【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修3)练习:综合能力测试3]


第三章综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时间 120 分钟,满分 150 分。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.对于概率是 1?的事件,下列说法正确的是( A.概率太小,不可能发生 B.1 000 次中一定发生 1 次 C.1 000 人中,999 人说不发生,1 人说发生 D.1 000 次中有可能发生 1 000 次 [答案] D [解析] 概率是 1?是说明发生的可能性是 1?,每次发生都是随机的,1 000 次中也可 能发生 1 000 次,只是发生的可能性很小,故选 D. 2.下列事件中,随机事件是( ) )

A.向区间(0,1)内投点,点落在(0,1)区间 B.向区间(0,1)内投点,点落在(1,2)区间 C.向区间(0,2)内投点,点落在(0,1)区间 D.向区间(0,2)内投点,点落在(-1,0)区间 [答案] C [解析] 选项 A 为必然事件,选项 B 与 D 为不可能事件,只有 C 为随机事件. 3.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,从中任取一根,取到长度超过 30 mm 的纤维的概率是( 30 A. 40 12 C. 30 [答案] B [解析] 在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 mm,即基本事件总数为 40,且它们是 12 等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为 . 40 4.甲、乙两人随意住两间空房,则甲、乙两人各住一间房的概率是( 1 A. 4 1 C. 2 [答案] C 1 B. 3 2 D. 3 ) ) 12 B. 40 D.以上都不对

[解析] 不妨设两间空房为 A、B,则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为:甲、乙 都住 A;甲、乙都住 B;甲住 A,乙住 B;甲住 B,乙住 A 共 4 种情况.其中甲、乙两人各 2 1 住一间的情形有 2 种,故所求的概率 P= = . 4 2 5.从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构 成三角形的概率是( 3 A. 4 1 C. 2 [答案] A [解析] 从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条总共有 4 种情况,依据 3 四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4 或 3、4、5 或 2、4、5,故 P= . 4 6.如图,一个矩形的长为 5,宽为 2,在矩形内随机的撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部 分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约为( ) ) 1 B. 4 1 D. 8

23 A. 5 19 C. 5 [答案] A

21 B. 5 16 D. 5

S阴影 S阴影 138 23 [解析] 据题意得 = = ?S 阴影= . 5 S矩形 2×5 300 7.袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取 3 次,则下列事件中 8 概率是 的是( 9 ) B.颜色不全相同 D.无红颜色球

A.颜色全相同 C.颜色全不相同 [答案] B

1 [解析] 共有 3×3×3=27 种可能,而颜色全相同有三种可能,其概率为 .因此,颜色 9 1 8 不全相同的概率为 1- = ,故选 B. 9 9 8.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆,在扇 形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

2 A.1- π 2 C. π [答案] A [解析] 本题考查几何概型的计算方法.

1 1 B. - 2 π 1 D. π

πR2 R 设图中阴影面积为 S1,S2,令 OA=R,∴S2-S1= -π·( )2=0,即 S2=S1, 4 2

由图形知,S1=2(S 扇 ODC-S△ODC) R π·? ?2 2 2 2 1 R 2 πR -2R =2[ - · ( ) ]= , 4 2 2 8 ?π-2?R2 4 S1+S2 2 ∴P= = =1- , πR2 π S扇AOB 4 充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积. 9.(2014· 新课标Ⅰ理,5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则 周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( 1 A. 8 5 C. 8 [答案] D [解析] 本题主要考查古典概型概率的求法,关键是求出可能结果的种数. 4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有 24=16 种,其中 仅在周六(周日)参加的各有 1 种,∴所求概率为 1- 1+1 7 = . 16 8 ) 3 B. 8 7 D. 8

10.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是正方形 ABCD 四边的中点, 将均匀的粒子撒在正方形中,则粒子落在下列四个图中阴影部分区域的概率依次为 P1,P2, P3,P4,则关于它们的大小比较正确的是( )

A.P1<P2=P3<P4 C.P1=P4<P2<P3 [答案] D

B.P4<P2=P3<P1 D.P1=P4<P3<P2

1 [解析] 正方形 ABCD 的面积为 2×2=4,对于图 1,阴影部分区域的面积为 4-4× , 2 2 π 所以概率为 P1= ;对于图 2,阴影部分区域的面积为 π,所以概率为 P2= ;对于图 3,阴 4 4 1 3 1 影部分区域的面积为 4-2× =3,所以概率为 P3= ;对于图 4,阴影部分区域的面积为 2 4 2 2 ×2×2=2,所以概率为 P4= ,故选 D. 4 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在题中横线上) 11.口袋中装有 100 个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球 45 个,从口袋中摸出 一个球,摸出白球的概率是 0.23,则摸出黑球的概率是________. [答案] 0.32 [解析] 白球个数为 100×0.23=23,黑球个数为 100-45-23=32,所以摸出黑球的概 32 率为 =0.32. 100 12.同时抛掷两个骰子,向上的点数之积为偶数的概率为________. [答案] 3 4

[解析] 同时抛掷两个骰子,有 6×6=36 种不同结果,朝上一面的点数之积是奇数, 当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有 3×3=9 个不同结果, ∴“朝上一面点数的积为奇 9 1 1 3 数”的概率 P= = ,其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为 1- = . 36 4 4 4 13.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到 1 1 圆心的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家 2 4 看书.则小波周末不在家看书的概率为________. [答案] 13 16

[解析] 本题主要考查几何概型. 1 π×12-π×? ?2 2 3 ∵去看电影的概率 P1= = ; 2 4 π×1 1 π×? ?2 4 1 ∴去打篮球的概率 P2= = . π×12 16 3 1 13 小波不在家看书的概率 P= + = . 4 16 16 14. 从含有三件正品和一件次品的 4 件产品中不放回地任取两件, 则取出的两件中恰有 一件次品的概率是__________________. [答案] 1 2

[解析] 从 4 件产品中不放回的任取两件,共有基本事件总数为 4×3÷ 2=6.取出的两件 3 中恰有一件次品,则另一件为正品包括 1×3=3(种)可能结果,故恰有一件次品的概率为 = 6 1 . 2 15.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC=1,以 A 为圆心,1 为半径作四分之一个圆 弧 DE,在圆弧 DE 上任取一点 P,则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率是________.

[答案]

1 3

π 6 1 1 π [解析] 连接 AC,则 tan∠CAB= ,∠CAB= ,由几何概型的计算公式得 P= = . 6 π 3 3 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)袋中有红、黄 2 种颜色的球各 1 只,从中每次任取 1 只,有放 回地抽取两次.求: (1)两次全是红球的概率; (2)两次颜色相同的概率; (3)两次颜色不同的概率. [解析] 因为是有放回地抽取两次,所以每次取到的球可以都是红球,也可以都是黄

球.把第一次取到红球,第二次取到红球简记为(红,红),其他情况用类似记法,则有放回 地抽取 2 次,所有的基本事件有 4 个,分别是: (红,红),(红,黄),(黄,红),(黄,黄).

1 (1)两次全是红球的概率是 P1= . 4 (2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥,因 1 1 1 此两次颜色相同的概率是 P2= + = . 4 4 2 (3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件,所以两次颜色不同的概率是 P3 1 1 =1- = . 2 2 点拨:可用枚举的方法把所有基本事件列举出来,解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事 件求解. 17.(本小题满分 12 分)现从 A,B,C,D,E 五人中选取三人参加一个重要会议,五人 被选中的机会均等.求: (1)A 被选中的概率; (2)A 和 B 同时被选中的概率; (3)A 或 B 被选中的概率. [解析] 基本事件有“ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,CDE,BCD,BCE,BDE,ADE” 共 10 个. (1)事件 A 被选中包含 6 个基本事件,即 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE. 6 ∴P1= =0.6. 10 (2)事件 A 和 B 同时被选中包含 3 个基本事件, 即 ABC,ABD,ABE, 3 ∴P2= =0.3. 10 (3)A、B 都不被选中只有事件 CDE 一种,所以事件 A 或 B 被选中包含 9 个基本事件, 9 ∴P3= =0.90. 10 18.(本小题满分 12 分)(2014· 陕西文,19)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保 车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1000 130 2000 100 3000 150 4000 120

(1)若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中,车主 是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率. [分析] (1)当赔付金额为 3000,4000 元时大于投保金额,利用互斥事件求和. (2)分别求出样本车主中为新司机人数及赔付金额为 4000 的车辆车主人数,问题易解. [解析] (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元”, B 表示事件“赔付金额为 4000 元”

以频率估计概率得 150 120 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12. 1000 1000 由于投保金额为 2800 元,赔付金额大于投保金额对应的情形是 3000 元和 4000 元,所 以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”,由已知,样本车辆中车主为新司 机的有 0.1×1000=100 辆,而赔付金额为 4000 元的车辆中,车主为新司机的有 0.2×120= 24 辆. 24 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为 =0.24. 100 由频率估计概率得 P(C)=0.24. 19.(本小题满分 12 分)将一枚质地均匀的硬币连续投掷 4 次,出现“2 次正面朝上,2 次反面朝上”的概率是多少? [解析] 用列举法列举所有可能的情况,如下图所示:

由此可知,所有可能的情况有 n=16 种.其中出现两正两反的情况有①②③④⑤⑥共 6 6 3 种,因此出现两正两反的概率是 P= = . 16 8 20.(本小题满分 13 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若 a,b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (2)若 a∈[2,6],b∈[0,4],求方程没有实根的概率. [分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解. [解析] (1)易知基本事件(a,b)共有 36 个,方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于 a-2>0,16-b2>0,Δ≥0,即 a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16, 设“方程有两个正根”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3) 4 1 共 4 个,故所求的概率为 P(A)= = . 36 9 (2)试验的全部结果构成区域为{(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,a,b∈N*},其面积为 16. 设“方程无实根”为事件 B,则构成事件 B 的区域为{(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2

1 +b2<16},其面积为 ×π×42=4π. 4 4π π 故所求的概率为 P(B)= = . 16 4 21.(本小题满分 14 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13s 至 18s 之 间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15)??第五组[17,18].如 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)若成绩大于或等于 14 s 且小于 16 s 认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的 人数; (2)设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m,n∈[13,14)∪[17,18].求 事件“|m-n|>1”的概率. [解析] (1)由题中的直方图知, 成绩在[14,16)内的人数为 50×(0.16×1)+50×(0.38×1) =27, 所以该班成绩良好的人数为 27. (2)设事件 M:“|m-n|>1” 由频率分布直方图知,成绩在[13,14)的人数为 50×0.06×1=3, 设这 3 人分别为 x,y,z; 成绩在[17,18)的人数为 50×0.08×1=4, 设这 4 人分别为 A,B,C,D. 若 m,n∈[13,14)时,则有 xy,xz,yz 共 3 种情况; 若 m,n∈[17,18]时,则有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种情况; 若 m,n 分别在[13,14)和[17,18]内时,此时有|m-n|>1. A x y z 共有 12 种情况. 所以基本事件总数为 3+6+12=21 种, 则事件“|m-n|>1”所包含的基本事件个数有 12 种. 12 4 所以 P(M)= = . 21 7 xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD


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