北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题
石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷
高三数学（文）
本试卷共 6 页，150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效.考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题
共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．设集合 U ? ?1, 2 , 3 , 4 ? ， A ? ?1, 2 ? , B ? ?2 , 4 ? ,则 C U A ） B ? （ （ ? A． ?1, 2 ? B． ?2，, 4 ? 3
Z2 Z1 ?（
） D． ?1, 2 , 3, 4 ?
C． ?3, 4 ?
2. 若复数 Z 1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 A． ? 1 ? 3i
） C． 1 ? 3i
??? ? ????
B． 2 ? i
D． 3 ? i
????
3． AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线， A B ? ( 2, 4 ), A C ? (1, 3), 则 A D ? （ A． (2, 4) B． (3, 7) C． (1,1) D． ( ? 1, ? 1) ）
?|x|
）
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0, ?? ) 上单调递减的函数是（ A． y ? ln x B． y ? x 2 C． y ? cos x
D． y ? 2
5．设 m , n 是不同的直线， ? , ? 是不同的平面，下列命题中正确的是（ A．若 m / /? , n ? ? , m ? n ，则 ? ? ? B．若 m / /? , n ? ? , m ? n ，则 ? / / ? C．若 m / /? , n ? ? , m / / n ，则 ? ⊥ ? D．若 m / /? , n ? ? , m / / n ，则 ? / / ?
）
6．执行右面的框图，若输出结果为 3， 则可输入的实数 x 值的个数为（ A．1 C．3 B．2 ）
开始 输入 x
x >2
是
D．4
否
y = x -1
2
y = log 2 x
输出 y
7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ A．
8 3
）
B． 4 D．
4 3
2 2 3 2 1 3
侧（左）视图
C． 2
正（主）视图
俯视图
8. 在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 ? k ? ， 即 ? k ? ? ? 5 n ? k n ? Z ? ， k ? 0,1, 2, 3, 4 ．给出如下四个结论： ① ② ③
2013 ? ? 3 ? ； ?2 ? ?2? ； Z ? ? 0 ?∪ ?1?∪ ? 2 ?∪ ? 3 ?∪ ? 4 ? ；
④ 整数 a , b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ? ? 0 ? ”． 其中，正确结论的个数为（ A． 1 B． 2 ）． C． 3 共 110 分） D． 4
第二部分（非选择题
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为
2
. ．
10．直线 x + y ? 0 被圆 x 2 + 4 x + y 2 ? 0 截得的弦长为
? y ? x， ? 11．已知不等式组 ? y ? ? x， 表示的平面区域 S 的面积为 4 ，则 a ? ? x?a ?
；
若点 P ( x , y ) ? S ，则 z ? 2 x ? y 的最大值为
.
12． 在等比数列 { a n } 中， a 1 =
a1 + a 2 + a 3 + L + a n =
1 2
, a 4 = - 4 ，则公比 q =
；
．
7 ，则 c ?
13．在 ? ABC 中，若 a ? 2, ? B ? 6 0 ? , b ? 14. 给出定义：若 m ?
1 2 < x ? m+ 1 2
．
(其中 m 为整数)，则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记
作 { x } ，即 { x }= m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x )= x ? { x } 的四个命题： ① y = f ( x ) 的定义域是 R ，值域是 ( ?
1 1 , ]； 2 2
②点 ( k ,0) 是 y = f ( x ) 的图像的对称中心，其中 k ? Z ； ③函数 y = f ( x ) 的最小正周期为 1 ； ④ 函数 y = f ( x ) 在 ( ?
1 3 , ] 上是增函数． 2 2
则上述命题中真命题的序号是
．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共 13 分） 已知函数 f ( x ) ?
sin 2 x ( sin x ? cos x ) cos x
．
（Ⅰ）求 f ( x ) 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求 f ( x ) 在区间 ? ?
? ?
? ??
6
， ? 上的最大值和最小值． 4?
16．（本小题共 14 分） 如图 1，在 Rt ? ABC 中， ? C ? 90 ? ， BC ? 3， AC ? 6 ．D、E 分别是 AC 、 AB 上的 点，且 DE / / BC ，将 ? A D E 沿 D E 折起到 ? A1 D E 的位置，使 A1 D ? C D ，如图 2． （Ⅰ）求证： BC // 平面 A1 D E ；
（Ⅱ）求证： BC ? 平面 A1 D C ； （Ⅲ） 当 D 点在何处时， A1 B 的长度最小，并求出最小值． A1
A
D
C D C
E B 图1
E B 图2
17．（本小题共 13 分） 一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是 1 ? 2 ? 3 ? 4 ．现从盒 子中随机抽取卡片． （Ⅰ）若一次抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率； （Ⅱ）若第一次抽 1 张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到 数字 3 的概率．
18．（本小题共 13 分） 已知函数 f ( x )= ln x ? ax +1, a ? R 是常数． （Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线 l 的方程； （Ⅱ）证明函数 y = f ( x )( x ? 1) 的图象在直线 l 的下方； （Ⅲ）若函数 y = f ( x ) 有零点，求实数 a 的取值范围．
19．（本小题共 14 分） 已知椭圆的中心在原点， 焦点在 x 轴上， 离心率为 交椭圆于不同的两点 A、 B ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求 m 的取值范围； （Ⅲ）若直线 l 不经过椭圆上的点 M (4,1) ，求证：直线 M A、 M B 的斜率互为相反数．
3 2
， 长轴长为 4 5 ， 直线 l : y = x + m
20．（本小题共 13 分） 定义：如果数列 { a n } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 { a n } 为“三 角形”数列．对于“三角形”数列 { a n } ，如果函数 y ? f ( x ) 使得 bn ? f ( a n ) 仍为一个“三 角形”数列，则称 y ? f ( x ) 是数列 { a n } 的“保三角形函数” ( n ? N *) ． （Ⅰ）已知 { a n } 是首项为 2 ，公差为 1 的等差数列，若 f ( x ) ? k ( k ? 1) 是数列 { a n } 的
x
“保三角形函数”，求 k 的取值范围； （Ⅱ） 已知数列 { c n } 的首项为 2013 ， n 是数列 { c n } 的前 n 项和， 且满足 4 S n +1 ? 3 S n ? 8052 ， S 证明 { c n } 是“三角形”数列； （Ⅲ）若 g ( x ) ? lg x 是（Ⅱ）中数列 { c n } 的“保三角形函数”，问数列 { c n } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301,
lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )
石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试
高三数学（文）参考答案
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 题号 答案 9 10
2 2
11 2；6
12
- 2 ；2
n- 1
13
1 2
14 ①③
? 2, 3 ?
3
(9 题、 11 题
第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题，共 80 分． 15．（本小题共 13 分） （Ⅰ）因为 cos x ? 0 ，所以 x ? k ? +
?
2
,k ? Z .
所以函数 f ( x ) 的定义域为 { x｜ x ? k ? +
f ( x) ? sin 2 （ sin x ? cos x） x cos x
?
2
,k ? Z }
?????2 分
?２s i n ? s i x x n
? 2 sin(2 x
+ cxo s ?
-? ) 1
= 2x i n s
2
+ sin 2 x
?
4
?????5 分 ?????7 分
T ?? ? （Ⅱ）因为 ? 6 ? 当 2 x- ? 4 ? 当 2 x- ? 4
? x?
?
4
，所以 -
7? 12
? 2 x-
?
4
?
?
4
?????9 分 ?????11 分 ???13 分
?
4 -
时，即 x ?
?
4
时， f ( x ) 的最大值为 2 ；
?
2
时，即 x ? ?
?
8
时， f ( x ) 的最小值为 - 2 +1 .
16．（本小题共 14 分） （Ⅰ）证明：? D E // BC , D E ? 面 A1 D E , BC ? 面 A1 D E
? BC // 面 A1 D E
??????????4 分
（Ⅱ）证明： 在△ ABC 中， ? C ? 90 ? , D E // B C ,? A D ? D E
? A1 D ? D E .又 A1 D ? CD , CD ? D E ? D ,? A1 D ? 面 BCD E .
由 BC ? 面 BCD E ,? A1 D ? BC .
BC ? CD , CD ? BC ? C ,? BC ? 面 A1 D C .
??????????9 分
（Ⅲ）设 DC ? x 则 A1 D ? 6 ? x 由（Ⅱ）知，△ A1C B ，△ A1 D C 均为直角三角形．
A1 B = A1C ? B C
2 2
?
A1 D ? D C ? B C
2 2
2
A1 B ?
x ? 3 ? (6 ? x )
2 2
2
?
2 x ? 12 x ? 45
2
??????12 分
当 x = 3 时, A1 B 的最小值是 3 3 ． 即当 D 为 AC 中点时, A1 B 的长度最小,最小值为 3 3 ．???????14 分 17．（本小题共 13 分） （Ⅰ）设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7 ”，任取三张卡片，三张卡片上的数 字全部可能的结果是 (1 , 2 , 3) ， (1 , 2 , 4) ， (1 , 3 , 4) ， (2 , 3 , 4) ． 其中数字之和大于 7 的是 (1 , 3 , 4) ， (2 , 3 , 4) ， 所以 P ( A ) ?
1 2
．
???????6 分
（Ⅱ）设 B 表示事件“至少一次抽到 3 ”， 第一次抽 1 张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：
(1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (2 , 1) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (3 , 4) (4 , 1) (4 , 2) (4 , 3) (4 , 4)
，共 16 个基本结果．
事件 B 包含的基本结果有 (1 , 3) (2 , 3) (3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (3 , 4) (4 , 3) ， 共 7 个基本结果． 所以所求事件的概率为 P ( B ) ?
7 16
．
???????13 分
18.（本小题共 13 分） （Ⅰ） f ?( x )=
1 x ?a
???????2 分
f (1)= ? a +1 ， k l = f ?(1)=1 ? a ，所以切线 l 的方程为
y ? f (1)= k l ( x ? 1) ，即 y =(1 ? a ) x ．
???????4 分
（Ⅱ）令 F ( x )= f ( x ) ? (1- a ) x =ln x ? x +1 ， x >0 ， 则
F ?( x )= 1 x ? 1= 1 x (1 ? x ) ， 解 F ?( x )=0 得 x =1.
x
F ?( x )
F ( x)
( 0 , 1)
1
(1 , ? ? )
?
?
↗
0
最大值
↘
F (1)<0 ，所以 ? x > 0 且 x ? 1 ， F ( x )<0 ， f ( x )<(1 ? a ) x ，
即函数 y = f ( x ) ( x ? 1) 的图像在直线 l 的下方． （Ⅲ） y = f ( x ) 有零点，即 f ( x )=ln x ? ax +1 =0 有解， a = 令 g ( x )=
ln x +1 x
???????9 分
ln x +1 x ln x
.
， g ?( x )=(
ln x +1 x
) ?=
1 ? ( ln x +1) x
2
=?
x
2
，
解 g ?( x )=0 得 x =1 .
???????11 分
则 g ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,+ ? ) 上单调递减， 当 x =1 时， g ( x ) 的最大值为 g (1)=1 ， 所以 a ? 1 . ???????13 分
19．（本小题共 14 分） （Ⅰ）由题意知, 2 a ? 4 5 ，又因为 e ?
3 2
，解得 a = 2 5 , b = 5 , c = 15
故椭圆方程为
x
2
?
y
2
? 1．
???????4 分
20
5 x
2
（Ⅱ）将 y ? x ? m 代入
?
y
2
? 1 并整理得 5 x ? 8 mx ? 4 m ? 20 ? 0 ，
2 2
20
2 2
5
解得 ? 5 ? m ? 5 ． ? =(8 m ) -20(4 m -20)> 0，
???????7 分
（Ⅲ）设直线 M A , M B 的斜率分别为 k1 和 k 2 ，只要证明 k1 ? k 2 ? 0 ． 设 A ( x1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ， 则 x1 ? x 2 ? ?
8m 5
?
, x1 x 2 ?
y2 ? 1 x2 ? 4
4 m ? 20
2
．
???????9 分
5
? ( y1 ? 1)( x 2 ? 4 ) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 4 ) ( x1 ? 4 )( x 2 ? 4 )
k1 ? k 2 ?
y1 ? 1 x1 ? 4
分 子 ? ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 4) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x 2 ? ( m ? 5)( x1 ? x 2 ) ? 8( m ? 1) ? 2(4 m ? 20)
2
?
8 m ( m ? 5) 5
? 8( m ? 1) ? 0
5
所以直线 M A、 M B 的斜率互为相反数． 20．（本小题共 13 分）
???????14 分
（Ⅰ）显然 a n ? n ? 1, a n ? a n ?1 ? a n ? 2 对任意正整数都成立，即 { a n } 是三角形数列． 因为 k ? 1 ，显然有 f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ? 2 ) ? ? ， 由 f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? f ( a n ? 2 ) 得 k n ? k n ?1 ? k n ? 2
1- 5 2 1? 2 <k ? 1? 2 5 5
解得
.
所以当 k ? (1,
x
) 时，
f ( x ) ? k 是数列 { a n } 的保三角形函数.
???????3 分
（Ⅱ）由 4 s n ?1 ? 3 s n ? 8052 ，得 4 s n ? 3 s n ?1 ? 8052 ，
?3? ? 3 c n ? 0 ，所以 c n ? 2013 ? ? ?4?
n ?1
两式相减得 4 c n ?1
???????5 分
经检验，此通项公式满足 4 s n ?1 ? 3 s n ? 8052 . 显然 c n ? c n ?1 ? c n ? 2 ,
3 n 3 n ?1 21 3 n ?1 因为 c n ? 1 ? c n ? 2 ? 2013 ）+2013( ） ? （ ? 2013 ） ? c n , （ 4 4 16 4
所以 { c n } 是三角形数列.
?3? （Ⅲ） g ( c n ) ? lg [2013 ? ? ?4?
n ?1
???????8 分
?3? ]= lg 2013+(n-1) lg ? ? , ?4?
所以 g ( c n） 是单调递减函数. 由题意知， lg 2 0 1 3+ (n -1 ) lg ? 由①得 n -1 ） （ lg
3 4
?3? ? > 0 ①且 lg c n ?1 ? lg c n ? lg c n ? 2 ②, ?4?
>- lg 2013 ，解得 n ? 27.4 ,
由②得 n lg
3 4
>- lg 2013 ，解得 n ? 26.4 .
即数列 {b n } 最多有 26 项. 【注：若有其它解法，请酌情给分．】
???????13 分