湖北省襄阳市2013届高三元月第一次调研考试数学文试题(word版)

湖北省襄阳市 2013 届高三第一次调研考试

数学(文)试题
本试卷全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,请考生认真阅读答题卡上的注意事项。非网评考生务必将自己的学校、班级、 姓名、考号填写在答题卡密封线内,将考号最后两位填在登分栏的座位号内。网评考生 务必将自己的姓名、 考号填写在答题卡上指定位置, 贴好条形码或将考号对应数字涂黑。 用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在 试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后,监考人员将答题卡和机读卡一并收回,按小 号在上,大号在下的顺序分别封装。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.i 是虚数单位,复数 z ? A.—i

2 ? 3i 的虚部是 ?3 ? 2i
B.-l
2

C.1

D.2

2.若集合 A ? {x || x |? 1, x ? R}, B ? { y | y ? x , x ? R}, 则A ? B ? A. {x | ?1 ? x ? 1}
2

B. {x | x ? 0}
m

C. {x | 0 ?? 1}

D. ?

3.函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x 是幂函数,且在 x ? (0, ??) 上为增函数,则实数 m 的值是 A.-1 4.设 f ( x) ? ? B.2 C.3 D.-1 或 2

?log 3 x ?3
x

x?0 x?0

, 则 f ( f (?3)) 等于

A.3

B.-3

C.

1 3 3 2

D.—1

5.△ABC 中,BC=3,A=30°,B=60°,则 AC 等于 A.3 B. 3 3 C. D.2

6 . 在 AABC 中 , M 是 BC 的 中 点 , AM=3 , 点 P 在 AM 上 , 且 满 足

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A P? 2 P M , 则 P? A P B ) C ( ? P
的值为 A.-4 B.-2 C.2 D.4

7.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 l 千克、B 原料 2 千
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克;生产乙产品 l 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元, 每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原 料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司 共可获得的最大利润是 A.1800 元 B.2400 元 C.2800 元 D.3100 元 8.如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形. 直角三角形的较短边长为 2.向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正 方形内的概率为

1 13 3 C. 13
A.

2 13 4 D. 13
B.

9.若函数 f ( x ) 在(1,2)内有一个零点,要使零点的近似值满足精确度为 0.01,则对区 间(1,2) 至少二等分 A.6 次 B.7 次 C.8 次 10.若直角坐标平面内的两个不同的点 M、N 满足条件:

D.9 次

①M、Ⅳ都在函数 y ? f ( x) 的图象上;②M、N 关于原点对称.则称点对[M,N]为函 数 y ? f ( x) 的一对“友好点对” (注:点对[M,N]与[N,M]为同一“友好点对”. ) 已知函数 f ( x) ? ?

?log3 x

x?0

2 ?? x ? 4 x x ? 0

, 此函数的“友好点对”有

A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 二、填空题(本大题共 7 小题,共 35 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位 置,书写不清,模棱两可均不得分。 ) 11.在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若公比为 3 2 ,且满足 a3 a11 =16.则 log2 a16= 12.不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1|? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为
2

13.已知 a ? b,| a |? 2,| b |? 3, 且3a ? 2b与? a ? b 垂直,则实数λ 的值为 14.若 a ? 0, b ? 0, 4a ? b ? 1, 则

1 4 ? 的最小值是 a b

第 2 页 共 7 页

15 . 已 知 某 算 法 的 流 程 图 如 图 所 示 , 输 出 的 ( x, y ) 值 依 次 记 为 ,则 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ),?. 若程序运行中输出的一个数组是(t,-8) t= 16.将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象向左平移 .

? 个单位 6

长度,平移后的图象如图所示,则 y ? sin ? x(? ? 0) 的解析式是 17.右表中数阵称为“森德拉姆筛” ,其特点是每行、每列 都是等差数列,则表中数字 206 共出现 次. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18. (本大题满分 12 分) 已知函数 a ? (cos 2 x, ?1), b ? (1, cos(2 x ?

?
3

)), 设f ( x) ? a ? b ? 1.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (2)设 x 为三角形的内角,且函数 y= 2f(x)+k 恰有两个零点,求实数 k 的取值范围.

19. (本大题满分 12 分) 已知 {an } 是公差为 2 的等差数列,且 a3 +1 是 a1+1 与 a7+1 的等比中项 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

an ? 1 (n ? N * ), 求数列{bn }的前n项和Tn . n 2

20. (本大题满分 13 分) 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,
第 3 页 共 7 页

收集数据如下

(1)在 5 次试验中任取 2 次,记加工时间分别为 a、b,求事件 a、b 均小于 80 分钟的 概率;

? ? ? (2) 请根据第二次、 第三次、 第四次试验的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a
(3)根据(2)得到的线性回归方程预测加工 70 个零件所需要的时间,

参考公式: 21. (本大题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a2 x2 ? ax(a ? R). (1)当 a=l 时,证明函数 f(x)只有一个零点; (2)若函数 f(x)在区间(1,+∞)是减函数,求实数 a 的取值范围

22. (本大题满分 14 分) 若函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,而 F ( x) ? 称函数 y ? f ( x) 在 I 上是“弱增函数” . (1)请分别判断 f ( x) ? x ? 4, g ( x) ? x ? 4 x ? 2 在区间(1,2)是否是“弱增函数” ,
2

f ( x) 在 I 上是减函数,则 x

并简要说明理由; (2)若函数 h( x) ? x ? (sin? ?
2

1 ) x ? b (? , b是常数 )在 (0,1]上是“弱增函数” ,请求 2

出θ 正数 b 应满足的条件.

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参考答案
一.选择题:BCBBB 二.填空题:11.5 14.16 三.解答题: ACABC 12.(-∞,-1]∪[4,+∞) 15.81 16. y ? sin 2 x 13. 17.2
1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2

3 2

18.(1)解: f ( x) ? a ? b +1 ? cos 2 x ? cos(2 x ?

?
3

) ?1 ?

2分 3分 4分

? cos(2 x ?
∴最小正周期为 ? 由 2k? ≤ 2x ?

?
3

) ?1

?

3

≤ 2k? ? ? ,得 k? ?

?
6

≤ x ≤ k? ?

?
3

(k∈Z) 6分

∴函数 f (x)的单调递减区间是 (k? ? (2)解: y ? 2 f ( x) ? k ? 2cos(2 x ? 因为 x 是三角形的内角,所以 由 2 cos(2 x ?

?
6

,? ? k

?
3

) (k∈Z)

?
3

) ?2 ? k

?
3

? 2x ?

?
3

?

2?k k ? ?1 ? 3 3 2 2 函数 y = 2f (x) + k 恰有两个零点,即①在(0, ? )有两个根 k 1 1 k ∴ ?1 ? ?1 ? ? 或 ? ?1 ? ? 1 2 2 2 2 ) ? 2 ? k ? 0 得: cos(2 x ? )??
分 即-3 < k < 0 或-4 < k <-3 ∴实数 k 的取值范围是{ k |-3 < k < 0 或-4 < k <-3}. 分

?

?

7? 3

8分 ①

10

12 2分

19.(1)解:∵{an}是公差为 2 的等差数列,∴a3 = a1 + 4,a7 = a1 + 12
第 5 页 共 7 页

又 a3 + 1 是 a1 + 1 与 a7 + 1 的等比中项 ∴(a3 + 1)2 = (a1 + 1)(a7 + 1),即(a1 + 5)2 = (a1 + 1)(a1 + 13) 解得:a1 = 3,∴an = 2n + 1

4分 6分

2n ? 1 ? 1 n ? n?1 n 2 2 1 2 3 n ?1 n Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 两式相减得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 分 2 n ? 2? n ? n 2 2 n?2 ∴ Tn ? 4 ? n?1 2 分
(2)解: bn ?

8分 10

12

20.(1)解:a、b 构成的基本事件(a,b)有(62,67),(62,65),(62,80),(62,89),(67, 75),(67,80),(67,89),(75,80),(75,89)共有 10 个 2分 其中“a、b 均小于 80 分钟”的有(62,67),(62,75),(67,75)共 3 个 3分 3 ∴事件“a、b 均小于 80 分钟”的概率为 4分 10 (2)解: x ?

1 (20 ? 30 ? 40) ? 30 3

5分 6分 8分 9分 10

1 (67 ? 75 ? 80) ? 74 3 ? (20 ? 30) ? (67 ? 74) ? (30 ? 30) ? (75 ? 74) ? (40 ? 30) ? (80 ? 74) ? 13 b? 20 (20 ? 30) 2 ? (30 ? 30) 2 ? (40 ? 30) 2 13 ? a ? 74 ? ? 30 ? 54.5 20 13 ∴y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? y ? 54.5 20 分 y?
13 (3)解:由(2)知 y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? y ? 54.5 20 13 当 x = 70 时, y ? ? 70 ? 54.5 20 分 ∴预测加工 70 个零件需要 100 分钟的时间. 分
21.(1)解:当 a = 1 时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x , (2 x ? 1)( x ? 1) 1 f ?( x) ? ? 2x ? 1 ? ? x x 当 0 < x < 1 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)是增函数 当 x > 1 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)是减函数 又 f (1) = 0,∴函数 f (x)只有一零点.

11 13

2分 4分 6分

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1 2a2 x2 ? ax ? 1 ? 2a2 x ? a ? ? x x ∵函数 f (x)在区间(1,+∞)是减函数,∴ 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在(1,+∞)内恒成立 当 a = 1 时,-1 > 0,不成立 1 1 当 a≠0 时,由 2a2 x2 ? ax ? 1 ? (2ax ? 1)( x ? 1) = 0 得: x1 ? ? , 2 ? x 2a a 分 1 若 a > 0,则 x∈( ,+∞)时, 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 a 1 ∴ ? 1 ,即 a > 1 a 分 1 若 a < 0,则 x∈(0, ? )时, 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,在(1,+∞)内不是恒成立 2a ∴实数 a 的取值范围是(1,+∞). 分
(2)解: f ?( x) ? 22.(1)解:由于 f ( x) = x ? 4 在(1,2)上是增函数,且 F ( x) ?

8分 10

12

14

f ( x) 4 ? 1 ? 在(1,2)上是减函 x x
4分

数, 所以 f ( x) = x ? 4 在(1,2)上是“弱增函数” g ( x) g ( x) ? x2 ? 4x 在(1,2)上是增函数,但 ? x ? 4 在(1,2)上不是减函数, x 所以 g ( x) ? x2 ? 4 x ? 2 在(1,2)上不是“弱增函数”

8分

1 b (2)解:设 h( x) ? x2 ? (sin ? ? ) x ? b ( ?、 是常数)在 (0,1] 上是“弱增函数” ,则 2 1 ① h( x) ? x2 ? (sin ? ? ) x ? b 在 (0,1] 上是增函数 2 1 ?(sin ? ? ) 1 2 ≤0 2 由 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b 在 (0,1] 上是增函数得, 2 2 分 1 ? 5? sin ? ≥ , ? ?[2k? ? , k? ? 2 ] k ?Z 2 6 6 h( x) b 1 ② F ( x) = ? x ? ? (sin ? ? ) 在 (0,1] 上是减函数 x x 2 b ≤ 0 在 (0,1] 上恒成立 x2 即 b≥x2 在 (0,1] 上恒成立,故 b≥1 ? 5? ∴b≥1 且 ? ?[2k? ? , k? ? . 2 ] k ?Z 时,h (x)在 (0,1] 上是“弱增函数” 6 6 分
∴ F ?( x) ? 1 ?

10

9分

14

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