直线与圆相切、相交问题_图文

专题一: 专题一:

直线与圆相切问题

思想方法回顾:
判断直线与圆位置关系
方法1: 方法 根据直线与圆方程组成 的方程组的解的个数判断; 的方程组的解的个数判断; 方法2: 方法 根据圆心到直线的距离 与圆半径的大小关系判断. 与圆半径的大小关系判断

弦长问题
方法1:联立方程,利用弦长 计算式: 方法 2:应用圆中直角三角形 : 联立方程, 计算式: l = 1 + k 2 x1 ? x 2 = 1 + k 2 ? ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

?l? r = d +? ? ?2?
2 2

2

紧紧抓住圆的 几何特征解题

题型一:直线与圆相切,求切线方程
(1 例: )求经过点(0, 3 )与圆( x ? 1) 2 + y 2 = 4相切的切线方程 . ( 2)求经过点(3,1)与圆( x ? 1) 2 + y 2 = 4相切的切线方程 .

方法一:设切线斜率,写出切线方程,联 立方程,利用判别式为0; 代数运算 方法二:设切线斜率,写出切线方程,用 圆心到切线距离等于圆的半径. 数形结合

注意:上述 注意: 两个问有区 别吗? 别吗?

练:已知圆 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2 ) 2 = 2 , P ( 2, ?1), 作圆的切线, 过 P 作圆的切线,切点为 A 、 B 1 的方程; ()求直线 PA , PB 的方程; ) (2 求直线 AB 的方程 .

探究问题:
1、已知圆的方程是 x + y = r , 求经过圆上一点
2 2 2

M ( x 0 , y 0 )的切线方程 . 2、上题若圆改为 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 = r 2 , 结果如何? 结果如何? 3、若 M ( x 0 , y 0 ) 是圆 x 2 + y 2 = r 2外一点,过 P 点的 外一点, 两切线切圆于 P1 , P2,求直线 P1 P2的方程 . 4、上题若圆改为 ( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 = r 2 , 结果如何? 结果如何?

延伸阅读(了解一下即可,不必记) 了解一下即可,不必记)
圆上一点的切线方程: 圆上一点的切线方程: 过圆x 上一点P(x 过圆 2+y2=r2上一点 0,y0)的切线方程是 的切线方程是 x0x+y0y=r2 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0,y0)的切线方程 上一点P(x 过圆 的切线方程 是(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2 切点弦方程 P(x0,y0)是圆 2+y2=r2外一点,过P点的两切线 是圆x 外一点, 是圆 点的两切线 切圆于P 直线P 的方程为x 切圆于 1、P2,直线 1P2的方程为 0x+y0y=r2 更一般地: 更一般地:(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2

求切线方程练习(可留做作业)
已知圆x 已知圆 2+y2=8,定点 ,定点P(4,0),问过 点的直线的倾斜 ,问过P点的直线的倾斜 角在什么范围内取值时, 角在什么范围内取值时,该直线与已知圆 ;(2)相交;( ;(3)相离, (1)相切;( )相交;( )相离, )相切;( 并写出过P点的切线方程 点的切线方程. 并写出过 点的切线方程 自点A(-3,3)发出的光线 射到 轴上,被x轴反射,其 发出的光线l射到 轴上, 轴反射, 自点 发出的光线 射到x轴上 轴反射 反射光线所在直线和圆C: 相切, 反射光线所在直线和圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切,求 相切 光线l所在直线的方程 所在直线的方程. 光线 所在直线的方程. 已知圆C: 若圆C的切线在 轴和y轴 的切线在x轴和 已知圆 x2+y2+2x-4y+3=0. 若圆 的切线在 轴和 轴 上的截距相等,求此切线方程; 上的截距相等,求此切线方程;

题型二:直线与圆相切,求圆的方程 1:求与两平行直线 1:x-2y-1=0,l2:x-2y+9=0均相 求与两平行直线l 求与两平行直线 均相 且圆心在直线m:3x+2y+1=0上的圆方程 上的圆方程. 切,且圆心在直线 上的圆方程 2:求经过 求经过A(0,5),且与直线 求经过 ,且与直线x-2y=0和 和 2x+y=0都相切的圆的方程 都相切的圆的方程. 都相切的圆的方程 3: 圆与直线 圆与直线2x+3y-10=0相切于点 相切于点P(2,2),并 相切于点 , 且过点M(-3,1),求圆的方程 且过点 ,求圆的方程.

方法与思想
判断直线与圆位置关系
方法1: 方法 根据直线与圆方程组成 的方程组的解的个数判断; 的方程组的解的个数判断; 方法2: 方法 根据圆心到直线的距离 与圆半径的大小关系判断. 与圆半径的大小关系判断

弦长问题
方法1:联立方程,利用弦长 计算式: 方法 2:应用圆中直角三角形 : 联立方程, 计算式: l = 1 + k 2 x1 ? x 2 = 1 + k 2 ? ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

?l? r = d +? ? ?2?
2 2

2

求切线方程
方法1: 设切线斜率, 方法 设切线斜率,写出切线 方程,联立方程, 方程,联立方程,利用判别式 为0; ; 方法2: 设切线斜率, 方法 设切线斜率,写出切 线方程, 线方程,用圆心到切线距离 等于圆的半径. 等于圆的半径

专题二: 专题二:

直线与圆相交问题

题型一:相交问题
1、若直线ax+by=1与圆 2+y2=1相交,则点 、若直线 与圆x 相交, 与圆 相交 则点P(a,b)与圆的 与圆的 位置关系是_____. 位置关系是 2、过点P(1,2)的直线 把圆 2+y2-4x-5=0分成两个弓形, 、过点 的直线l把圆 分成两个弓形, 的直线 把圆x 分成两个弓形 当其中较小弓形面积最小时,直线l的方程是 的方程是_____. 当其中较小弓形面积最小时,直线 的方程是 3、直线 3x + y ? 2 3 = 0 截圆 x2+y2=4得到的劣弧所对的 、 得到的劣弧所对的 圆心角为_______. 圆心角为 4、圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线 、 上到直线x+y+1=0的距离为 2 的 上到直线 的距离为 点共有多少个? 点共有多少个? 1、数形结合解题 2、结合垂径定理和勾股定理

题型二:相交问题求参数的值( 题型二:相交问题求参数的值(范围)
5、(04南京一模 能使圆 2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点 、 南京一模 能使圆x 南京一模)能使圆 上恰有两个点 到直线2x+y+c=0距离等于 的c的范围是 到直线 距离等于1的 的范围是______. 距离等于 的范围是 6、已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线 、已知圆 与直线x+2y-3=0相交于 、Q 相交于P、 与直线 相交于 两点,O为原点,若OP⊥OQ,求实数m的值 两点, 为原点, ⊥ ,求实数 的值. 为原点 的值 7、若直线 y=x+b 与曲线 y = 4 ? x 2 有公共点,试求 的 、 有公共点,试求b的 取值范围. 取值范围 1、数形结合解题 2、联立方程+韦达定理的解题思路
类似题: 类似题:已知圆 C : x 2 + y 2 ? 2 x + 4 y ? 4 = 0,问是否 存在斜率为 1的直线 l,使 l被圆 C 截得的弦 AB 为直径 的圆经过原点? 的圆经过原点?若存在 ,写出直线 l的方程 .

题型三:相交问题求圆的方程
8、求与 x轴相切,圆心在直线 3 x ? y = 0上,且被直线 轴相切, x ? y = 0截得的弦长为 2 7的圆的方程 . 9、过点 M ( 0,1)的直线 l与圆心在原点的圆相交 于 A、 B 7 两点, 两点,若弦长 AB = 14,△AOB 的面积为 ,求直线 2 l与圆的方程 .


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