第一章 1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(二)_图文

1.3.2(二)

1.3.2

余弦函数、正切函数的图象与性质(二)

【学习要求】 1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.
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2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 【学法指导】 学习正切函数的性质与图象时,应类比正弦函数和余弦函数的 π 研究方法,抓住正切函数的图象具有渐近线(x=kπ+ ,k∈Z) 2 这一明显特征,准确地整体把握正切函数的图象,结合图象记 忆正切函数的有关性质(定义域、 值域、 周期、 奇偶性、 单调性、 对称性等).

填一填·知识要点、记下疑难点

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函数 y=tan x 的性质与图象见下表:
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y=tan x

图象

定义域

π {x|x∈R,且 x≠kπ+2,k∈Z}

填一填·知识要点、记下疑难点

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值域
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R
最小正周期为 π

周期 奇偶性 单调性

奇函数 ? π π? ?kπ- ,kπ+ ? (k∈Z) 2 2? 在开区间 ? 内递增

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探究点一
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正切函数的图象
? π π? x,x∈?-2 ,2 ?图 ? ?

阅读下文,了解正切函数图象的几何作法. 类比正弦函数图象的作法,作正切函数 y=tan 象的步骤: (1)建立平面直角坐标系,在 x 轴的负半轴上任取一点 O1,以 O1 为圆心作单位圆. (2)把单位圆中的右半圆平均分成 8 份, 并作出相应终边的正切线. ? π π? (3)在 x 轴上,把?-2 ,2 ?这一段分成 8 等份,依次确定单位圆上 ? ? 7 个分点在 x 轴上的位置.

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(4)把角 x 的正切线向右平移, 使它的起点与 x 轴上的点 x 重合. (5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来,就得到 y=tan x, ? π π? x∈?-2,2 ?的图象,如图所示. ? ?
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几何画板演示

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现在我们作出了正切函数一个周期上的图象,根据正切函数的 周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数y=tan x π (x∈R,且x≠ +kπ(k∈Z))的图象,我们把它叫做“正切曲 2 π 本 线”(如下图所示),它是被无数条直线x=kπ+ (k∈Z)所隔开的 2 课
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无数条曲线组成的.

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探究点二 正切函数的性质

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由正切函数的图象可得:
? ? π ? ? ?x|x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z?. (1)正切函数的定义域:? 2 ? ? ? ? π ? π (2)正切函数的值域:对于 x∈?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z), ? ?

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π 当 x→- +kπ(k∈Z)时,tan x→-∞; 2 π 当 x→ +kπ(k∈Z)时,tan x→+∞. 2

所以 y=tan x 可以取任意实数值,但没有最大值和最小值, 故正切函数的值域为 R,也可以记作 (-∞,+∞) .直线 π x= kπ+2,k∈Z 称为正切函数的渐近线.

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(3)正切函数的奇偶性: 从正切函数的图象来看, 正切曲线关于 原点 对称; 从诱导公式
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来看,tan(-x)= -tan x .故正切函数是 奇 函数. (4)正切函数的周期性: 正切函数是周期函数,最小正周期是 π .据此可知函数 y=

π tan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期是 ω ,根据函数图象可知 y= |tan x|的最小正周期是 π .

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(5)正切函数的单调性:

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? π ? ? ? k π, 由正切函数的图象可知,正切函数在每一个开区间 ? 2 π ? ? k π ? (k∈Z) 本 2 内都是增函数.但是我们不能说正切函数在整 ?
课 时 个定义域上是增函数. 栏 目 (6)正切函数图象的对称性: 开 关 正切函数图象是中心对称图形,对称中心有无数多个,它们的

坐标为

?kπ ? ? ,0?(k∈Z) ?2 ?



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[典型例题] 例1 求函数y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域.
?tan x+1≥0 ? 解 由题意得? ,即-1≤tan x<1. ?1-tan x>0 ? ? π π? 在?-2,2?内,满足上述不等式的x的取值范围是 ? ? ? π π? ?- , ?.又y=tan x的周期为π, ? 4 4? ? π π? 所以所求x的范围是?kπ-4,kπ+4? (k∈Z). ? ?

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? π π? 即函数的定义域为?kπ-4,kπ+4? ? ?

(k∈Z).

小结 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解 不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.

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跟踪训练1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x 1 解 (1)要使函数y= 有意义, 1+tan x
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?1+tan x≠0, ? 只需? π ?x≠2+kπ ?

(k∈Z).

∴函数的定义域为 ? ? π π ? ? ?x|x∈R,x≠kπ+ 且x≠kπ- ,k∈Z?. 2 4 ? ? ? ? (2)由 3-tan x>0,得tan x< 3. π π 根据正切函数图象,得- +kπ<x< +kπ (k∈Z), 2 3 ? ? π π ? ? ?x|- +kπ<x< +kπ,k∈Z?. ∴函数的定义域是 2 3 ? ? ? ?

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例2

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? 1 π? 求函数y=tan?-2x+4 ?的单调区间及最小正周期. ? ?
? 1 ?1 π? π? y=tan?-2x+4?=-tan?2x-4?, ? ? ? ?

π 1 π π 由kπ-2<2x-4<kπ+2 (k∈Z), π 3 得2kπ- <x<2kπ+ π,k∈Z, 2 2 ? 1 π? ∴函数y=tan?-2x+4?的单调递减区间是 ? ? ? π 3 ? ?2kπ- ,2kπ+ π?,k∈Z. 2 2 ? ?

周期T=?

=2π. 1? ?- ? ? 2?

π

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y=tan(ωx+φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx+φ看 π π 成一个整体,解- +kπ<ωx+φ< +kπ,k∈Z即可.当ω<0 2 2 本
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小结

时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.

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? π? 求函数y=tan?2x-3 ?的单调区间. ? ?
? π ? π x在x∈?-2+kπ,2+kπ? ? ?

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跟踪训练2

解 ∵y=tan
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(k∈Z)上是增函数,

π π π ∴- +kπ<2x- < +kπ,k∈Z. 2 3 2 π kπ 5π kπ 即- + <x< + ,k∈Z. 12 2 12 2

? π? ∴函数y=tan?2x-3?的单调递增区间是 ? ? ? π kπ 5π kπ? ?- + , + ? (k∈Z). 2 12 2 ? ? 12

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例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小: ? 6 ? ? 13 ? (1)tan?-5π?与tan?- 7 π?; ? ? ? ? (2)tan 2与tan 9.
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? 6 ? ? ? π? π? 解 (1)∵tan?-5π?=tan?-π-5?=tan?-5?, ? ? ? ? ? ? ? 13 ? ? π? π ?- π?=tan?-2π+ ?=tan , tan 7 ? 7? 7 ? ? ? π π? 又函数y=tan x在?-2,2?上是增函数, ? ?

π π π π 而-2<-5<7<2.
? π? ∴tan?-5?<tan ? ?

? 6 ? ? 13 ? π ?- π ? ?- π ? 7,即tan? 5 ?<tan? 7 ?.

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π (2)∵tan 9=tan(9-2π),而 <2<9-2π<π. 2 ?π ? 由于函数y=tan x在?2,π?上是增函数, ? ?
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∴tan 2<tan(9-2π),即tan 2<tan 9.
小结 比较两个函数值的大小,只需将所涉及的两个角通过诱 导公式转化到同一个单调区间内,再借助单调性即可.正切函 ? π ? ? π π? π 数的单调递增区间为 ?-2+kπ,2+kπ? ,k∈Z.故在 ?-2,2? 和 ? ? ? ? ?π 3π? ? , ?上都是增函数. 2? ?2

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跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小. (1)tan(-1 280° )与tan 1 680° ; (2)tan 1,tan 2,tan 3.
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解 (1)∵tan(-1 280° )=tan(-4×360° +160° ) =tan(180° -20° )=tan(-20° ), tan 1 680° =tan(4×360° +240° ) =tan(180° +60° )=tan 60° ,
? ,90°上是增函数, 而函数y=tan x在??-90° ? ? ?

∴tan(-20° )<tan 60° , 即tan(-1 280° )<tan 1 680° .

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(2)∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π), π π 又∵ <2<π,∴- <2-π<0, 2 2 π π ∵ <3<π,∴- <3-π<0, 2 2 π π 显然- <2-π<3-π<1< , 2 2 ? π π? 且y=tan x在?-2,2 ?内是增函数, ? ? ∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1, 即tan 2<tan 3<tan 1.

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π 1. 函数y=3tan(2x+ )的定义域是 4 π A.{x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2 k 3π B.{x|x≠ π- ,k∈Z} 2 8 k π C.{x|x≠ π+ ,k∈Z} 2 8 k D.{x|x≠ π,k∈Z} 2

( C )

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π 2. 函数f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为 4 π π A.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 2 2
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( C )

B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 3π π C.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4 π 3π D.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4

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3.
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? π? 在下列函数中同时满足:①在 ?0,2 ? 上递增;②以2π为周 ? ?

期;③是奇函数的是 A.y=tan x x C.y=tan 2 B.y=cos x D.y=-tan x

( C )

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? π? 4.函数y=3tan?x+3 ?的对称中心的坐标是 ? ?

?kπ π ? ? - ,0? 3 ? ?2

(k∈Z)



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π kπ 由x+3= 2 (k∈Z), kπ π 得x= 2 -3 (k∈Z). ?kπ π ? ∴对称中心坐标为? 2 -3,0? (k∈Z). ? ? 解析

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1.3.2(二)

1.正切函数的图象 π 正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为 x=kπ+ ,k∈Z, 2 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质 ? ? π ? ? ?x|x≠kπ+ ,k∈Z?,值域 (1)正切函数 y=tan x 的定义域是 2 ? ? ? ? 是 R. (2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π,函数 y=Atan(ωx+ π φ) (Aω≠0)的周期为 T= . |ω|
? π ? π (3)正切函数在 ?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上递增,不能写成闭 ? ?

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区间.正切函数无单调减区间.


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