= 2 , 所以,T=16,ω =

? , 8 ? 则此时 f(x)= 2 sin( x+φ ), 8 ? 将点(2, 2 )代入,可得φ = . 4 ? ? ∴f(x)= 2 sin( x+ ); 8 4

T =6-(-2)=8, 2

对称中心为(8k-2,0)(k∈Z). (2)由 g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 P(4,0)对称,得 g(x)=-f(8-x),

? ? (8-x)+ ] 8 4 5? ? ? 5? =- 2sin( - x)= 2sin( x- ), 4 8 8 4 ? ? 5? ? 令 2k?- ? x- ? 2k?+ , 得 16k+6≤x≤16k+14, 2 8 4 2
∴g(x)=- 2 sin[ 即 g(x)的单调递增区间为[16k+6,16k+14](k∈Z). 20.【解题指南】先根据已知作出图形,这样把实际问题转化成解三角形问题,利用余弦定理求得. 【解析】如图,船从 A 航行到 C 处,气球飘到 D 处. 由题知,BD=1 千米, AC=2 千米, ∵∠BCD=30°, ∴BC= 3 千米, 设 AB=x 千米, ∵∠BAC=90°-30°=60°, ∴由余弦定理得 2 +x -2×2xcos60°=( 3 ) ,
2 2 2

∴x -2x+1=0,∴x=1. ∴气球水平飘移速度为

2

1 =20(千米/时). 1 20
10

21.【解题指南】 (1)先利用已知条件结合余弦定理求得 A.

(2)先确定 B 的范围,把 cosB+cosC 转化成 B 的三角函数,利用性质求得范围. 2 2 2 【解析】(1)由余弦定理知 b +c -a =2bccosA, ∴tanA=

3 3 ? sinA= , 2cosA 2
? ? ),∴A= . 2 3

∵A∈(0,

(2)∵△ABC 为锐角三角形且 B+C=

?

2? -B) 3 2? 2? =cosB+cos cosB+sin sinB 3 3
cosB+cosC=cosB+cos( =

? 2? ? ? B= -C ? , 6 3 2

2? , 3

3 1 ? cosB+ sinB=sin(B+ ) 2 2 6 ? ? 2? 3 ? ? B+ ? , ? ? sin(B+ ) ? 1, 3 6 3 2 6

即 cosB+cosC 的取值范围是(

3 ,1]. 2

11


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