综合法与分析法(公开课教案)

肥东锦弘中学高中部公开课教案设计·综合法和分析法

肥东锦弘中学高中部公开课教案设计 2. 2 .1 综合法与分析法

授课时间:2013.4.16 下午第一节 地点:高二(15)班 授课人:赵尚平 一.教材分析 《直接证明与间接证明》 是在学习了推理方法的基础上学习的, 研究的是如何正确利用 演绎推理来证明问题.本节课是《直接证明与间接证明》的第一节,主要介绍了两种证明方 法的定义和逻辑特点,并引导学生比较两种证明方法的优点,进而灵活选择证明方法,规范 证明步骤.本节课的学习需要学生具有一定的认知基础,应尽量选择学生熟悉的例子. 二.教学目标 1.知识与技能目标 (1)了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法. (2)了解综合法和分析法的思维过程和特点. 2.过程与方法目标 (1)通过对实例的分析、归纳与总结,增强学生的理性思维能力. (2)通过实际演练,使学生体会证明的必要性,并增强他们分析问题、解决问题的能力. 3.情感、态度及价值观 通过本节课的学习,了解直接证明的两种基本方法,感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用,养成言之有理、论之有据的好习惯,提高学生的思维能力. 三.教学重难点 重点:综合法和分析法的思维过程及特点. 难点:综合法和分析法的应用. 四.教具准备:多媒体. 五.教法与学法:师生合作探究 六.教学过程:

(一)创设情境

引入新课

证明对我们来说并不陌生, 我们在上一节学习的合情推理, 所得的结论的正确性就是要 证明的,并且我们在以前的学习中,积累了较多的证明数学问题的经验,但这些经验是零散 的、不系统的,这一节我们将通过熟悉的数学实例,对证明数学问题的方法形成较完整的认 识.

(二) 新







合情推理分为归纳推理和类比推理, 所得的结论的正确性是要证明的, 数学中的两大基 本证明方法——直接证明与间接证明. 思考:已知 a,b>0,求证 a(b ? c ) ? b(c ? a ) ? 4abc 设计意图:引导学生应用不等式证明以上问题,引出综合法的定义.
2 2 2 2

证明:因为 b ? c ? 2bc, a ? 0 ,
2 2

所以 a(b ? c ) ? 2abc ,
2 2

因为 c ? a ? 2ac, b ? 0 ,
2 2

所以 b(c ? a ) ? 2abc .
2 2

因此, a(b ? c ) ? b(c ? a ) ? 4abc .
2 2 2 2

1

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一. 综合法
1.定义:从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,经过一系列的推理论 证,最后推导出所要证明的结论成立. 2.思维特点:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出 结论的一种证明方法 3.框图表示:(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论)
王新敞
奎屯 新疆

? P ? Q1 ? ? (Q1 ? Q2 ) ? ?Q2 ? Q3 ? ? ..... ? ?Qn ? Q?

例 1 已知 a,b,c 是不全相等的正数,

a?b b?c c?a ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2 ? 证明:? a, b, c ? R a?b b?c c?a ? ? ab, ? bc, ? ca , 2 2 2 a?b 1 ? lg ? lg ab ? (lg a ? lg b), 2 2 b?c 1 lg ? lg bc ? (lg b ? lg c), 2 2 c?a 1 lg ? lg ca ? (lg c ? lg a), 2 2
求证: lg 以上三式相加,且注意到 a,b,c 不全相等, 故 lg

a?b b?c c?a ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2

总结:本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明. 例 2 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 A,B,C 成等差数列, a, b,c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形. 证明:由 A, B, C 成等差数列,有 2B=A + C . 因为 A,B,C 为△ABC 的内角,所以 A + B + C= ? . 由①② ,得 B= 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○

? . 3

2 由 a, b,c 成等比数列,有 b ? ac .

由余弦定理及③,可得

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac . 2 2 再由④,得 a ? c ? ac ? ac . ( a ? c) 2 ? 0 , 因此 a ? c .
从而 A=C. 由②③⑤,得 A=B=C= 5 ○

? . 3

所以△ABC 为等边三角形. 总结:解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把 符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.
2

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回顾:《必修五》中基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 的证明方法. 2

二.分析法
1.定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证 明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为 止,这种证明方法叫做分析法. 2. 思维特点: 执果索因 步步寻求上一步成立的充分条件, 它与综合法是对立统一的两种
王新敞
奎屯 新疆

方法

王新敞
奎屯

新疆

3.框图表示:(用 Q 表示要证明的结论,Pn 表示充分条件)

?Q ? P ? ? (P ? P2 )..... ? (Pn?1 ? Pn ) ? ? Pn ? P? 1 1
4.分析法的书写格式:

要证:?? 只要证:?? 只需证:?? ??显然成立 上述各步均可逆 所以,结论成立

例 3 求证: 3 ? 7 ? 2 5 证明:因为 3 ? 7和2 5 都是正数, 所以要证 3 ? 7 ? 2 5 只需证 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2

10 ? 2 21 ? 20 只需证 21 ? 5, 只需证 21 ? 25 因为 21 ? 25 显然成立, 所以 3 ? 7 ? 2 5
展开得

在本例中,如果我们从“21<25 ”出发,逐步倒推回去,就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困难. 练习:在锐角 ?ABC 中,求证: tan A ? tan B ? 1 证明:要证明 tan A ? tan B ? 1 只需证

sin A sin B ?1 cos A cos B

因为 A、B 为锐角,所以 cos A ? 0, cos B ? 0 只需证 cos A cos B ? sin A sin B 只需证 cos( A ? B) ? 0 因为 C 为锐角, A ? B ? ? ? C 为钝角 所以 cos( A ? B) ? 0 恒成立 所以 tan A ? tan B ? 1

3

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七.课时小结:本节课所学的知识结构

八.作业布置 1.必做题:教材习题 2.2 A 组 2、3 题. 2.选做题:教材习题 2.2 B 组 2、3 题. 九.板书设计 2.2.1 综合法和分析法 二.分析法 三.例题分析 1.定义 例 1 练习 1 2.框图表示 例 2 练习 2 3.特点 例 3 练习 3

一.综合法 1.定义 2.框图表示 3.特点. 十.教学反思

备用例题 1:已知 x, y, z ? R, a, b, c ? R 求证:

?

b?c 2 c?a 2 a?b 2 x ? y ? z ? 2( xy ? yz ? zx ) a b c


证明:由于 x,y,z∈R,a,b,c∈R ,则

b?c 2 c?a 2 a?b 2 x ? y ? z a b c b c c a a b ? x2 ? x2 ? y2 ? y2 ? z 2 ? z 2 a a b b c c b a c b a c ? ( x2 ? y2 ) ? ( y2 ? z2 ) ? ( z2 ? x2 ) a b b c c a ? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2( xy ? yz ? zx) b?c 2 c?a 2 a?b 2 x ? y ? z ? 2( xy ? yz ? zx ) . 所以 a b c 备用例题 2: 已知 1 ? tan ? ? 1 ,求证:cos ? -sin ? =3(cos ? +sin ? ). 2 ? tan ?
证明:要证 cos ? -sin ? =3(cos ? +sin ? ),

cos ? ? sin ? ? 3, cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? 3, 只需证 1 ? tan ?
只需证

1 只需证 1-tan ? =3(1+tan ? ),只需证 tan ? =- , 2 ∵ 1 ? tan ? ? 1 ,∴1-tan ? =2+tan ? ,即 2tan ? =-1.

2 ? tan ?

1 ∴tan ? =- 显然成立,∴ 结论得证. 2

4


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