2018-2019学年最新高中数学人教版A版必修一学案:第一单元 1.1.2 集合间的基本关系

1.1.2 学习目标 集合间的基本关系 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系, 并能正确判断(重点).2.了解 Venn 图的含义,会用 Venn 图表示两个集合间的关系(难点).3.了解空集的含义及其性质(易错点). 预习教材 P6-P7,完成下面问题: 知识点 1 子集的相关概念 (1)Venn 图 ①定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图,这种 表示集合的方法叫做图示法. ②适用范围:元素个数较少的集合. ③使用方法:把元素写在封闭曲线的内部. (2)子集、真子集、集合相等的概念 ①子集的概念 文字语言 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素, 就说这两个集合有包含关系, 称集合 A 是集合 B 的子集 ②集合相等 如果集合 A 是集合 B 的子集(A?B),且集合 B 是集合 A 的子集(B?A),此时,集合 A 与 集合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. ③真子集的概念 定义 真子集 ④空集 定义:不含任何元素的集合叫做空集. 用符号表示为:?. 规定:空集是任何集合的子集. 【预习评价】 (1)1?{1,2,3}.( (正确的打“√”,错误的打“×”) ) ) 如果集合 A?B,但存在元素 x∈B,且 x?A,称集合 A 是集合 B 的真子集 符号表示 A B(或 B A) 图形表示 符号语言 A?B(或 B?A) 图形语言 (2)任何集合都有子集和真子集.( (3)?和{?}表示的意义相同.( 提示 (2)× (3)× (1)× ) “?”表示集合与集合之间的关系,而不是元素和集合之间的关系. 空集只有子集,没有真子集. ?是不含任何元素的集合,而{?}集合中含有一个元素?. 知识点 2 集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即 A?A. (2)对于集合 A,B,C, ①若 A?B,且 B?C,则 A?C; ②若 A B,B C,则 A C. ③若 A?B,A≠B,则 A B. 【预习评价】 若{1,2}?B?{1,2,4},则 B=________. 解析 答案 由条件知 B 中一定含有元素 1 和 2,故 B 可能是{1,2},{1,2,4}. {1,2}或{1,2,4} 题型一 集合关系的判断 【例 1】 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 解析 含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故 A B. (3)集合 B={x|x<5},用数轴表示集合 A,B,如图所示,由图可知 A B. (1)集合 A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是有序实数对,故 A 与 B 之间无包 (4)由列举法知 M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故 N M. 规律方法 判断集合关系的方法 (1)观察法:一一列举观察. (2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的 特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或 Venn 图. ? x-3 ? =0?,则 A 与 B 的关系是( 【训练 1】 (1)集合 A={x|(x-3)(x+2)=0},B=?x x + 2 ? ? ) A.A?B B.A=B C.A B ) D.B A (2)已知集合 A={x|x<-2 或 x>0},B={x|0<x<1},则( A.A=B 解析 B.A B C.B A D.A?B (1)∵A={-2,3},B={3},∴B A. (2)在数轴上分别画出集合 A,B,如图所示,由数轴知 B A. 答案 题型二 (1)D (2)C 子集、真子集个数问题 (1)集合{a,b,c}的所有子集为________,其中它的真子集有________个. 【例 2】 (2)写出满足{3,4} P?{0,1,2,3,4}的所有集合 P. (1)解析 集合{a,b,c}的子集有:?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b, c},其中除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共 7 个. 答案 (2)解 ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 7 由题意知,集合 P 中一定含有元素 3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所 有满足题意的集合 P 为:{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}. 规律方法 1.假设集合 A 中含有 n 个元素,则有: (1)A 的子集的个数有 2n 个; (2)A 的非空子集的个数有 2n-1 个; (3)A 的真子集的个数有 2n-1 个; (4)A 的非空真子集的个数有 2n-2 个. 2.求给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写; (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 【训练 2】 已知集合 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出 A 的所有子集. 解 ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}. ∴A 的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}, {(0,2),(1,1),(2,0)}. 互动探究 题型三 由集合间的包含关系求参数 【探究 1】 设集合 A={a,b},且 B?A,求 B

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