3.2--3.3.ppt_图文

§3-2

功能原理

1.质点系统动能定理
设系统由两个质点1和2组成,它们的质量 分别为m1 和m2。
? F1
s1 m1 s2

? F2

? f12

? f 21

m2

质点系统动能定理

? ? ? ? ? F1 ? d r1 ? ? f12 ? d r1 ? ?Ek1
对质点2应用动能定理:

对质点1应用动能定理:

? F1

s1

s2 m1

? F2

? ? ? ? ? F2 ? d r2 ? ? f 21 ? d r2 ? ?Ek 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? F1 ? d r1 ? ? F2 ? d r 2 ? ? f12 ? d r1 ? ? f 21 ? d r2 ? ?Ek1 ? ?Ek 2
系统外 力的功 系统内 力的功

? f12

? f 21

m2

系统动能 的增量

Ae ? Ai ? ?Ek

2.系统的功能原理
因为对系统的内力来说,它们有保守内力和非保 守内力之分,所以内力的功也分为保守内力的功 Aic和 非保守内力的功 Aid 。

Ai ? Aic ? Aid

? Aic ? ??E p

? Ae ? Aid ? ?Ek ? ?E p ? ?E
系统的功能原理:当系统从状态1变化到状态2时, 它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的 总和,这个结论叫做系统的功能原理。

系统的功能原理

注意:
(1)取物体作为研究对象时,其中外力所作的功 指的是作用在物体上的所有外力所作的总功,必须 计算包括重力、弹性力的一切外力所作的功。 (2)取系统作为研究对象时,保守内力所作的功, 已为系统势能的变化所代替,如果计算了保守内力所 作的功,就不必再去考虑势能的变化;反之,考虑了 势能的变化,就不必再计算保守内力的功。

系统的功能原理

(3)存在机械运动之外的其它运动形式时,系统的能 量应是机械能和其它形式的能量总和。

如果不考虑系统和外界热交换的情形,并假定对系统 的作用,只是作用在这系统上的外力的功,则外力对 系统所作的总功,就等于系统总能量的增量。
(4)当 Ae ? 0 时,

Aid ? ?E

非保守内力作的总功将引起系统机械能的改变。

Aid ? 0

系统内部其它形式的能量转换成机械能

Aid ? 0 系统内部机械能转变为其它形式的非保
守内能。

系统的功能原理

例题3-2 一汽车的速度v0=36km/h,驶至一斜率为 0.010的斜坡时,关闭油门。设车与路面间的摩擦 阻力为车重G的0.05倍,问汽车能冲上斜坡多远? 解法一:取汽车为研究对象。 汽车上坡时,受到三个力的 作用:一是沿斜坡方向向下的 摩擦力 f r,二是重力 G , 方向竖直向下,三是斜坡对 物体的支持力 N ,如图所示。 设汽车能冲上斜坡的距离为s, 此时汽车的末速度为0。根据 动能定理
N G2 s fr G G1

?

系统的功能原理

1 2 ? f r ? s ? Gs sin? ? 0 ? mv 0 (1) 2 上式说明,汽车上坡时,动能一部分消耗于反抗 摩擦力作功,一部分消耗于反抗重力作功。因 fr=?N= ?G1,所以 1 2 (2) ?G1 s ? Gs sin? ? mv 0 2 按题意,tg?=0.010,表示斜坡与水平面的夹角很 小,所以sin ?≈ tg?,G1 ≈ G,并因G=mg,上式 可化成 1 2 (3) ?gs ? gstg? ? v0 2

系统的功能原理



2 v0 s? 2 g( ? ? tg? )

代入已知数字得

10 2 s? m ? 85 m 2 ? 9.8(0.05 ? 0.010)

解法二:取汽车和地球这一系统为研究对象,则系 统内只有汽车受到 f r和 N两个力的作用,运用系统 的功能原理,有 1 2 ? f r ? s=( 0 ? Gs sin? ) ? ( mv 0 ? 0) 2 1 2 ? Gs sin? 即 ?Gs ? mv 0 ( 4) 2

系统的功能原理

例题3-3 在图中,一个质量m=2kg的物体从静止开始, 沿四分之一的圆周从A滑到B,已知圆的半径R=4m, 设物体在B处的速度v=6m/s,求在下滑过程中,摩擦力 所作的功。 解 在物体从A到B的下滑过程中,不仅有重力G的作用, 而且还有摩擦力F和正压力N 的作用,F与N两者都是变 力,N处处和物体运动方向相垂直,所以它不作功。但摩擦 力所作的功却因它是变力而使计算 A R 复杂起来,比较方便的方法是采用功 O ? 能原理进行计算,把物体和地球作为 fr 系统,则物体在A点时系统的能量EA是 N 系统的势能mgR,而在B点时系统的能 v G 2 量EB则是动能mv /2,它们的差值就是 B 摩擦力所作的功,由此

系统的功能原理

1 A ? E B ? E A ? mv 2 ? mgR 2 1 2 ? ? 2 ? 6 J ? 2 ? 9.8 ? 4 J ? ?42.4 J 2
负号表示摩擦力对物体作负功,即物体反抗摩擦 力作功42.4J

系统的功能原理

例题 3-4 在一截面积变化的弯曲管中, 稳定流动着不 可压缩的密度为 ? 的流体 . 点 a 处的压强为 p1、截面积 为S1 ,在点b 处的压强为p2 截面积为S2 .由于点 a 和点 b 之间存在压力差, 流体将在管中移动. 在点 a 和点b 处的 速率分别为 v1和 v2 .求流体的压强和速率之间的关系 .

y

y2
y1

S1 a p
1

p2

b S2

v2

v1
x2 x2 ? dx2

o

x1 x1 ? dx1

x

系统的功能原理

y2

y
p1 a
S1

y1

? v1

p2

bS ?
2

v2

o

x1x1 ? dx1

x 2 x2 ? dx2

x

解 取如图所示坐标,在 dt 时间内a 、 b处流体分别 移动 dx1、 d x 2.

1 1 2 2 E2 ? E1 ? ( ?gy 2dV ? ?dVv 2 ) ? ( ?gy1dV ? ?dVv1 ) 2 2

dAp ? p1S1dx1 ? p2 S2dx2 S1dx1 ? S2dx2 ? dV ?dAp ? ( p1 ? p2 )dV

系统的功能原理

由功能原理得:

1 1 2 2 ( p2 ? p1 )dV ? ( ?gy 2dV ? ?dVv 2 ) ? ( ?gy1dV ? ?dVv1 ) 2 2 1 2 1 2 p1 ? ?gy1 ? ?v1 ? p2 ? ?gy 2 ? ?v2 得 2 2


1 2 p ? ?gy ? ?v ? 常量 2
-------伯努利方程

机械能守恒定律

§3-3

机械能守恒定律 能量守恒定律

1. 机械能守恒定律 ( law of conservation of mechanical energy)


Ae ? Aid ? ?E

知:

如果一个系统内,外力和非保守内力不作功,或者它们 的总功为零,在只有保守内力作功时,则系统内各物体 的动能和势能可以相互转换,但机械能的总值不变。

Ae ? Aid ? 0 时, ?E ? 0 ,即E ? 常量
举例:弹簧振子的振动过程

机械能守恒定律

显然,孤立的保守系统机械能守恒。

当 ?E ? 0 时,?Ek ? ??E p ? Aic
即 Ep Aic > 0 Aic < 0 Ek

保守内力作功是系统势能与动能相互转化 的手段和度量。

能量守恒定律

2. 普遍的能量守恒定律
如果考虑各种物理现象,计及各种能量,



一个孤立系统不管经历何种变化,系统所有能

量的总和保持不变。能量只能从一种形式变化为另

一种形式,或从系统内的一个物体传给另一个物体.
—— 普遍的能量守恒定律

机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在
机械运动范围内的体现。


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