演 绎 推 理010_图文

数学组

复习: 复习:合情推理
归纳推理 类比推理
从具体问 题出发

特殊到 从特殊到一般 特殊到 从特殊到特殊
归纳 类比

以偏概全 由此及彼 提出猜想

观察、 观察、分析 比较、 比较、联想

归纳推理与类比推理都是数学活动中 常用的合情推理

观察与思考
1.所有的金属都能导电, 1.所有的金属都能导电, 所有的金属都能导电 铜是金属, 铜是金属, 铜能够导电. 铜能够导电. 2.一切奇数都不能被 整除, 一切奇数都不能被2 2.一切奇数都不能被2整除, +1)是奇数 是奇数, (2100+1)是奇数, +1)不能被 整除. 不能被2 (2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 3.三角函数都是周期函数, 三角函数都是周期函数 三角函数, tan α 三角函数, tanα 周期函数

是合情推 理吗?

观察与思考 1.所有的金属都能导电 所有的金属都能导电, 1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 铜是金属, 所以,铜能够导电. 所以,铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 2.一切奇数都不能被2整除, 一切奇数都不能被 (2100+1)是奇数, +1)是奇数 是奇数, 所以, +1)不能被 整除. 不能被2 所以,(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 3.三角函数都是周期函数, 三角函数都是周期函数 三角函数, tan α 三角函数, 所以 tanα 周期函数

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

演绎推理
从一般性的原理出发, 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,这种推理称为演绎推理 演绎推理. 下的结论,这种推理称为演绎推理. 注: 演绎推理是由一般 特殊的推理 一般到 的推理; 1.演绎推理是由一般到特殊的推理; 三段论”是演绎推理的一般模式; 2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包 大前提---已知的一般原理; ---已知的一般原理 括 ⑴大前提---已知的一般原理; 小前提---所研究的特殊情况; ---所研究的特殊情况 ⑵小前提---所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出 结论-----据一般原理, -----据一般原理 的判断. 的判断.

三段论的基本格式
M—P(M是P) ( 是 ) S—M(S是M) S—M(S是M) S—P(S是P) ( 是 )
大前提) (大前提) 小前提) (小前提) 结论) (结论)

注: 3.三段论推理的依据, 集合的观点来理解: 3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 三段论推理的依据 的观点来理解 若集合M的所有元素都具有性质P,S是 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个 P,S 子集,那么S中所有元素也都具有性质P. 子集,那么S中所有元素也都具有性质P.

M
?

a

S

演绎推理
例1、把“函数 y = x + x + 1的图象是一条抛物线”
2

恢复成完全三段论。
解:二次函数的图象是一条抛物线 (大前提)

函数y = x 2 + x + 1是二次函数
2

(小前提)

所以,函数y = x + x + 1的图象是一条抛物线(结论)

例2.已知 已知lg2=m,计算 计算lg0.8 已知 计算 解 (1) lgan=nlga(a>0) ) lg8=lg23 lg8=3lg2 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0) lg0.8=lg(8/10) lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1
大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, 3.如图;在锐角三角形ABC中 如图 ABC D,E是垂足,求证AB的中点M D,E的距离相等. D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等. 是垂足 AB的中点 的距离相等 大前提 C 证明: 证明:(1)因为有一个内角是只直角的 E D

三角形是直角三角形, 三角形是直角三角形, ABC中,AD⊥BC,即 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提 ABD是直角三角形 所以△ABD是直角三角形 结论 ABE是直角三角形 同理△ABE是直角三角形 A M B 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提 小前提 ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 斜边AB的中点,DM M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 1 所以 DM= AB 结论 2
1 同理 EM= AB 2

所以 DM = EM

演绎推理(练习)
练习1:把下列推理恢复成完全的三段论: 练习1 把下列推理恢复成完全的三段论:
( )因为?ABC三边长依次为3, 5,所以?ABC 1 4, 是直角三角形;

(2)函数y = 2 x + 5的图象是一条直线.

() 1

演绎推理(练习)
3,,,而 5 2 = 4 2 + 3 2 45 (小前提)

一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形 (大前提)

? ABC 的三边长依次为

? ABC 是直角三角形
( 2) 一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 )的图象是一条直线 函数 y = 2 x + 5 是一次函数 函数 y = 2 x + 5的图象是一条直线

(结论)

(大前提) (小前提) (结论)

练习2. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因; 练习2. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;

(1)整数是自然数, (1)整数是自然数, 整数是自然数 -3是整数, 是整数, -3是自然数; 是自然数; (2)无理数是无限小数, (2)无理数是无限小数, 无理数是无限小数 1 是无限小数, 是无限小数, ( = 0.333L) 3 1 是无理数. 是无理数. 3

大 前 提 错 误

在证明过程中注明三段论 上是增函数. 练习3:证明函数f(x)=- +2x在 ,1]上是增函数 练习3:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数. 3:证明函数f(x)= 证明: 证明:
满足对于任意x D,若 满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 大前提 成立的函数f(x),是区间D上的增函数. f(x),是区间 成立的函数f(x),是区间D上的增函数. 任取x1,x2 任取x
∈(-∞,1] ∈(-

且x1<x2

,

)=(f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2) =(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x 因为x1<x2所以 x2-x1>0 因为x 所以x 因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0 因此f(x )<0,即 因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) 所以函数f(x)=- +2x在 ,1]上是增函数 上是增函数. 所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数. f(x)= 结论 小前提

推理
合情推理 归纳 演绎推理

类比 三段论 特殊到 (特殊到一般) (特殊到特殊)(一般到特殊) 特殊 一般) 特殊到特殊) 一般到特殊)

合情推理与演绎推理的区别:

1 特点

①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的

推理.

2 从推理的结论来看 从推理的结论来看:
合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.

合情推理与演绎推理的相关说明:
演绎推理是证明数学结论、 1 演绎推理是证明数学结论、建立数 学体系的重要思维过程 思维过程. 学体系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现 思路的发现, 2 数学结论、证明思路的发现,主要 靠合情推理. 靠合情推理.


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