柯西不等式和基本不等式_图文

柯西不等式 1.设 x, y ? R ,则 ( x ?
2

1 1 )( ? 4 y 2 ) 的最小值为 y2 x2
2



解析:由柯西不等式可知 ( x ?

1 1 )( 2 ? 4 y 2 ) ? (1 ? 2) 2 ? 9 2 y x
a2 1 a2 2 a2 2011

2.设 a1,a2,?,a2011 都为正数,且 a1+a2+?+a2011=1,则 + +?+ 的最小值是________. 2+a1 2+a2 2+a2011

3.已知 x, y, z ? R ,且 x ? 2 y ? 3z ? 4 ,求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值.
【答案】由柯西不等式,得 [ x + (?2) y + (?3) z]2 ≤[12 + (?2)2 + (?3)2 ]( x2 + y 2 + z 2 ) ,

即 ( x ? 2 y ? 3z)2 ≤14( x2 + y 2 + z 2 ) , 即 16 ≤14( x 2 + y 2 + z 2 ) . 所以 x2 + y 2 + z 2 ≥ ,即 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为 4.若 x ? ? ?

8 7

8 7

? 1 2? , ? ,证明 1 ? 2x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 3 2 ? 2 3?

【答案】证明:由柯西不等式可得

18 ? ??1 ? 2 x ? ? ? 3 ? x ? ? ? 2 ? 3x ?? ?1 ? 1 ? 1? ? ? ?
又 x ?? ?

?

1 ? 2 x ?1 ? 3 ? x ?1 ? 2 ? 3x ?1 7 分

?

2

? 1 2? , ? ,所以 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 3 2 ? 2 3?
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

5.已知 x, y ? R ,求 ( x ? 2) ? ( x ? y ? 1) ? (3x ? y ? 5) 的最小值,并求出取到最小值时相应 x, y 的值. 解: [ 2 ? ( x ? 2) ? 1 ? ( x ? y ? 1) ? 1 ? ( y ? 3 x ? 5)] ? 2 ? ( 2 ? 1 ? 1 )[( x ? 2) ? ( x ? y ? 1) ? (3 x ? y ? 5) ] ∴ ( x ? 2) ? ( x ? y ? 1) ? (3 x ? y ? 5) ?
2 2 2

当且仅当

8 10 x?2 ? x ? y ? 1 ? 3x ? y ? 5 即 x ? , y ? 时,取到最小值. 3 3 2

2 3

方法总结:纵观此题的解析过程,难点在于系数“2,1,1”的配凑,我们可以借助待定系数法搞定它。过程如下:

[a ? ( x ? 2) ? b ? ( x ? y ? 1) ? c ? ( y ? 3 x ? 5)]2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )[( x ? 2) 2 ? ( x ? y ? 1) 2 ? (3 x ? y ? 5) 2 ]
只要 ?

?a ? b ? 3c ? 0 ,取其中一组解(a,b,c)=(2,1,1)即可 ? c ?b ? 0

设正数x,y,z满足 3x ? 4 y ? 5 z ? 1. (1)求证: x ? y ? z ?
2 2 2

1 ; 50

1 1 1 ? ? 值. x? y y? z z?x 解: (1)由已知得 3x ? 4 y ? 5 z ? 1,
(2)求 所以,由柯西不等式,得 ( x2 ? y 2 ? z 2 )(32 ? 42 ? 52 ) ? (3x ? 4 y ? 5z)2 ? 1, 即 x ? y ? z ?
2 2 2

(2)设 x ? y ? a, y ? z ? b, z ? x ? c,

1 . 50

则x ? 代入

a ?c ?b a ?b?c b?c?a ,y? ,z ? , 2 2 2

3x ? 4 y ? 5a ? 1, 得a ? 3b ? 2a ? 1. 1 1 1 1 1 1 所以,由柯西不等式,得 ? ? ? ( ? ? )(a ? 3b ? 2c) ? (1 ? 3 ? 2) 2 , x? y y?z z?x a b c
当且仅当 a ? 3b ? 2c 时“=”成立。 2009 年镇海中学、绍兴一中模拟考

7.已知 a ? 0, b ? 0, 且 2a ? b ? 1 ,求 S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值.
【答案】解:? a ? 0, b ? 0, 2a ? b ? 1,

∴ 4a 2 ? b 2 ? (2a ? b) 2 ? 4ab ? 1 ? 4ab , 且 1 ? 2a ? b ? 2 2ab ,即 ab ? 2 , ab ? 1 , 4 8 ∴ S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 ? 2 ab ? (1 ? 4ab) ? 2 ab ? 4ab ? 1 ? 2 ? 1 , 当且仅当 a ? 1 , b ? 1 时,等号成立 4 2 2

8.(I)求函数 f ( x) ?

3 2 sin x ? 1
2

?

8 3 cos x ? 2
2

, ( x ? R) 的最小值.

(II)已知 m, n ? R, a, b ? R ? , n 2 m 2 ? a 2 m 2 ? b 2 n 2 , 证明: m 2 ? n 2 ? a ? b .

解: f ( x ) ? (1) ?

9 6sin x ? 3
2

?

16 6cos 2 x ? 4

1 9 16 1 49 [(6sin 2 x ? 3) ? (6cos 2 x ? 4)][ ? ] ? (3 ? 4)2 ? . 2 2 13 6sin x ? 3 6cos x ? 4 13 13

49 3 .(tan x ? ? )............................................5' 13 2 a 2 b2 (2)m , n ? R, a , b ? R ? , n 2 m 2 ? a 2 m 2 ? b 2 n 2 ,? 1 ? 2 ? 2 n m 2 2 a b ? n 2 ? m 2 ? ( 2 ? 2 )( n 2 ? m 2 ) ? (a ? b )2 ? n 2 ? m 2 ? a ? b..................10' n m ? f ( x )min ?
9.设正数 x, y, z 满足 2 x ? 2 y ? z ? 1 (1)求 3xy ? yz ? zx 的最大值; (2)证明:

3 1 1 125 。 ? ? ? 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 26

(1)法一:将 2 x ? 2 y ? z ? 1 平方可得: 4 x 2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 8xy ? 4 xz ? 4 yz ? 1 即( x ?
2

7 2

7 2 x2 z 2 y2 z2 y ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 8 xy ? 4 xz ? 4 yz ? 1 ,由基本不等式可知 2 2 2 2 2

7 y 2 7x2 x2 z 2 y2 z2 1? 2 ? ?2 ? ?2 ? ? 8xy ? 4 yz ? 4 xz ? 15xy ? 5 yz ? 5 xz 2 2 2 2 2 2
所以 3 xy ? xz ? yz ?

1 1 ,等号成立时, x ? y ? z ? 。 5 5

法二:由 2 x ? 2 y ? z ? 1 得 z ? 1 ? 2 x ? 2 y ,代入 3xy ? yz ? zx

3 xy ? yz ? zx ? 3 xy ? ( x ? y ) z ? 3 xy ? ( x ? y )(1 ? 2 x ? 2 y ) ? 3(

x? y 2 ) ? ( x ? y )(1 ? 2 x ? 2 y ) 2 u ? x? y 5 5 4 4 1 5 2 1 1 ? ? u 2 ? u ? ? (u 2 ? u ? ) ? ? ? (u ? ) 2 ? ? u?( 0 , 0.5 ) 4 4 5 25 5 4 5 5 5
1 时,等号取到 。 5
2 2 2 2 2 2

当且仅当 x ? y ? z ?

(2)证明:由柯西不等式 ( x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 )2 ? ( x1 ? y1 ? z1 )(x2 ? y2 ? z2 ) 可得:

3 1 1 ( ? ? )[3(1 ? xy) ? (1 ? yz) ? (1 ? zx)] ? (3 ? 1 ? 1) 2 ? 25 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx
即(

3 1 1 ? ? )(5 ? 3xy ? yz ? zx) ? 25 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx
1 3 1 1 25 ? ? ? ,又由(1)可得: 3 xy ? xz ? yz ? , 5 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 5 ? 3xy ? yz ? xz

所以

所以

3 1 1 25 125 ? ? ? ? 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 5 ? 1 26 5

1 1 1 100 10.设 a , b, c 为正数且 a ? b ? c ? 1 ,求证: (a ? )2 ? (b ? )2 ? (c ? )2 ? . a b c 3
2 2 2 2 2 2 证明:左边= (1 ? 1 ? 1 )[(a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ]

1 3

1 a

1 b

1 c

1 1 1 1 ? [1? (a ? ) ? 1? (b ? ) ? 1? (c ? )]2 (5 分) 3 a b c 1 100 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? ( ? ? )]2 ? [1 ? (a ? b ? c)( ? ? )]2 ? (1 ? 9) 2 ? ?(10 分) 3 3 3 a b c 3 a b c
11.已知 x, y , z 是正实数,且 x ? y ? z ? 1 ,求 u ?

x2 y2 z2 的最小值。 ? ? y(1 ? y) z (1 ? z ) x(1 ? x)

解:由已知可得, y(1 ? y), z (1 ? z ), x(1 ? x) 均为正实数 根据柯西不等式,得

x2 y2 z2 ( x ? y ? z) 2 1 u? ? ? ? ? 2 y(1 ? y) z(1 ? z) x(1 ? x) y(1 ? y) ? z(1 ? z ) ? x(1 ? x) 1 ? ( x ? y 2 ? z 2 )
1 1 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ( x ? y ? z) 2 ? 3 3
?0 ? x ? 1

? x2 ? x

同理 y 2 ? y, z 2 ? z

? x2 ? y2 ? z 2 ? x ? y ? z ? 1 ? 0 ? 1 ? (x 2 ? y 2 ? z 2 ) ?
?u ? 3 1 3 当 x ? y ? z ? 时, u max ? 2 3 2

2 3

已知大于 1 的正数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 3 3.

(1)求证:

x2 y2 z2 3 ? ? ? . x ? 2 y ? 3z y ? 2 z ? 3x z ? 2 x ? 3 y 2

(2)求

1 1 1 的最小值。 ? ? log 3 x ? log 3 y log 3 y ? log 3 z log 3 z ?log 3 x

解:由柯西不等式

x2 y2 z2 ( ? ? )[( x ? 2 y ? 3z ) ? ( y ? 2 z ? 3x) ? ( z ? 2 x ? 3 y) ? ( x ? y ? z ) 2 ? 27. x ? 2 y ? 3 z y ? 2 z ? 3x z ? 2 x ? 3 y





x2 ? x?2 y ?3 z
(2)?

y2 ?y2

? ?z3

z2 3 ? . x ?2 z ?3 x

2 y

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? log3 x ? log3 y log3 y ? log3 z log3 z ? log3 x log3 ( xy) log3 ( yz ) log3 ( zx) 1 1 1 ? ? )(log3 ( xy) ? log3 ( yz) ? log3 ( zx)) ? 9 ,所以, log3 ( xy) log3 ( yz ) log3 ( zx)

由柯西不等式得: (

(

1 1 1 9 9 ? ? )? ? log3 ( xy) log3 ( yz ) log3 ( zx) (log3 ( xy) ? log3 ( yz ) ? log3 ( zx)) 2log3 ( xyz )

3 9 9 2 ? ? ?3 又?3 3 ? x ? y ? z ? 33 xyz . ? xyz ? 3 3. ? log 3 xyz ? . 得 2 2log3 xyz 2 3
所以,

1 1 1 ? ? ? 3 当且仅当 x ? y ? z ? 3. 时,等号成立。 log3 x ? log3 y log3 y ? log3 z log3 z ? log3 x

故所求的最小值是 3。

已知正数 x, y , z 满足 5 x ? 4 y ? 3z ? 10 .

(1) 求证:

25x 2 16y 2 9z 2 ? ? ?5; 4 y ? 3z 3z ? 5 x 5 x ? 4 y

(2) 求 9

x2

? 9y

2

?z2

的最小值.

(1) 解: 根据柯西不等式,得

[(4 y ? 3z ) ? (3z ? 5x) ? (5x ? 4 y )][
因为 5 x ? 4 y ? 3z ? 10 ,

25x 2 16y 2 9z 2 ? ? ] ? (5x ? 4 y ? 3z) 2 , 4 y ? 3z 3z ? 5 x 5 x ? 4 y

所以

25x 2 16y 2 9z 2 102 ? ? ? ? 5. 4 y ? 3z 3z ? 5x 5x ? 4 y 20
2 2

(2) 解: 根据均值不等式, 得 9 x ? 9 y 根据柯西不等式, 得

?z2

? 2 9x ? 9 y
2

2

?z2

? 2 ? 3x

2

? y2 ?z2

,当且仅当 x 2 ? y 2 ? z 2 时, 等号成立.

( x2 ? y 2 ? z 2 )(52 ? 42 ? 32 ) ? (5x ? 4 y ? 3z)2 ? 100,


( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? 2 ,当且仅当
x2

综上, 9

? 9y

2

?z2

x y z ? ? 时, 等号成立. 5 4 3 4 3 ? 2 ? 32 ? 18 .当且仅当 x ? 1 , y ? , z ? 时, 等号成立, 5 5

已知 a、b、 c ? (1, 2).

(I)求证:

1 ? 4; (a ? 1)(2 ? a)

(II)求 y ?

1 (a ? 1)(2 ? b)

?

1 (b ? 1)(2 ? c)

?

1 (c ? 1)(2 ? a)

的最小值。

证明: (1)略 (2)由基本不等式得

y?

1 1 1 2 2 2 ? ? ? ? ? (a ? 1)(2 ? b) (b ? 1)(2 ? c) (c ? 1)(2 ? a) a ? 1 ? 2 ? b b ? 1 ? 2 ? c c ? 1 ? 2 ? a

由柯西不等式得

2 2 2 ? ? )[(a ? 1 ? 2 ? b) ? (b ? 1 ? 2 ? c) ? (c ? 1 ? 2 ? a)] ? ( 2 ? 2 ? 2) 2 a ?1? 2 ? b b ?1? 2 ? c c ?1? 2 ? a 2 2 2 ? ? ?6 故 a ?1? 2 ? b b ?1? 2 ? c c ?1? 2 ? a (
所以y的最小值是6,当且仅当a=b=c=1.5 已知 a, b, c ? R ? , (1)求证:

a?b?c 1 ? ; 9abc ab ? bc ? ca
1 b 1 c 1 a

(2)求 (a ? )2 ? (b ? ) 2 ? (c ? ) 2 的最小值. 解: (1)由柯西不等式可得

1 1 1 (ab ? bc ? ca) ? ? ) ? 9, ( ab bc ca 1 1 1 9 即 ? ? ? ab bc ca ab ? bc ? ca
整理得

a?b?c 1 ? 9abc ab ? bc ? ca
1 ? 2) a 1 ? c( ? 2 ) ] (? ? 1 ) 1 1 a

(2)解法一:

(a ?

1 2 1 ) ? ( ? 2) ? c b ( b c 1 1 1 ? [ ( ? 2) ? b ? 2 ) a ( 3 b c

1 1 1 1 ? (a ? ? b ? ? c ? )2 3 b c a 1 2 ? ? 6 ? 12 3 当且仅当a ? b ? c时取等号.
解法二:

1 1 1 (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? (c ? ) 2 b c a 1 1 1 a b c ? a 2 ? 2 ? b 2 ? 2 ? c 2 ? 2 ? 2( ? ? ) a b c b c a a b c ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 3 ? ? ? 12 b c a 当且仅当a ? b ? c时取等号. 解法三: 1 1 1 ( a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? ( c ? ) 2 b c a a b c ? 4( ? ? ) b c a a b c ? 4 ? 3 3 ? ? ? 12 b c a 当且仅当a ? b ? c时取等号.

若 a, b, c 为正实数,且 a ? b ? c ? 3 .证明:

(a ? c)2 (b ? a)2 (c ? b)2 4 ? ? ? (a ? c)2 ,并求等号成立的条件. a b c 3

(a ? c)2 (b ? a)2 (c ? b) 2 (| a ? c | ? | b ? a | ? | c ? b |) 2 ? ? ? 法一: a b c a?b?c 2 (| a ? c | ? | b ? a ? c ? b |) 4 ? ? (a ? c) 2 ?????????5 分 a?b?c 3 | a ?c | | a ?b| |b?c | ? ? 当且仅当 且 (b ? a) ? (c ? b) ? 0 时,取到等号. a b c a ?c a ?b b?c c ?a a ?b b?c ? ? ? ? ? 或 a b c a b c a ?c a ?b b?c ? ? ? k ,即 c ? (1 ? k )a, a ? (1 ? k )b, b ? (1 ? k )c , 若 a b c

∴ a ? b ? c ? 3 ? (1 ? k )(b ? c) ? (1 ? k )a ? (1 ? k )(3 ? a) ? (1 ? k )a
? 2ka ? 3k ,∴ k ? 0 或 a ?

3 . 2

当 k ? 0 时, a ? b ? c ? 1 ; 当a ?


3 5 ?1 3 3 5 3 9 3 5 时, k ? ,从而 a ? , b ? . ? ,c ? ? 2 2 2 4 4 4 4

c ?a a ?b b?c ? ? ? t ,则 c ? (1 ? t )a, a ? (1 ? t )b, b ? (1 ? t )c a b c

?c ? (1 ? t )3 c , ?c ? 0,?(1 ? t )3 ? 1,?t ? 0 ,? a ? b ? c ? 1 .K*s*5*u
3 3 5 3 9 3 5 ∴当 a ? , b ? 或 a ? b ? c ? 1 时取到等号.???10 ? ,c ? ? 2 4 4 4 4



3 3 5 3 9 3 5 (指出 a ? b ? c ? 1 时得 2 分,指出 a ? , b ? 时得 3 分. ) ? ,c ? ? 2 4 4 4 4

法二:
(a ? b) 2 (b ? c) 2 (a ? c) 2 4 ? ? ? (a ? c) 2 b c a 3 2 4 (a ? b) (b ? c) 2 2 1 ? (a ? c) ( ? ) ? ? a 3 b c 1 4 [( a ? b) ? (b ? c)]2 ? (a ? c) 2 ( ? ) ? a 3 b?c 1 1 4 ? (a ? c) 2 ( ? ? ) a b?c 3
1 1 ?( ? )(a ? b ? c) ? 4 a b?c 1 1 4 4 ? ? ? ? a b?c a?b?c 3

(a ? c)2 (a ? b)2 (b ? c) 2 4 ? ? ? ? ( a ? c) 2 a b c 3


????????5 分

b?a c ?b 1 1 4 ? , 即 ac ? b 2 且当 (a ? c) 2 ( ? ? ) ? 0 时,即 a ? b ? c 或 a ? c 时取到等号. b c a b?c 3

? b2 ? ac 3 3 5 3 9 3 5 当? 时,又由 a ? b ? c ? 3 得 a ? , b ? ; ? ,c ? ? 2 4 4 4 4 ?a ? b ? c
当?

?b2 ? ac 时,又由 a ? b ? c ? 3 得 a ? b ? c ? 1 . a?c ?

3 3 5 3 9 3 5 ∴当 a ? , b ? 或 a ? b ? c ? 1 时取到等号.????10 分 ? ,c ? ? 2 4 4 4 4

基本不等式 3 3 3 2 2 2 1.设 x,y,z 为正数,证明:2(x +y +z )≥x (y+z)+ y (x+z)+ z (x+y). 解:因为 x2 ? y 2 ? 2xy ? 0 所以 x3 ? y3 ? ? x ? y ? x2 ? xy ? y2 ? xy ? x ? y ? 同理 y ? z ? yz ? y ? z ? , z ? x ? zx ? z ? x ?
3 3 3 3

?

?

三式相加即可得 2 x3 ? y3 ? z3 ? xy ? x ? y ? ? yz ? y ? z ? ? zx ? z ? x ? 又因为 xy ? x ? y ? ? yz ? y ? z ? ? zx ? z ? x ? ? x2 ? y ? z ? ? y 2 ? x ? z ? ? z 2 ? x ? y ? 所以 2 x3 ? y3 ? z3 ? x2 ? y ? z ? ? y2 ? x ? z ? ? z 2 ? x ? y ? 2.设 a, b, c 为正实数,求证:

?

?

?

?

1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3. 3 a b c

已知 a , b 为实数,且 a ? 0, b ? 0 , (1)求证: (a ? b ? )(a ?
2

1 a

1 1 ? ) ?9; b a2

(2)求 (5 ? 2a) 2 ? 4b2 ? ( a ? b) 2 的最小值。 (1) 证明:因为 a ? 0, b ? 0 ,所以



同理可证 由①,②结合不等式的性质得



……………5 分
2 2 2 2 2 2 (2) ?(5 ? 2a) ? 4b ? (a ? b) ? ?1 ? 1 ? 2 ? ? ?(5 ? 2a) ?1 ? 2b ?1 ? ( a ? b) ? 2 ? , ? ?? ? 2

所以 (5 ? 2a ) ? 4b ? ( a ? b) ?
2 2 2

25 , 6

5 ? 2a 2b a ? b 25 5 ? ? ,b ? , 时取等号,解得 a ? 1 1 2 12 12 25 5 25 , b ? 时, (5 ? 2a)2 ? 4b2 ? (a ? b)2 取最小值 。 所以当 a ? 12 12 6 1 1 1 3.已知 a, b, c 均为正数,证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? ? ) 2 ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时, a b c
当且仅当 等号成立。


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