2015-2016学年广西钦州市高二下学期期末考试数学(理)试题(B卷)

钦州市 2016 年春季学期教学质量监测

高二理科 数 学(B 卷)
(全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是 符合题目要求的。 (温馨提示:请在答题卡上作答,在本试题上作答无效。 ) 1.若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z 的共轭复数 z ?

A .1 ? i
2.极坐标方程 ? ?

B .1 ? i

1 1 C. ? i 2 2

D.

1 1 ? i 2 2

? ( ? ? R ) 表示的曲线是一条 6
B .直线

A .射线

C .垂直于极轴的直线

D .圆

3.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

an (n ? 1, 2,3,…) 计算该数列的前几项,猜想它的通项公式是 1 ? an
C . an ?

A . an ? n

B . an ? n2

1 n

D . an ?


1 2n ? 1

4.3 个班分别从 5 个风景点中选择一处游览,则不同的选法的种数是(

A . 53
5.在 ( ?

B . 35

3 C . A5

3 D . C5

x 2

1 8 ) 的展开式中,常数项是 3 x
B .-7

A .-28

C .7

D .28

6.“因为偶函数的图象关于 y 轴对称,而函数 f ( x) ? x 2 ? x 是偶函数,所以 f ( x) ? x 2 ? x 的图象关于 y 轴对称”,在上述演绎推理中,所得结论错误的原因是

A .大前提错误

B .小前提错误
D .大前提与推理形式都错误

C .推理形式错误

7.某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关,他收集了 3 月份本班同学的感冒数据,并制 出下面一个 2× 2 列联表:
页 1第

  参考数据
P ( K 2 ? 2.072) ? 0.15 P ( K 2 ? 2.706) ? 0.10

感冒 男生 女生 合计 5 9 13

不感冒 27 19 47

合计 32 28 60

2 由 K 的观测值公式,可求得 k ? 2.278 ,根据给出表格信息和参考数据,下面判断正确的是

A .在犯错概率不超过 1%的前提下认为该班“感冒与性别有关” B .在犯错概率不超过 1%的前提下不能认为该班“感冒与性别有关”

C .有 15%的把握认为该班“感冒与性别有关”
D .在犯错概率不超过 10%的前提下认为该班“感冒与性别有关”
8.已知函数 f ( x ) 的导函数 f ( x) 是二次函数,右图是
'

y ?2 o

f ' ( x)
2

f ' ( x) 的大致图象,若 f ( x) 的极大值与极小值的和等于
2 ,则 f (0) 的值为 3
A .0

x

B.

1 4
2

C.

1 3

2 D. 3
2

第8题图

9.设两个正态分布 N (?1,?1 )(?1 ? 0) 和
2 N (?2 ,? 2 )(? 2 ? 0) 的密度函数图象如图所示,则有

N ( ?1 , ? 1 )

y
N (?2 , ? 2 )
2

A . ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2

B . ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2
D . ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2
?1.0 ?0.5 O 0.5 1.0

C . ?1 ? ?2 ,?1 ? ? 2

x

(第9 题图)

10.某同学投篮第一次命中的概率是 0.75,连续两次投篮命中的概率是 0.6,已知该同学第一次投篮命中, 则其随后第二次投篮命中的概率是

A .0.45

B .0.6

C .0.75

D .0.8

11.从 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字中任意取 4 个数字,组成一个没有重复数字且能被 3 整除的四位数, 则这样的四位数共有

A . 64 个

B . 72 个

C . 84 个

D . 96 个

12.设随机变量 ? 的取值为 0,1,2. 若 P(? ? 0) ?

1 , E (? ) ? 1 ,则 D(? ) ? 5
D.4
5

A .1

5

B.2
5

C .3
5

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

P
A

G
F E A B F



2第

E

B

C

C

13.在函数 y ? x ln x 的图象上的点 A(1, 0) 处的切线方程是 ▲ 。 14.如图,类比三角形中位线定理“如果 EF 是三角形的中位线, 则 EF∥ AB 。”,在空间四面体(三棱锥) P ? ABC 中, “如果 ▲ ,则 ▲ ”。 15.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y (单位:千元)的统计数据如下表, 年 份 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 年份代号 x

1 2

y

? ? 2.3 ,则预测该地区 2015 年农村居民 据此,我们得到 y 关于年份代号 x 的线性回归方程: ? y ? 0.5x
家庭人均纯收入等于 ▲ 。 16.已知函数 f ( x) ? ?
2 ? ?( x ? 1) ( ?1 ? x ? 0), 2 ? ? 1 ? x (0 ? x ? 1),



?

1

?1

f ( x)dx ?

▲ 。

三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)设 m ? R ,复数 (m2 ? 5m ? 6) ? (m2 ? 3m)i 是纯虚数。 (1)求 m 的值; (2)若 ?2 ? mi 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的一个根,求实数 p , q 的值。

18. (本小题满分 12 分)已知 a ? ?2 各项系数之和。

?

?

0

a ? sin( x ? )dx ,求二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中 x 的系数及展开式中 x 3

19. (本小题满分 12 分)已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

? )? 2。 4

(1)在极坐标系下写出 ? ? 0 和 ? ?

? 时该直线上两点的极坐标并画出该直线; 2

(2)已知 Q 是曲线 ? ? 1 上的任意一点,求点 Q 到直线 l 的最短距离及此时 Q 的极坐标。

20. (本小题满分 12 分)某学校为了解高二年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个 班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时) ,统计结果绘成频率分布直方图(如图) .已 知甲、乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有 8 人。



3第

(1)求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数; (2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试. 设 4 人中,甲班学 生的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ?

2 1 ,满足 Sn ? ? 2 ? an (n ? 2) , 3 Sn

(1)求 S2 , S3 , S4 ; (2)根据(1)猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法证明。

22. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? (1)讨论 f ( x ) 的单调性;

a ? ln x ,其中 a 为实常数。 x

(2)不等式 f ( x) ? 1 在 x ? (0,1] 上恒成立,求实数 a 的取值范围。



4第

钦州市 2016 年春季学期教学质量监测参考答案

高二理科 数 学(B 卷)
一、选择题答案: (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 10 D 11 D 12 B

二、填空题答案: (每小题 5 分,共 20 分) 13.   y ? x ?1   ; 14. 如果?EFG是三棱锥P-ABC的中截面, 则平面EFG // 平面?ABC , 且S ?EFG ?

1 4

S ?ABC

6.8   15.    ;16.   

4 ? 3?    12

三、解答题:本大题共 6 小题;共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解: (1)因为复数 (m2 ? 5m ? 6) ? (m2 ? 3m)i 是纯虚数,所以
2 ? ?m ? 5m ? 6 ? 0 ………………2 分 ? 2 ? ?m ? 3m ? 0

解得 ?

?m ? 2或m ? 3 ?m ? 0且m ? 3

所以 m ? 2 ………………………………………………………5 分
2

(2)因为 ?2 ? mi 是方程 x ? px ? q ? 0 的一个根,所以

(?2 ? 2i)2 ? p(?2 ? 2i) ? q ? 0
即 (?2 p ? q) ? (2 p ? 8)i ? 0

………………………………………………………7 分

…………………………………………………………8 分

所以 ?

??2 p ? q ? 0 ?2 p ? 8 ? 0

解得 ?

?p ? 4 ?q ? 8

.…………………………………………………10 分

18.解:依题意, 知 a ? ?2

?

?

0

? ? 4? ? sin( x ? )dx ? 2[cos( x ? )] |? ? cos ) ? ?2 ,…………4 分 0 ? 2(cos 3 3 3 3



5第

∴ ( x ? ) ? ( x ? ) ,…………………………………………………………………6 分
2 5 2 5

a x

2 x

设展开式中含 x 的项是第 r ? 1 项,则

Tr ?1 ? C5r ( x 2 )5? r (

?2 r ) ? C5r (?2) r ( x)10?3r ,……………………………………………8 分 x
………………10 分

3 令 10 ? 3r ? 1 ,则 r ? 3 .∴展开式中 x 的系数是: C5 (?2)3 ? ?80

令 f ( x ) ? ( x ? ) ∴则二项式 ( x ? ) 的展开式中各项系数之和是
2 5 2 5

2 x

a x

2 f (1) ? (12 ? )5 ? ?1 ……………………………………………………………………12 分 1
19.解: (1)将代入 l 的极坐标方程,求得 ?1 ? 2 , ?2 ? 2 ………………………………2 分
B (2,

所以直线 l 经过 A(2, 0) , B (2,

?
2

?
2

) 两点,……………3 分
O

)

在极坐标系下,直线如图所示:………………………6 分

A(2, 0)
(第19题图)

x

(2)曲线 ? ? 1 化为直角坐标方程得 x 2 ? y 2 ? 1,该曲线为单位圆,

将直线 l 的极坐标方程 ? sin(? ?

? ) ? 2 化为直角坐标方程得 x ? y ? 2 ? 0 ………8 分 4

要求圆上任意一点到直线 l 的最短距离,只要求圆心 O(0, 0) 到直线 l 的距离即可。 由点到直线的距离公式得: d ?

|0?0?2| ? 2 , ………………………………10 分 2

所以点 Q 到直线 l 的最短距离为

? 2 ? 1 ,此时,点 Q 的极坐标为 Q (1, ) 。………12 分 4

20.解: (1)由直方图知, (0.150 ? 0.125 ? 0.100 ? 0.0875 ? a) ? 2 ? 1 , 解得 a ? 0.0375 .………………………………………………………………………2 分

因为甲班学习时间在区间[2,4]的有 8 人, 所以甲班的学生人数为

8 ? 40 人,...………………………………………..…4 分 2 ? 0.100

所以甲班学习时间在区间(10,12]的人数为 40 ? 0.0375 ? 2 ? 3 人.…………………6 分
页 6第

(2)乙班学习时间在区间(10,12]的人数为 40 ? 0.05 ? 2 ? 4 人. 由(1)知,甲班学习时间在区间(10,12]的人数为 3 人, 两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人.……………………………………………8 分 所以的所有可能为 0,1,2,3.
0 4 C3 C4 1 P(? ? 0) ? ? 4 C7 35 1 3 C3 C 12 P(? ? 1) ? 4 4 ? C7 35

P(? ? 2) ?

2 C32C4 18 ? 4 C7 35

P(? ? 3) ?

3 1 C3 C4 4 ? 4 C7 35

……………………10 分

所以随机变量 ? 的分布列是

?
p

0

1

2

3

1 35

18 35

12 35

4 35

E (? ) ? 0 ?

1 12 18 4 12 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 35 35 35 35 7

………………………………………12 分

21. (1)由 a1 ? ?

2 1 ,及 Sn ? ? 2 ? an (n ? 2) 可算得 3 Sn
………………………………………4 分

2 3 4 5 S1 ? ? , S 2 ? ? , S3 ? ? , S 4 ? ? 3 4 5 6
(2)由此猜想 Sn 的表达式是 S n ? ? 下面用数学归纳法证明:

n ?1 n?2

……………………………………………6 分

2 1?1 ?? 知,当 n ? 1 时,等式成立;……………………………7 分 3 1? 2 k ?1 (2)当 n ? 2 时,假设 n ? k (k ? 1) 时等式成立,即 S k ? ? …………………8 分 k?2
(1)由 a1 ? S1 ? ? 那么,当 n ? k ? 1 时,由 Sn ?

1 ? 2 ? an (n ? 2) 得 Sn

Sk ?1 ?

1 1 ? 2 ? ak ?1 ,得 ? ? ( Sk ?1 ? ak ?1 ) ? 2 ,而 Sk ? Sk ?1 ? ak ?1 ,…………10 分 Sk ?1 Sk ?1

∴?

k ?2 (k ? 1) ? 1 1 k ?1 k ?3 ?? ,∴ Sk ?1 ? ? ? Sk ? 2 ? ? ?2? k ?3 (k ? 1) ? 2 Sk ?1 k ?2 k ?2

所以,当 n ? k ? 1 时,等式成立。
页 7第

n ?1 成立 。………………12 分 n?2 a 1 x?a ' 22. (1)函数 y ? f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ( x) ? ? 2 ? ? .………………1 分 x x x2
综合(1) 、 (2)可知,对任意的正整数 n ,有 S n ? ? ①当 a ? 0 时,∵ x ? 0, ∴ x ? a ? 0 ,∴ f ' ( x) ? 0 ∴ f ( x ) 在定义域 (0, ??) 上单调递增.……………………………………………………3 分 ②当 a ? 0 时,若 x ? a ,则 f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (a, ??) 上单调递增; 若 0 ? x ? a ,则 f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减.………………………………5 分 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x ) 在定义域 (0, ??) 上单调递增;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (a, ??) 上单调 递增,在 (0, a ) 上单调递减.………………………………………………6 分 (2)当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? 1 ?

a ? ln x ? 1 ? a ? ? x ln x ? x , ………………8 分 x

不等式 f ( x) ? 1 在 x ? (0,1] 上恒成立 ? a ? [? x ln x ? x]max, x ? (0,1]
' 令 g ( x) ? ? x ln x ? x , g ( x) ? ? ln x ? x ?

1 ? 1 ? ? ln x ? 0, x ? (0,1] ……………10 分 x

所以 g ( x) 在 (0,1] 上单调递增,所以 g ( x)max ? g (1) ? 1,∴ a ? 1 所以 a 的范围为 [1, ??) 。………………………………………………………………12 分



8第


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