(课堂设计)-高中数学 1.5 函数y=asin(ωx+φ)的图象(二)学案 新人教a版必修4

1.5 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(二) 自主学习 知识梳理 1.函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的性质如下: 定义域 R 值域 周期性 T=______ φ =________时是奇函数; φ =__________时是偶函数; 奇偶性 kπ 当 φ ≠ (k∈Z)时是__________函数 2 单调增区间可由__________________得到, 单调性 单调减区间可由__________________得到 2.简谐振动 在物理学中,常用函数 y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω >0 描述做简 谐运动的一个振动量. A 就 是 这 个 简 谐 运 动 的 ________ , 它 是 做 简 谐 运 动 的 物 体 离 开 平 衡 位 置 的 ____________; 这个简谐运动的周期是____________, 这是做简谐运动的物体往复运动一次 1 所需要的时间;这个简谐运动的频率 f= =________,它是做简谐运动的物体在单位时间 T 内往复运动的__________;__________称为相位;x=0 时的相位 φ 称为________. 自主探究 利用“五点法”作出函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0, ω ≠0, φ >0)在一个周期上的图象, 要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤.请完成下面的填空. π 3 ω x+φ 0 π 2π π 2 2 φ φ π φ π φ 3π φ 2π x - - + - + - + - + ω ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω y 0 A 0 -A 0 所以,描点时的五个关键点的坐标依次是____________,____________,__________, ____________,__________. 2π 若设 T = ,则这五个关键点的横坐标依次为 ________ , ________ , ________ , ω ________,________. 对点讲练 知识点一 利用五点法作 y=Asin(ω x+φ )的简图 例1 π? ? 作出 y=2.5sin?2x+ ?的图象. 4? ? π 3π 回顾归纳 “五点法”作图时,五点的确定,应先令 ω x+φ 分别为 0、 、π 、 、 2 2 2π ,解出 x,从而确定这五点. ?1 π ? 变式训练 1 作出 y=3sin? x- ?一个周期上的图象. 4? ?2 知识点二 求 y=Asin(ω x+φ )的解析式 例 2 如图为 y=Asin(ω x+φ )的图象的一段,求其解析式. 回顾归纳 由图象求解析式,本质就是“五点法”作图的逆向思维:五点对应.如本题 用到五点中的第一、五个点.若图象中有最值点坐标,也可代入解方程求 φ ,但 φ 的范围 不能太大. 变式训练 2 若函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π )的图象(部分)如图所示,则 ω 和 φ 的取值分别为________. 知识点三 正、余弦函数的对称问题 例3 π 如图为函数 y1=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< )的一个周期的图象. 2 (1)写出 y1 的解析式; (2)若 y2 与 y1 的图象关于直线 x=2 对称,写出 y2 的解析式; (3)指出 y2 的周期、频率、振幅、初相. 回顾归纳 (1)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )关于(x0,0)中心对称?f(x0)=0?ω x0+φ = kπ (k∈Z); (2)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )关于直线 x=x0 轴对称?f(x0)=A 或 f(x0)=-A?ω x0+ π φ =kπ + (k∈Z). 2 π? ? 变式训练 3 关于 f(x)=4sin?2x+ ? (x∈R),有下列命题: 3? ? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 是 π 的整数倍; π? ? ②y=f(x)的表达式可改写成 y=4cos?2x- ?; 6? ? ? π ? ③y=f(x)图象关于?- ,0?对称; ? 6 ? π ④y=f(x)图象关于 x=- 对称. 6 其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上). 1. 由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A, ω, φ 的值. (1)一般可由图象上的最大值,最小值来确定|A|. 2π (2)因为 T= , 所以往往通过求周期 T 来确定 ω , 可通过已知曲线与 x 轴的交点从而 ω 确定 T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距 2 离为 T. ? φ ? (3) 从寻找“五点法”中的第一零点 ?- ,0? ( 也叫初始点 ) 作为突破口.以 y = ω ? ? Asin(ω x+φ )为例,位于单调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的 第一个点. 2.在研究 y=Asin(ω x+φ )的性质时,注意采用整体代换的思想.如,它在 ω x+φ π 3π = +2kπ (k∈Z)时取得最大值,在 ω x+φ = +2kπ (k∈Z)时取得最小值. 2 2 课时作业 一、选择题 1.函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)为偶函数的条件是( π π A.φ = +2kπ (k∈Z) B.φ = +kπ (k∈Z) 2 2 C.φ =2kπ (k∈Z) D.φ =kπ (k∈Z) 2.函数图象的一部分如图所示,其函数为( ) T ) ? π? A.y=sin?x+ ? 6? ? π? ? C.y=cos?4x- ? 3? ? π? ? B.y=sin?2x- ? 6? ? π? ? D.y=cos?2x- ? 6? ? π 3.若函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R(其中 ω

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