2018版高中数学人教版a版必修一学案:第一单元 1.2.2 第1课时 函数的表示法含答案

1.2.2 函数的表示法 函数的表示法 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的 第 1 课时 学习目标 常见方法(重点、难点). 预习教材 P19-P20,完成下面问题: 知识点 函数的三种表示方法 表示法 定义 用数学表达式表示两个变量之间的对应 解析法 关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关 列表法 系 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) ) ) ) (1)任何一个函数都可以用列表法表示.( (2)任何一个函数都可以用图象法表示.( (3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.( 提示 示; ? ?1,x∈Q (2)× 有些函数的是不能画出图象的,如 f(x)=? ? ?-1,x∈?RQ (1)× 如果函数的定义域是连续的数集,则该函数就不能用列表法表 ; 1 (3)× 反例:f(x)= 的图象就不是连续的曲线. x 题型一 【例 1】 作函数的图象 作出下列函数的图象: (1)y=x+1(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈[0,3)). 解 所示. (1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线 y=x+1 上,如图(1) (2)因为 0≤x<3, 所以这个函数的图象是抛物线 y=x2-2x 介于 0≤x<3 之间 的一部分,如图(2)所示. 规律方法 作函数图象的步骤及注意点 (1)作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数 的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表画出图象. (2)函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关 键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点,二次函数的顶点等等,还要分清这些 关键点是实心点还是空心点. 【训练 1】 画出下列函数的图象: (1)y=x+1(x≤0); (2)y=x2-2x(x>1 或 x<-1). 解 (1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1). (2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1 或 x<-1)是抛物线 y=x2-2x 去掉-1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线.如图(2). 题型二 【例 2】 列表法表示函数 已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出 x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1 则 f(g(1))的值为________;满足 f(g(x))>g(f(x))的 x 的值是________. 解析 ∵g(1)=3,∴f(g(1))=f(3)=1. f(g(x))与 g(f(x))与 x 相对应的值如下表所示: x f(g(x)) g(f(x)) ∴f(g(x))>g(f(x))的解为 x=2. 答案 1 2 1 1 3 2 3 1 3 1 3 规律方法 列表法表示函数的相关问题的解法 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数, 对于 f(g(x))这类函数值的求 解,应从内到外逐层求解,而求解不等式,则可分类讨论或列表解决. 【训练 2】 已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出 x f(x) x g(x) (1)f[g(1)]=__________; (2)若 g[f(x)]=2,则 x=__________. 解析 (1)由表知 g(1)=3, 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 1 ∴f[g(1)]=f(3)=1; (2)由表知 g(2)=2,又 g[f(x)]=2,得 f(x)=2, 再由表知 x=1. 答案 (1)1 (2)1 题型三 求函数的解析式 考查方向 方向 1 待定系数法求函数解析式 (1)已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=16x-25,则函数 f(x)的解 【例 3-1】 析式为________. (2)已知 f(x)是二次函数且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则函数 f(x)的解析 式为________. 解析 (1)设 f(x)=kx+b(k≠0),则 f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x- ? ?k2=16, 25,所以? ? ?kb+b=-25, 25 解得 k=4,b=-5 或 k=-4,b= , 3 所以 f(x)=4x-5 或 f(x)=-4x+ 25 . 3 (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=1 得 c=1,则 f(x)=ax2+bx+1,f(x +1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x. ? ?2a=2, 故得? ? ?a+b=0 解得 a=1,b=-1,故得 f(x)=x2-x+1. 答案 方向 2 (1)f(x)=4x-5 或 f(x)=-4x+ 25 3 (2)f(x)=x2-x+1 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 (1)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式; 【例 3-2】 (2)已知 f(x)+2f(-x)=x2+2x,求 f(x). 解 (1)法一 (换元法):令 t= x+1,则 x=(t-1)2,t≥1,所以 f(t)=(t-1)2 +2(t-1)=t2-1(t≥1), 所以 f(x)的解析式为 f(x)=x2-1(x≥1). 法二 因为 (配凑法):f( x+1)=x+2 x=x+2 x+1-1=( x+1)2-1. x+1≥1,所以 f(x)的解析式为 f(x)=x2-1(x≥1). (2)∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,① ∴将 x 换成-x,得 f(-x)+2f(x)=x2-2x.② ∴由①②得 3f(x)=x2-6x, 1 ∴f(x)= x2-2x. 3 规律方法 求函数解析式的类型及方法 (1)若已知所要求的解析式 f(x)的类型,可用待定系数法求解,其步骤为:①设 出所求函数含有待定系数

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