高中数学第三章指数函数和对数函数第2节指数扩充及其运算性质第1课时基础知识素材北师大版必修1

2.1 指数概念的扩充 1.了解整数指数幂的概念. 2.理解分数指数幂的概念,掌握分数指数形式与根式形式的互化. 3.了解无理数指数幂和实数指数幂的概念. 1.整数指数幂 a= n (n∈N+), a0=____(a≠0), a-n=____(a≠0,n∈N+). 【做一做 1-1】 π 等于( ). A.0 B.π ?1?-4 【做一做 1-2】 ? ? =__________. ?2? 0 C.1 D.2π 2.分数指数幂 (1)定义:给定正实数 a,对于任意给定的整数 m,n(m,n 互素),存在____的正实数 b, 使得 b =____,那么 b 叫作 a 的 次幂,记作 b=____. 它就是分数指数幂. m n m n 分数指数幂 a n 不是 个 a 相乘,实质上是关于 b 的方程 b =a 的解. (2)写成根式形式: m m n n m a n =____, a ? m n ? 1 a m n =____(其中 a>0,m,n∈N+,且 n>1). (3)结论:0 的正分数指数幂等于_________,0 的负分数指数幂________. 3 【做一做 2-1】 32 等于( 3 ). 3 A. 2 5 B. 3 C. 27 ). 2 D. 27 【做一做 2-2】 A. a ? 2 5 a-2等于( 5 B. a 2 C. a 5 D. ? a 2 5 3.无理数指数幂 α 一般地,无理数指数幂 a (a>0,α 是无理数)是一个确定的____. 1 指数的扩充过程: (1)规定了分数指数幂的概念后,指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩 充. (2)规定了无理数指数幂后,指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂. 【做一做 3】 计算: ?1? ? 64 ? 2 (1) 27 ;(2) ? ? ;(3) ? ? 49 ?2? ? ? ? 1 3 ? 1 ? 2 . 答案:1.1 1 an 【做一做 1-1】 C 【做一做 1-2】 16 m n 2.(1)唯一 a m an (2) a m n 1 (3)0 没有意义 m a 【做一做 2-1】 D 【做一做 2-2】 A 3.实数 1 7 【做一做 3】 (1) (2) (3) 2 3 8 2 1.为什么分数指数幂的定义中规定 b 为正实数? m 剖析:由整数指数幂的规定知,当 a>0 时,对任意整数 m,总有 a >0.若 b=0,当 n n n m n n m 为正整数时,b =0,此时 b ≠a ;当 n 为负整数或零时,b 无意义,b =a 无意义.若 b<0, m 当 n 为奇数时,b <0,此时 b ≠a ;当 n 为偶数时,虽然 b =a 成立,但此时,0>b≠ a n > 0.因此规定 b>0. 2.为什么分数指数幂的定义中规定整数 m,n 互素? 1 n n m n m 剖析:如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾.例如: a 3 中,底数 a∈R, 当 1 1 2 2 1 2 a<0 时, a 3 <0,而如果把 a 3 写成 a 6 ,有两种运算:一是 a 6 = (a 6 ) 2 就必须 a≥0;二是 a 6 1 2 1 = (a 2 ) 6 ,在 a<0 时, a 6 的结果大于 0,与 a 3 <0 相矛盾.所以规定整数 m,n 互素. 题型一 用分数指数幂表示正实数 【例 1】 把下列各式中的 b 写成分数指数幂的形式(b>0): 3 -2 m 2n (1)b =4;(2)b =5;(3)b =3 (m,n∈N+). k 反思:将 b =d 中正实数 b 写成分数指数幂的形式时,主要依据分数指数幂的意义: m bn=am b=a n (m,n∈N+,b>0). 2 题型二 用分数指数幂表示根式 【例 2】 用分数指数幂表示下列各式: 3 (1) x ;(2) 2 1 3 4 3 ;(3) a-b 3 ;(4) m +n . 2 2 a m n m 反思:用分数指数幂表示根式时,要紧扣分数指数幂的根式形式:a n = a (a>0,m, n∈N+,且 n>1). m 题型三 求指数幂 a n 的值 【例 3】 计算:(1)64 ? 1 2 2 ;(2) 8 3 ;(3) 125 3 . ? 1 分析:将分数指数幂化为根式,再求值. 反思:分数指数幂不表示相同因式的乘积,而是根式的另一种写法.将分数指数幂写成 根式的形式时,用熟悉的知识去理解新概念是关键. 题型四 易错辨析 n 易错点 忽略 n 的范围导致化简 a 时出错 3 4 n 【例 4】 化简: + 2 3 + - 2 4 . 4 错解:原式=(1+ 2)+(1- 2)=2. 错因分析:错解中忽略了 1- 2<0 的事实,应当是 1 - 2 4 = 2-1. 答案:【例 1】 解:(1)b= 4 3 .(2)b= 5 2 .(3)b= 3 m . 3 2 ? 1 3n 2 【例 2】 解:(1) x = x 3 .(2) 1 3 = 1 1 =a 3 . ? 1 a 4 a3 (3) 3 2 a-b 2 3 = (a ? b) 4 . 1 3 (4) m +n = (m2 ? n2 ) 3 . 【例 3】 解:(1) 64 2 ? 1 2 ? 1 64 ? 1 . 8 (2) 8 3 ? 3 82 ? 3 64 ? 4 . (3) 125 3 = ? 1 3 1 125 1 = . 5 【例 4】 正解:原式=(1+ 2)+|1- 2|=1+ 2+ 2-1=2 2. 3 1 1 2 2 写成根式形式是( A. 2 4 ). C. 4 2 ). C.4 3 B. 22

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