湖北省孝感高级中学学高二数学月调考试题理解析


孝感高中 2017 届高二年级调考 数学(理)试题
考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知命题 p : ?x ? R, 使 sin x ? ①命题“ p ? q ”是真命题; ③命题“ ? p ? q ”是真命题; 其中正确的是( A.②④ ) B.②③ C.③④ D.①②③ )

5 ; 命题q : ?x ? R, 都有x 2 ? x ? 1 ? 0. 给出下列结论: 2
②命题“ P? ?q ”是假命题 ④命题“ ? p? ?q ”是假命题

2.如图,5 个(x,y)数据,去掉 D(3,10)后,下列说法错误的是( A.相关系数 r 变大 B.残差平方和变大 C.R 变大 D.解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强
2

第2题图

3.若 (2 x ? 3 ) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ?(a1 ? a3 ) 2 的值为: ( ) A.1 B.-1 C.0 D. 2 4.总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 5 个个体,选 取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出 来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 3204 A.08 9234 B.07 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 D.01 0198 7481

C.02

1 5.在如图所示的电路图中,开关 a,b,c 闭合与断开的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮 2 的概率是( 1 A. 8 C. 1 4 ) 3 B. 8 D. 7 8
第5题图

1

6 . 椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0)的长轴被圆x 2 ? y 2 ? b 2与x轴的两个交点 三等分,则椭圆的离 a2 b2


心率是(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

2 2 3

7.已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 ,C1 与 C2 ,双曲线 的方程为 C 2 a2 b2 a2 b2
) C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

的离心率之积为 A. x ? 2 y ? 0

15 ,则 C2 的渐近线方程为( 4
B. 2 x ? y ? 0

8.如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇 形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区 域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( π A.1- 4
2

) π D. 4
第8题图

π B. -1 2

π C.2- 2

(x ? a)( ? 1) 的展开式中常数项为-1,则 a 的值为( 9.若
5

1 x



D.1 或 9 → → → ? → 2 10.设 F 为抛物线 y =8x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC= 0 ,则|FA|+ → → |FB|+|FC|的值是( ). A.6 B.8 C. 9 D.12 11.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为 F ( 7 ,0), 直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两点,MN 中点的横坐标为 ?

A.1

B.8

C.-1 或-9

2 , 则此双曲线的方程是( 3
B.



A.

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 5 2
)

D.

x2 y2 ? ?1 2 5

12.将 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字,每次取三个不同的数字,把其中最大的数字放在百 位上排成三位数,这样的三位数的个数是 ( A.251 B.241

C.250

D.240
2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中的横线上) 13.已知随机变量 x~N(2,σ ),若 P(x>a)=0.68,则 P(a≤x<4-a) =____. 14.执行如图所示的程序框图,输出的结果为________________. 15.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,当 P 到直线 y ? x ? 4 的距离最短时, 点 P 的坐标是__________. 16. 若椭圆
第13题图
2

x2 x2 ? y 2 ? 1 (m ? 1) 与双曲线 ? y 2 ? 1 (n ? 0) 有相同的 m n

焦点 F1、F2,P 是两曲线的一个交点,则 ?F1 PF2 的面积是________.
第14题图

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 . ( 本 小 题 10 分 ) 已 知 集 合 A ? x | x ? 2mx? m ? 6 ? 0 , B ? ?x | x ? 0? , 若 命 题
2

?

?

“ A ? B ? ? ”是假命题,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题 12 分)柜子里有 4 双不同的鞋,随机地取出 2 只,试求下列事件的概率: (1)取出的鞋不成双; (2)取出的鞋都是同一只脚的; (3)取出的鞋一只是左脚的,一只是右脚的,但它们不成双.

19 . ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 过 抛 物 线 y ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 的 直 线 L 交 抛 物 线 于
2

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 两点,过 B 作抛物线准线的垂线 BD,垂足为 D.
(1)若直线 L 的斜率为 2 且线段 AB 的长为 10,求该抛物线的方程; (2)直线 AD 是否过 X 轴上的一定点?若是,求出此定点,若不是,说明理由.
3

( x ? ) 的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 14:1. 20. (本小题 12 分)已知在
3 n

2 x

(1)求展开式中 x 6 的系数; (2)求展开式中系数绝对值最大的项; .
2 3 n (3)求 n ? 9cn 的值. ? 81cn ? ... ? 9 n?1 cn

21. (本小题 12 分)某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中 30 名跳高运动员 进行了测试,并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“合格”,成绩在 175 cm 以下 定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较 弱,为激励乙队队员,学校决定只有乙队 中“合格”者 .. 才能参加市运动会开幕式旗林队. (1)求甲队队员跳高成绩的中位数; (2) 如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次, 用分层抽样抽取“合格” 与“不合格”的人数共 5 人,则各层应抽取多少人? (3)若从所有“合格”运动员中选取 2 名,用 X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式 旗林队的人数,试写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望.

22. (本小题 12 分)已知 A(? 3,0), B( 3,0) ,动点 P 满足 PA ? PB ? 4 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点(1,0)作直线 L 与曲线 C 交于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ?

??? ?

??? ?

???? ? ????

3 ,求直线 L 的方程; 5

4

(3) 设 T 为曲线 C 在第一象限内的一点, 曲线 C 在 T 处的切线与 X、Y 轴分别交于点 E、F, 求 ?OEF 面积的最小值.

5

数学(理)试题答案 一、选择题 BBADB DCADD DD

二、填空题 13. 0.36 14. 20 15.(1,2) 16. 1

三、解答题 17.解:由题:方程 x 2 ? 2mx ? m ? 6 ? 0 有负根 ①若方程无根,则 ? ? 0, m ? (?2,3)

?? ? 0 ? ?m ? 3 ②若方程无负根,则 ?2m ? 0 ?m ? 6 ? 0 ?
由① ②知, m ? ?2 ,所以,当方程有负根时, m ? ?2 (10 分)

18.解: (1) P ?

2 1 1 C4 C2 C2 6 ? 7 C82 2 1 C4 C2 3 ? C82 7 2 1 C4 C2 3 ? C82 7

(4 分)

(2) P ?

(8 分 )

(3) P ?

(12 分)

19.解: (1) P ? 4, y ? 8x (6 分)
2

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时, 设 AB 方程为 y=k?x- ? (k≠0). ? 2?

?

p?

p? ? ?y=k? ?x-2?, ? ? 由? 2 ? ?y =2px,

得 ky -2py-p k=0. -p
2

2

2

由根与系数的关系得,y1y2=-p ,∴y2=

2

y1

,∴D( ?

p -p2 ) , 2 y1
6

∵A 在抛物线上,∴y1=2px1, ∴A( 2p ∴kAD= .

2

y12 ,y1) 2p
2

y1

2p y ∴直线 AD 的方程为 y= ( x ? 1 )+ y1 =

2p

y1

2p

y1

x.

∴直线 AD 过定点(0,0)

? ? ? ? ( , p) 当 AB⊥x 轴时, 此时 B? ,-p?,D?- ,-p?,A ?2 ? ? 2 ? 2
p p
∴直线 AD 的方程为 y ? 2 x ,∴直线 AD 过定点(0,0) 综上可知,直线 AD 过定点(0,0) (注意:斜率为-2 时也对)
4 2 (1)由 Cn (?2) 4 : Cn (?2) 2 ? 14:1 解得 n=9

p

(12 分)

20.

(2 分)

r 因为通项: Tr ?1 ? C9 (?2) r x 2

27 5 r ? 2

,令

27 5r ? ? 6,? r ? 3 2 2
(4 分)
r r r ?1 r ?1 ? ?C9 2 ? C9 2 r r r ?1 r ?1 ? ?C9 2 ? C9 2

3 于是系数为 C9 (?2)3 ? ?672

(2)设第 r+1 项系数绝对值最大,则 ? 解得 17 ? 3r ? 20 ,于是 r 只能为 6 所以系数绝对值最大的项为 C9 (?2) x 2
6 6

(6 分)
27 30 ? 2

? 5376 x

?

3 2

(8 分)

(3)原式=

1 0 0 1 1 1 109 ? 1 9 9 C9 ? 9 C9 ? 9 2 C92 ? ? ? 9 9 C9 ? 1 ? (1 ? 9)9 ?1 = 9 9 9
(3 分) (6 分)

?

?

?

?

(12 分)

21. (1)177cm

(2)合格 2 人,不合格 3 人 (3)X=0,1,2

P( X ? 0) ?

C82 14 ? , 2 33 C12

P( X ? 1) ?

1 1 C8 C4 16 ? , 2 33 C12

P( X ? 2) ?

2 C4 3 1 ? ? 2 C12 33 11

7

因此,X 的分布列如下:

X P

0 14 33

1 16 33

2 1 11

14 16 1 22 2 ∴E(X)=0× +1× +2× = = .(12 分) 33 33 11 33 3

x2 ? y2 ?1 22.解(Ⅰ)动点 P 的轨迹 C 的方程为 4
(Ⅱ)解法 1 当直线 l 的斜率不存在时,M (1,



(3 分)

1 3 3 ), N (1,? ) , OM ? ON ? ,不合题意; 4 2 2

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,代入曲线 C 的方程得:

( 1 ? 4k 2)x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ?1) ? 0 ,
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则: x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

OM ? ON
? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ?1)(x2 ?1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2
?
3 k2 ?4 = ? , 解得 : k ? ?1 2 5 1 ? 4k
故所求的直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ;(7 分) 解法 2 当直线 l 为 x 轴时, M (?2,0) N (2,0), OM ? ON ? ?4 , 不合题意;

0) 的直线 l : x ? ?y ? 1 ,代入曲线 C 的方程得 当直线 l 不为 x 轴时,设过 (1,

(4 ? ?2)y 2 ? 2?y ? 3 ? 0
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y 2 ?

? 2? ?3 , y1 y 2 ? 2 4?? 4 ? ?2

8

OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? ?2 ) y1 y2 ? ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ?

1 ? 4?2 3 ?? 2 4?? 5

解得 : ? ? ?1
故所求的直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ;(7 分) (Ⅲ)设切线 y ? kx ? b ( k ? 0 ),代入曲线 C 的方程

x2 ? y 2 ? 1 得: 4

( 1 ? 4k 2)x 2 ? 8kbx ? 4(b2 ? 1) ? 0 ,
2 2 由 ? ? 0 得, b ? 4k ? 1

b 1 k 1 4k 2 ? 1 ?2 又有 E ( ? ,0), F (0, b) ,所以 S ? b(? ) ? ? k 2 b 2 k
当k ? ?

1 时取“= 2

所以, ?OEF 面积的最小值是 2.

(12 分)

9


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