正弦定理和余弦定理的应用_图文

第八节

正弦定理和余弦定理的应用

1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标 视线在水平视线 上方时叫仰角,目标视线在水平视线 下方 时 叫俯角.(如图(a)).

2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为 α(如图(b)). 3.方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角, 通常表达为 北(南)偏东(西)××度.

易混淆方位角与方向角概念:方位角是指北方向与目标 方向线按顺时针之间的夹角,而方向角是正北或正南方向线 与目标方向线所成的锐角.

3.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比.

4.视角 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角 (如图 3-8-2).

图 3-8-2

研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅 助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问 题, 从而利用正、 余弦定理求解. 归纳起来常见的命题角度有:
(1)两点都不可到达; (2)两点不相通的距离; (3)两点间可视但有一点不可到达.

角度一 两点都不可到达 1.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两
点均不可到达,测出 AB 的距离,测量者 可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 3 若测得 CD= km,∠ADB=∠CDB=30° ,∠ACD= 2 60° ,∠ACB=45° ,求 A,B 两点间的距离.

30° 30°

45° 60°

角度二

两点不相通的距离

2.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点 间的距离,其方法先选定适当的位置C, 用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a, 则可求出A,B两点间的距离. 即AB= a2+b2-2abcos α. 若测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60° ,试 计算AB的长.

角度三

两点间可视但有一点不可到达

3. 如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测 量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出 AB的距离,其方法在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC 的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ ABC中,运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则A,B两点 间的距离为________.

[类题通法]
求距离问题的注意事项

(1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角 形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在 另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择

更便于计算的定理.

对点训练 如图3-8-6所示,A,B是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3 )海里的两个观测点.现位于A点北偏东45° ,B点北 偏西60° 的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西 60° 且与B点相距20 3 海里的C点的救援船立即前往营救,

其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时 间?

图 3-8-6

图 3-8-6

【解】

由题意知 AB=5(3+ 3)海里,

∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° , DB AB 在△DAB 中,由正弦定理,得 = , sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin 45° ∴DB= = sin 105° sin∠ADB 5?3+ 3?· sin 45° 5 3? 3+1? = = sin 45° cos 60° +cos 45° sin 60° 3+1 2

=10 3(海里), 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60° ,BC=20 3(海里). 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC 1 =300+1200-2×10 3×20 3× =900. 2 30 ∴CD=30(海里).则需要的时间 t= =1(小时). 30

要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45° ,在D点测得 塔顶A的仰角是30° ,并测得水平面上的∠BCD=120° ,CD=40 m, 求电视塔的高度. 解:如图,设电视塔AB高为x m,
则在Rt△ABC中,由∠ACB=45° 得 BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30° , 则BD= 3x.在△BDC中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos 120° , 即( 3x)2=x2+402-2· x· 40· cos 120° , 解得x=40,所以电视塔高为40米.

[类题通法]
求解高度问题的注意事项 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都 是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角;

(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图;

(3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问 题的答案,注意方程思想的运用.

考向三 [071]

测量角度问题

在海岸 A 处, 发现北偏东 45° 方向、 距离 A 处( 3 -1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75° 方向、距 离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度 追截走私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处 向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船什么方向能最快追上走私 船?最少要花多少时间?

【思路点拨】

设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船,

确定出三角形,先利用余弦定理求出 BC,再利用正弦定理 求出时间.
【尝试解答】 设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船,

则有 CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° . 利用余弦定理可得 BC= 6. 由正弦定理,得

AC 2 3 2 sin∠ABC=BCsin∠BAC= × = , 2 6 2 得∠ABC=45° ,即 BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD=120° .

在△BCD 中,由正弦定理,得 BDsin∠CBD 10t· sin 120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t

CD BC 10 3t 得∠BCD=30° ,又 = ,即 = 6, sin 120° sin 30° 3 6 得 t= . 10 所以当缉私船沿东偏北 30° 的方向能最快追上走私船,最少 6 要花 小时. 10

规律方法 3

测量角度问题的一般步骤

(1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并 在图形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解.

2.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同 一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45° 和60° ,而且两 条船与炮台底部连线成30° 角,则两条船相距________m.

解析:如图,OM=AOtan 45° =30(m), 3 ON=AOtan 30° = ×30=10 3(m), 3 在△MON中,由余弦定理得, MN= 3 900+300-2×30×10 3× 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3


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